面向?qū)ο蟮臄?shù)控機床XY 工作臺動態(tài)定位誤差分析與建模＊

楊洪濤 薛慶濤 李 莉 劉士萍

（①安徽理工大學機械工程學院，安徽 淮南 232001；礦山智能裝備與技術重點實驗室，安徽 淮南 232001）

XY 工作臺是數(shù)控機床非常關鍵的組件之一，其動態(tài)定位誤差嚴重影響著機床的加工精度。機床誤差主要由幾何誤差、力變形誤差和熱誤差等誤差組成，對于機床在加工過程中，機床幾何誤差和切削力引起的誤差占比高達30%～65%[1-2]。數(shù)控機床XY 工作臺的定位誤差不僅受各組成部件的結(jié)構(gòu)特性、摩擦磨損和工作臺移動速度等因素影響，還受切削力影響[3-4]。近年來許多學者對工作臺組成部件的特性及精度進行了深入研究。陳勇將等以雙螺母預緊式滾珠絲桿為研究對象，建立了滾珠絲桿靜接觸剛度模型[5]。徐起賀等對導軌工作臺進行了詳細的受力分析，并分析了其影響因素[6]。陳文平基于Stribeck 模型分析了滾珠絲桿的摩擦曲線[7]。Majda P等提出了一種分析直線導軌幾何誤差對關節(jié)運動誤差影響的方法，考慮了工作臺載荷對導軌幾何誤差的影響[8]。Raksiri C 等提出了包含有力誤差的三軸數(shù)控機床的誤差模型并進行了補償[9]。上述研究主要單獨研究了工作臺各組成部分的結(jié)構(gòu)特性和誤差，缺乏對工作臺在切削力和運動速度共同影響下XY工作臺動態(tài)定位誤差變化規(guī)律的系統(tǒng)研究。

因此，本文在綜合分析XY 工作臺單運動方向的各組件動態(tài)特性對工作臺定位誤差影響規(guī)律基礎上，進一步研究切削力和運動速度共同影響下XY工作臺動態(tài)定位誤差變化規(guī)律。

1 切削力下XY 工作臺動態(tài)定位誤差產(chǎn)生機制分析

XY 工作臺主要由滾珠絲桿、導軌系統(tǒng)、工作臺臺面和電機等構(gòu)件組成，如圖1 所示。電機驅(qū)動滾珠絲桿旋轉(zhuǎn)帶動工作臺向前運動，光柵測量系統(tǒng)記錄位置。工作臺在切削力的影響下，將引起滾珠絲桿的螺距誤差和工作臺臺面的角度誤差。為了系統(tǒng)研究XY 工作臺在切削力和運動速度共同影響下動態(tài)定位誤差的變化規(guī)律，將分析工作臺產(chǎn)生定位誤差的原因和機理，建立相應計算模型。

圖1 XY 工作臺的結(jié)構(gòu)及組成

1.1 切削力下滾珠絲桿組件引起的工作臺定位誤差建模

XY 工作臺滾珠絲桿組件誤差主要來源于切削力影響下滾珠絲桿扭轉(zhuǎn)引起的變形、滾珠絲桿的螺距變化和支撐滾珠絲桿軸承的軸向變形等方面，以下分別對各誤差分量進行分析與建模。

1.1.1 滾珠絲桿軸扭轉(zhuǎn)變形引起的定位誤差

在電機驅(qū)動扭矩和切削力共同影響下會導致滾珠絲桿軸扭轉(zhuǎn)變形，引起工作臺產(chǎn)生定位誤差，而扭轉(zhuǎn)變形量與其扭轉(zhuǎn)剛度有關。滾珠絲桿的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中：G為絲桿剪切彈性模量；J為絲桿的截面極慣性矩；Lm為滾珠絲桿螺母到左軸承的距離。

滾珠絲桿的軸向力可表示為

式中：m為工作臺及其安裝的工件總重量；Fx、Fz為切削力沿軸向、垂直方向的合力；fx、fy、fz為軸向、徑向、垂直切削力；θ1(x)、θ2(x)、θ3(x)為工作臺隨上層導軌運動的偏轉(zhuǎn)角、滾轉(zhuǎn)角和俯仰角（由實驗測得）；μ為絲桿摩擦因數(shù)。

電機驅(qū)動力矩計算公式為

式中：P為絲桿導程；η為絲桿傳動效率。

則滾珠絲桿相對于電機的轉(zhuǎn)角變化為

因此工作臺滾珠絲桿由扭轉(zhuǎn)變形引起的定位誤差為

1.1.2 滾珠絲桿螺距變化引起的定位誤差

在工作臺運動過程中，切削力導致的絲桿軸向變形引起螺距變化，將導致定位誤差變化，且其變形量與絲桿支撐方式和螺母的位置有關。本文研究的工作臺采用兩端固定的方式，無需考慮螺桿自重引起的變形。

滾珠絲桿的軸向變形量為

式中：l1、l2分別為兩固定端到螺母之間的距離；A為絲桿的截面積（內(nèi)徑）；E為絲桿的彈性系數(shù)；L為絲桿的支撐距離。

當絲桿螺母移動到絲桿行程的中心位置時，其產(chǎn)生最大變形量為

絲桿軸向變形引起螺距最大變行量為

因此滾珠絲桿螺距變形產(chǎn)生的定位誤差為

式中：?為摩擦角。

1.1.3 滾珠絲桿軸承受力變形引起的定位誤差

不同類型的滾珠絲桿支撐軸承會產(chǎn)生不同的軸向接觸變形量，進而產(chǎn)生定位誤差。本實驗臺采用推力球軸承，其受切削力作用后的軸向變形量計算公式為

式中：dQ為軸承的滾動體直徑；Z為軸承的滾動體數(shù)；Fp為軸向預緊力。

綜上所述，滾珠絲桿組件因切削力影響引起的工作臺動態(tài)定位誤差計算模型為

1.2 切削力影響下工作臺角度誤差建模

XY 工作臺受切削力影響會導致工作臺臺面發(fā)生彎曲變形，產(chǎn)生相應的俯仰角、偏擺角和滾轉(zhuǎn)角誤差，進而導致定位誤差的變化。因此有必要對工作臺進行受力分析。

1.2.1 工作臺受力分析

為分析工作臺受切削力影響所產(chǎn)生的角度誤差，需求解工作臺支撐滑塊的垂直和水平支反力。圖2為工作臺上層導軌在受垂直切削合力Fz作用時的受力分析圖。

圖2 Fz 作用下工作臺受力分析分析圖

圖2 中，F(xiàn)1、F2、F3、F4為四滑塊所受垂直支反力；L3、L4為工件（切削點）距離X、Y軸距離。受力分析步驟為

合力Fz對X軸取力矩如下：

合力Fz對Y軸取力矩如下：

合力在Z軸上平衡：

據(jù)彈性力學變形協(xié)調(diào)條件得：

由上式（14）～（17），可得4 個滑塊垂直支反力為

圖3 為工作臺受徑向切削合力Fy作用時的受力分析如圖3。

圖3 Fy 作用下工作臺受力分析圖

圖3 中，S1、S2、S3、S4為工作臺四滑塊所受的水平支反力，受力分析步驟為

合力對Z軸取力矩：

合力在Y軸上平衡：

據(jù)彈性力學變形協(xié)調(diào)條件得：

由上式（19）～式（21），可得4 個滑塊的水平支反力為

1.2.2 工作臺角度誤差分析

XY 工作臺受切削力作用時會產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)角、仰角誤差和偏擺角誤差。

圖4 為工作臺受軸向切削合力Fz作用下滾轉(zhuǎn)角和俯仰角誤差示意圖。

圖4 工作臺受力 Fz 角度誤差示意圖

圖4 中，γ1為滾轉(zhuǎn)角；γ2為俯仰角；δ1、δ3、δ4為四滑塊受垂直支反力產(chǎn)生的微小位移量。

受力分析可知?1、?2計算公式如下：

式中：K為滑塊內(nèi)部滾珠的彈性變形系數(shù)。

圖5 為工作臺受力Fy作用下的偏擺角誤差示意圖。為四滑塊受水平支反力后的微小位移量；γ3、γ4為力Fy導致的偏擺角誤差。

圖5 工作臺受合力 Fy角度誤差示意圖

經(jīng)圖5 分析可知，偏轉(zhuǎn)角計算公式：

1.3 切削力影響下XY 工作臺摩擦特性分析

XY 工作臺在運動過程中受切削力和摩擦力作用時，會影響工作臺的定位精度，本文采用Stribeck摩擦模型對工作臺摩擦力的變化規(guī)律進行分析，并建立相應的計算模型，如圖6 所示。

圖6 Stribeck摩擦模型

本文將導軌組件近似為兩個滑動體，則工作臺摩擦力可以假設為庫倫摩擦和Stribeck摩擦的和，因此XY 工作臺總摩擦力可表示為

式中：v為工作臺移動速度；fs為靜摩擦力，取fs=μs(mg+Fz)；fc為庫倫摩擦力，取fc=μc(mg+Fz)；μs為靜摩擦系數(shù)；μc為動摩擦系數(shù)；vs為Stribeck 速度；B為粘滯摩擦系數(shù)；α為經(jīng)驗常數(shù)。

1.4 導軌系統(tǒng)受摩擦力對工作臺定位誤差影響分析

工作臺導軌系統(tǒng)運動過程中隨著切削力和運動速度的改變，導軌的摩擦力也會發(fā)生變化，進而引起工作臺動態(tài)定位誤差的變化。由牛頓第二定律可知，工作臺導軌系統(tǒng)的動力學關系模型可表示為

式中：F′為工作臺驅(qū)動力；為切削力導致的工作臺俯仰角、偏擺角和滾轉(zhuǎn)角。

1.5 XY 工作臺動態(tài)定位誤差總模型

綜上所述，XY 工作臺動態(tài)定位誤差總模型可表示為

由式（31）可知，XY 工作臺所受切削力大小、運動速度和摩擦力是影響數(shù)控機床XY 工作臺動態(tài)定位誤差的主要因素。

2 XY 工作臺動態(tài)定位誤差理論計算與分析

由第一節(jié)對XY 工作臺的動態(tài)特性分析可知，其動態(tài)定位誤差主要與所受切削力和運動速度等因素有關。下面以本課題組自行設計的XY 工作臺作研究對象進行理論計算分析。

2.1 工作臺上層導軌角度誤差測量

由第一節(jié)可知，需測量XY 工作臺在未受切削力影響下的俯仰角和偏擺角數(shù)據(jù)用來計算工作臺的動態(tài)定位誤差。利用數(shù)控XY 工作臺和激光干涉儀搭建實驗裝置，如圖7 所示。

圖7 實驗裝置

由于本文在2.2 節(jié)需要用不同速度來計算動態(tài)定位誤差值，因此設置工作臺移動速度的中間速度8 mm/s 進行實驗，XY 工作臺的行程距離為200 mm，每間隔5 mm 采集一次誤差數(shù)據(jù)。測量3 次取平均值作為最終測量結(jié)果，圖8a、圖8b 分別為實際測量所得的俯仰角和偏擺角。

2.2 動態(tài)定位誤差理論計算

2.2.1 不同切削力影響下的工作臺動態(tài)定位誤差理論計算

由2.1 節(jié)和1.2 節(jié)實驗測量和理論計算得到的俯仰角、偏擺角代入到動態(tài)定位誤差理論模型公式（31）中，可計算得到XY 工作臺在一定速度，不同切削力作用下上層導軌的動態(tài)定位誤差理論值。由公式（31）可知最終影響XY 工作臺動態(tài)定位誤差的未知參數(shù)包括：工作臺的切削力、臨界速度vs、粘滯摩擦系數(shù)B和工作臺運行速度。經(jīng)本課題組前期研究[10]，本文將用臨界Stribeck速度vs=0.02 mm/s，粘滯摩擦系數(shù)為B=10 000 N(m/s)下進行分析計算。

綜上所述，當工作臺所受切削力大小分別為50 N、170 N、240 N、320 N、410 N、470 N、550 N、640 N、700 N、820 N、900 N 時，XY 工作臺上層導軌的動態(tài)誤差曲線如圖9a 可以發(fā)現(xiàn)，機床工作臺在不同切削力下的動態(tài)定位誤差整體變化趨勢是一致的，但數(shù)值上有差異。從圖9b 可以發(fā)現(xiàn)，當工作臺上層X導軌位移分別為30 mm、60 mm、90 mm、120 mm、150 mm、180 mm 等位置時工作臺的切削力大小不同，其動態(tài)定位誤差也不相同。

2.2.2 不同速度影響下的動態(tài)定位誤差理論計算

由式（31）計算可得，在一定切削力下，當工作臺運行速度分別為1 mm/s、2 mm/s、4 mm/s、6 mm/s、8 mm/s、10 mm/s、12 mm/s、14 mm/s、16 mm/s、18 mm/s、20 mm/s 時，XY 工作臺的動態(tài)定位誤差變化曲線如圖10a 所示。機床工作臺在不同速度下動態(tài)定位誤差整體變化趨勢一致，但數(shù)值上有差異。且從圖10b 可以發(fā)現(xiàn)，當工作臺在導軌系統(tǒng)上運動速度為4 mm/s 時的定位誤差最小，因此將4 mm/s 定義為工作臺最佳運動速度。

圖10 XY 工作臺不同速度下定位誤差變化曲線

3 XY 工作臺動態(tài)定位誤差仿真結(jié)果與分析

為分析數(shù)控XY 工作臺的動態(tài)定位誤差，本文利用SolidWorks建立工作臺簡化模型，并將其導入Ansys中進行靜力學仿真。為模擬工作臺實際運動情況，利用XL-80 激光干涉儀測量出工作臺在X、Y、Z三個方向上的位移誤差，并將位移誤差數(shù)據(jù)加載到工作臺三維模型導軌中，見圖11a 中黑色方框區(qū)域。

圖11 XY 工作臺結(jié)構(gòu)圖

3.1 工作臺偏擺角、俯仰角誤差仿真

為模擬機床實際工作過程，擬在三維模型待加工工件上添加切削力，將工作臺沿X軸從0 mm 處開始，運動到200 mm 處結(jié)束，每間隔5 mm 進行仿真分析，并將仿真后得到的工作臺俯仰角和偏擺角數(shù)據(jù)進行分析，得出工作臺在切削過程中的角度變化規(guī)律，如圖12b 和圖12d 所示。

圖12 理論與仿真角度誤差曲線圖

3.2 切削力下工作臺動態(tài)定位誤差分析驗證

為有效驗證XY 工作臺動態(tài)定位誤差理論模型，將理論計算與仿真的俯仰角和偏擺角數(shù)據(jù)代入式（31）中，得出XY 工作臺動態(tài)定位誤差曲線圖13a、圖13b。

圖13 理論與仿真動態(tài)定位誤差曲線圖

3.3 仿真結(jié)果分析

通過對比上述理論與仿真動態(tài)定位誤差曲線圖可知，其整體變化趨勢基本相似，從而有效驗證了理論計算模型，但理論計算和仿真結(jié)果存在一定差異，均在合理范圍內(nèi)，見表1。

表1 理論與仿真動態(tài)定位誤差數(shù)據(jù)對比

理論和仿真數(shù)值上差異原因可能有：

（1）圖12b 中出現(xiàn)的明顯凹點由于在SolidWorks給導軌建模中添加X、Y、Z方向的位移誤差所導致。

（2）理論計算值變化幅度較小是由于導軌本身的精度高，激光干涉儀所測量的角度誤差值也較小，所以代入理論公式中，會出現(xiàn)變化幅度微小的情況。仿真誤差值變化幅度稍大是考慮了導軌添加的位移誤差和下層Y導軌相關性的影響，幅度大但均在合理范圍內(nèi)。

4 結(jié)語

（1）詳細分析了數(shù)控機床XY 工作臺的動態(tài)特性，建立了各動態(tài)定位誤差分量的精確計算模型。從理論模型中可知，XY 工作臺中切削力、運動速度和摩擦力是造成工作臺動態(tài)定位誤差的主要因素。

（2）精確計算了工作臺動態(tài)定位誤差值，同時分析了XY 工作臺在不同切削力和不同運動速度影響下動態(tài)定位誤差變化規(guī)律，得出了切削力會對工作的動態(tài)定位誤差產(chǎn)生影響且工作臺存在著最佳運動速度4 mm/s。因此為提高數(shù)控機床加工精度，必須精確建立工作臺動態(tài)定位誤差與切削力和運動速度下的誤差補償模型，盡量保證數(shù)控機床在其最佳運動速度下工作。