基于Kerr地基模型單井降水鄰近管線變形計算方法

管凌霄,徐長節(jié),,可文海,馮國輝,夏雪勤,孫 洋

(1.軌道交通基礎設施性能監(jiān)測與保障國家重點實驗室(華東交通大學),南昌 330013;2.江西省地下空間技術開發(fā)工程研究中心(華東交通大學),南昌 330013;3.江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室(華東交通大學),南昌 330013;4.濱海和城市巖土工程研究中心(浙江大學),杭州 310058;5.江西省交通科學研究院有限公司,南昌 330013)

在巖土工程中常采用地下降水的方式對施工條件進行改善,如為了開挖基坑及加固軟土地基等[1-2]。而地下水位下降會引起原水位下方土體的有效應力增加,導致鄰近土體及既有管線產(chǎn)生變形[3]。地下管線作為城市的生命線,其服役狀態(tài)稍有差池便可造成巨大的生命財產(chǎn)損失[4]。因此如何準確預測地下降水對鄰近管線的影響,已成為城市地下空間建設亟待解決的問題。

目前已有眾多學者對地下降水引起的鄰近地下管線變形問題展開研究[5-14]。文獻[5]結合工程實例建立三維有限元模型模擬了降水引起的鄰近管線不均勻沉降。文獻[7]結合有限差分法與流固耦合理論研究了降水施工中,市政管線產(chǎn)生的受力變形。文獻[9]采用多種方法對基坑降水引起鄰近地下管線變形問題進行研究。文獻[10]結合天津西站基坑工程,建立數(shù)值模型研究了降水對鄰近地鐵隧道的影響。文獻[13]采用兩階段分析法,基于Pasternak地基梁模型,推導了地下降水引起鄰近管線變形的解析解。文獻[14]采用兩階段分析法,基于Pasternak地基梁模型,分析了基坑正下方隧道因開挖與降水引起的變形,結果表明降水對下臥隧道的影響不應被忽視。

在針對既有管線與土相互作用的現(xiàn)有研究中,彈性地基梁是較為常見的理論方法,常用的地基模型有Winkler地基[16]與Pasternak地基[17]。如圖1所示,Winkler模型將土體視作相互獨立的彈簧,是僅考慮土體彈簧剛度的單參數(shù)模型;Pasternak模型在Winkler模型基礎上通過將彈簧單元與一層只能產(chǎn)生剪切變形的剪切層連接,采用土體彈簧剛度與剪切層剛度兩個參數(shù)考慮土體變形的連續(xù)性[18]。三參數(shù)的Kerr地基梁模型[19]是對雙參數(shù)模型的進一步深化[20],如圖1(c)所示,該模型具有兩個彈簧層(剛度為c,k)分別位于剪切層兩側,可以更好地考慮土體的剪切變形。文獻[21]采用了Kerr地基模型研究盾構隧道下穿引起上覆既有隧道的豎向位移,結果表明Kerr地基模型計算結果更為準確。

圖1 彈性地基梁模型示意圖

綜上,為準確預測管線因單井降水引起的豎向變形,本文采用兩階段法在第一階段結合有效應力原理與Dupuit假定計算出降水引起鄰近管線受到的附加應力,在第二階段采用三參數(shù)Kerr地基梁模型模擬管線與土的相互作用,得到了單井降水引起鄰近管線的豎向位移。隨后將本文所提方法與既有文獻結果及原位試驗結果進行對比,驗證了本文方法的準確性,并深入研究了土體彈性模量Es、滲透系數(shù)kt、管線與降水井間距d以及水位降深sw變化對管線豎向位移的影響。

1 方程的建立

地下降水將不可避免地引起周圍地下水位發(fā)生變化,地下水位受到影響范圍的半徑稱為降水半徑。根據(jù)薩庫金公式[22],降水半徑R的計算公式為

(1)

式中:sw為降水井的水位降深,sw=H0-Ht,H0為潛水含水層的初始水位高度,Ht為降水后井中的水位高度。

在降水半徑內,水位下降會導致土中孔隙水壓力下降,進而引起有效應力增加,此時降水半徑范圍內存在的既有管線會受到降水的影響。如圖2所示,A為降水井,半徑為R0,既有管線與降水井垂直水平距離為d。以管線軸線上距降水井最近的O點為原點,沿管線方向建立x軸。B點,B′點為降水半徑與管線的交點。

圖2 降水半徑

1.1 單井降水引起的有效應力

如圖3所示,降水會使在地下水位形成漏斗形狀的降水曲線,基于Dupuit假定,某一水位高度的過水流量等于井的抽水量[22],即

圖3 降水曲線

(2)

式中:r為某點與降水井的水平距離,h為該位置的水位高度,kt為土體的滲透系數(shù)。

降水井與降水半徑位置的水位邊界條件為

(3)

將式(3)代入式(2),可得降水曲線公式:

(4)

如圖3中所示,根據(jù)與計算點的相對位置,預降水引起的有效應力可分為兩種情況計算。C1點與C2點在降水后分別位與水位的上方和下方,兩點的有效應力增量Δσ1,Δσ2計算公式分別為

Δσ1=σt1-σ01=(h0+h1)γ-(h0γ+h1γs-h1γw)=

h1(γ-γs+γw)

(5)

Δσ2=σt2-σ02=

[(h0+H0-h)γ+(h2-H0+h)(γs-γw)]-

(h0γ+h2γs-h2γw)=(H0-h)(γ-γs+γw)

(6)

式中:σt,σ0分別為降水前后C1點與C2點的有效應力,h0為初始水位距離地表的埋深,h1和h2分別為C1點、C2點與初始水位的高差。γ、γs和γw分別為土體重度、土體飽和重度以及水的重度。

根據(jù)管線與水位的相對位置不同,降水引起的管線附加應力也有所區(qū)別,因此可分為兩種情況進行計算:1)降水后,部分水位降至管線下方;2)降水后,地下水位均高于管線。兩種情況下管線所受到的附加應力如圖4所示。

圖4 水位及附加荷載分布

(γ-γs+γw)

(7)

其次,處于水位上方的管線受到的附加應力一定值,此時可視為管線軸線位于圖3中C1點的情況,因此降水后,位于水位上方管線的附加應力為

σ=h1(γ-γs+γw)

(8)

需要注意的是,此時h1為初始水位與管線軸線的距離。當h(r)=H0-h1時,正好為水位與管線的交點,因此可以得到該點x的坐標為

(9)

基于此,降水后部分水位降至管線下方時,管線附加應力的計算公式為

(10)

2)當降水后地下水位均高于管線時,管線任意位置都處于水位下方,因此可采用式(7)計算此時管線的附加應力。

1.2 基于Kerr地基模型的管線控制方程

基于Kerr地基管線與土相互作用模型,作出如下假設:1)管線周圍土體為均質彈性土體;2)假設管線為一根擱置在Kerr地基上的Euler-Bernoulli梁,Kerr地基模型的剪切層只產(chǎn)生剪切變形;3)管線與地基土始終保持接觸,兩者的變形在接觸面協(xié)調。

假設在附加荷載p(x)的作用下,Kerr地基上的管線產(chǎn)生了豎向位移,則其豎向位移w(x)可表示為

w(x)=w1(x)+w2(x)

(11)

式中:w1(x)與w2(x)分別為第一層彈簧和土體剪切層的變形量。

管線以及剪切層下方的應力分別為

q1(x)=cw1(x)=c[w(x)-w2(x)]

(12)

q2(x)=kw2(x)

(13)

此外,對于剪切層有

(14)

式中:k為第二層土體彈簧的剛度,c為第一層土體彈簧的剛度,g為土體剪切層的剪切剛度。

聯(lián)立式(12)與式(14)可得

(15)

管線在降水引起的附加荷載作用下的位移控制方程為

(16)

式中:EI為管線的抗彎剛度,D為管線外直徑。

將式(14)與式(15)代入式(16)后可得到

(17)

式(17)寫成差分形式為

α(w2)i+3+β(w2)i+2+χ(w2)i+1+δ(w2)i+

χ(w2)i-1+β(w2)i-2+α(w2)i-3=-pi

(18)

為了方便計算,管線兩端各增加3個虛擬節(jié)點(分別為節(jié)點-3,-2,-1與節(jié)點n+1,n+2,n+3)。結合邊界條件,消去節(jié)點節(jié)點-3,-2,-1與節(jié)點n+1,n+2,n+3,可得到剪切層位移方程:

{W2}={K}-1·{P}

(19)

式中:{W2}=[(w2)0,(w2)1,…,(w2)n-1,(w2)n]T,{P}=[-p0,-p1,…,-pn-1,-pn]T。

對于管線兩端無約束的情況下,兩端剪力Qp彎矩Mp均為0,位于管線兩端的土體剪切層彎矩Ms也為0,即

(20)

式中:

(21)

因此,可得

(22)

式中:

(23)

在得出{W2}后,代入式(15)便可得出管線的豎向位移{W}。

1.3 Kerr地基模型參數(shù)的選取

根據(jù)簡化彈性空間法,文獻[21]給出了Kerr地基模型中兩層土體彈簧的剛度c與k以及土體剪切層的剛度g的計算方法,即

(24)

式中:Es為土體的彈性模量;T為地基厚度,取2.5倍的管線直徑[22];v為土體的泊松比。由于簡化彈性空間法存在大量假設,文獻[23]在進一步研究后,修正了第一層土體彈簧剛度的取值:c=1.9k。

2 算例驗證

為了驗證本文方法的準確性,收集了單井降水試驗[24]下鄰近既有管線的監(jiān)測數(shù)據(jù),與本文計算方法所得結果進行對比。文獻[24]報道了原位單井降水試驗案例,試驗場地含水層厚度為20.0～26.4 m,水位位于地表以下1.3～2 m,取平均值可得初始水位高度H0=23.2 m,初始水位埋深h0=1.65 m。加權平均得到的土體天然重度γ=18 kN/m3,飽和重度γs=18.5 kN/m3,滲透系數(shù)kt=4.32 m/d,泊松比vs=0.3,土體彈性模量Es=10 MPa。降水試驗中一次性水位下降sw=12 m,與降水井垂直水平距離d=10 m處存在一條既有管線,埋深z0=6 m,直徑D=1 m,壁厚0.1 m,管線彈性模量Et=30 GPa。

圖5為本文方法計算的管線豎向位移與降水試驗結果的對比。

圖5 與降水試驗結果對比

從圖5可以看出,由于Winkler地基模型(當g=0,c=∞時,本文模型即退化為Winkler模型)在受到外力作用時,地基上某點的變形只與該點的受力有關而不受周圍土體的影響,與實際土體變形情況不同,因此計算結果與實測值存在偏差。而本文方法采用的Kerr地基模型引入了土體剪切剛度g與第二層土體彈簧剛度c,可以更好地考慮土體的剪切變形以模擬地基土變形的連續(xù)性,故本文方法計算結果與降水試驗結果更為吻合。本文計算所得管線位移最大值為8.46 mm,略大于試驗值8.01 mm。通過與原位試驗的實測數(shù)據(jù)對比,說明了本文方法具有較好的合理性與準確性。

3 參數(shù)分析

為了研究各因素對降水引起管線位移的影響,假設以下工程概況進行分析:地下初始水位H0=30 m,初始水位埋深h0=2 m,降水井半徑R0=0.1 m,降水后井中水位Ht=20 m,預降水后水位下降sw=10 m;土體參數(shù):滲透系數(shù)kt=1 m/d,彈性模量Es=50 MPa,泊松比v=0.3,土體重度γ=18 kN/m2,飽和重度γs=20 kN/m2;管線參數(shù):軸線與降水井的垂直水平距離d=12 m,埋深z0=8 m,h2=6 m,直徑D=6 m,壁厚0.3 m,抗彎剛度EI=7.548×105MN·m2。在針對某一參數(shù)進行分析時,只有該參數(shù)取值發(fā)生變化,其他參數(shù)不變。

3.1 土體彈性模量Es

為研究土體彈性模量Es對管線變形的影響,取5組土體彈性模量Es進行分析,分別為10 MPa、20 MPa、30 MPa、40 MPa以及50 MPa。在5組土體彈性模量Es下,采用本文方法計算所得預降水引起的管線位移曲線如圖6所示。從圖6可看出隨著土體彈性模量Es從60 MPa減小到20 MPa時,管線的最大豎向位移從5.15 mm迅速增加到14.50 mm。這是因為土體彈性模量Es增大時,地基更不容易產(chǎn)生變形,而且當管線變形時,地基能提供更大的反力阻止管線變形。因此在軟土地區(qū)進行降水施工前,可以通過對管線周邊土體進行加固,進而達到減小管線變形的目的。

圖6 不同土體彈性模量下管線的位移曲線

3.2 滲透系數(shù)kt

為研究滲透系數(shù)kt對管線變形的影響,取5組滲透系數(shù)kt進行分析,分別為0.5 m/d、1 m/d、1.5 m/d、2 m/d以及2.5 m/d。在5組滲透系數(shù)kt下,采用本文方法計算所得預降水引起的管線位移曲線如圖7所示。從圖7可看出管線豎向位移隨著滲透系數(shù)的增大而增大,隨著滲透系數(shù)kt從0.5 m/d增大到2.5 m/d時,管線的最大豎向位移從5.02 mm增大到7.22 mm,增大的幅度逐漸減小。同時可以看出當滲透系數(shù)kt=0.5 m/d時,管線豎向位移在|x|≥77的部分出現(xiàn)隆起。這是因為當土體滲透系數(shù)kt=0.5 m/d時,降水半徑R=77.56 m,根據(jù)勾股定理可以計算管線受到附加荷載的范圍為|x|≤76.63(圖2中的BB′段),因此管線在未受到附加荷載的部分由于自身抗彎剛度的原因出現(xiàn)隆起。

圖7 不同滲透系數(shù)kt下的管線位移曲線

3.3 管線與降水井的間距d

為研究管線與降水井的間距d對管線變形的影響,取5組間距進行分析,分別為6 m、8 m、10 m、12 m以及14 m。采用本文所提方法計算所得的5組間距d時,預降水引起的管線位移曲線如圖8所示。從圖8可看出管線產(chǎn)生的豎向位移隨著間距d的增加而減小。當間距d從6 m增大到30 m時,管線的最大豎向位移從7.20 mm減小到3.95 mm。這是由于降水過程中距離降水井越遠的位置水位變化的越小,因此對管線造成的影響也較小,即管線距離降水井越遠,受到降水的影響減弱。

圖8 不同間距d時的管線位移曲線

3.4 水位降深sw

為研究土體中水位降深sw對管線變形的影響,取5組降水后井中水位Ht進行分析,分別為20 m、15 m、10 m、5 m以及0 m,與之對應的水位降深sw分別為10 m、15 m、20 m、25 m以及30 m。在5組水位降深sw時,本文方法計算所得預降水后的地下水位如圖9所示。從圖9中可以看出隨著井中水位降深sw的增加,周圍地層中的水位隨之整體下降,下降的幅度逐漸減少。當降水井內水位降深sw達到20 m時,管線軸線仍然處于地下水位的下方,此時管線上所受到的附加應力采用式(7)計算即可。但隨著水位降深sw達到25 m后,與降水井垂直水平距離d=12 m處的水位從初始水位H0=30 m下降到23.56 m,即此處地下水位埋深是8.44 m,此時管線上距離降水井位置最近的部分,已經(jīng)處于水位上方,此時該部分所受到的附加應力采用式(8)計算。

圖9 不同水位降深sw時的地下水位曲線

圖10為不同水位降深sw情況下,管線所受到的附加應力。從圖中可以看出管線受到的附加應力隨著水位降深sw的增加而增加,這是由于水位下降的越多,管線上方土體受到水浮力就越小。但水位下降到管線下方時,管線所受到的附加應力則不再增加,如圖10所示,當降水井內的水位降深sw達到25 m和30 m時,所受到的附加應力最大值不再增加,但附加應力最大值的范圍擴大。

圖10 不同水位降深sw時的有效應力曲線

圖11為不同水位降深sw情況下,預降水引起的管線位移曲線。從圖11可看出在水位降深sw從10 m增加到30 m時,管線的最大豎向位移從6.12 mm增加到15.38 mm,但增加的幅度逐漸減弱。結合不同水位降深sw下的地下水位曲線與有效應力曲線不難分析出,周圍水位下降的程度隨著降水井內水位降深sw的增加而增加,降水在管線上引起的附加荷載也隨之增加,最終導致管線因降水引起的位移整體增大。

圖11 不同水位降深sw時的管線位移曲線

3.5 管線變形允許值分析

根據(jù)相關規(guī)程[27]中的規(guī)定,煤氣、供水管線(剛性管道)位移累計值的控制指標為10 mm。通過參數(shù)分析,可以得出不同參數(shù)情況下的管線最大位移,如圖12所示。從圖中可以看出,滲透系數(shù)和間距對管線最大位移值的影響較小,且在本文分析算例中,這兩個參數(shù)在常規(guī)取值范圍內不會導致管線最大位移值超過10 mm。此外,土體彈性模量與降水井內的水位降深對管線最大位移值的影響較大,當土體彈性模量、水位降深分別為30 MPa與15 m時,管線的最大位移值已達到了9.92 mm與9.76 mm。即當土體彈性模量小于30 MPa或降水井內水位降深大于15 m時,單井降水引起的管線變形將超過控制指標。因此從本工程算例出發(fā),為保證鄰近管線在降水過程中位移值不超過控制指標,降水井內的水位降深不宜超過15 m。若水位降深大于15 m,則應對管線周圍土體進行加固。

圖12 不同情況下的管線最大變形值

4 結 論

本文基于兩階段法提出了單井降水引起鄰近既有管線豎向位移的理論計算方法。在第一階段采用有效應力原理與Dupuit假定計算了降水對管線產(chǎn)生的附加荷載,第二階段采用Kerr地基模型模擬管線與土的相互作用推導出了管線位移。經(jīng)過深入分析后,得出以下結論:

1)通過與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的對比驗證,顯示了本文方法針對單井降水引起的鄰近管線變形預測具有一定優(yōu)越性。相較于Winkler地基模型,本文方法采用的Kerr地基模型考慮了土體剪切變形,可以更好地模擬土體變形的連續(xù)性,計算精度更高。

2)參數(shù)分析表明,土體滲透系數(shù)kt及管-井間距d對管線變形的影響較小,土體滲透系數(shù)的增大與間距的減小均導致管線變形增大;土體彈性模量Es與降水井內水位降深sw對管線變形的影響較大,土體彈性模量的降低與水位降深的增加均導致管線變形增大。

3)隨著降水井內水位降深的增加,管線受到的附加荷載存在兩種形式。在水位降至管線軸線之前,管線受到的附加荷載隨著水位降深sw增大而增大,管線產(chǎn)生的位移也隨之增加。當水位降到管線軸線以下時,管線處于水位上方的部分受到的附加荷載相同,且不隨著水位降深sw的增加而增加。

4)在本文分析算例中,kt和d在常規(guī)取值范圍內不會導致管線位移累計值超過相關規(guī)程的控制指標。而當Es<30 MPa或sw>15 m時, 單井降水引起的管線變形將超過控制指標,屆時應采取相應的防控措施。