三次樣條插值在慣導(dǎo)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用?

衛(wèi) 鑫 熊 威 范偉倫

（中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì) 大連 116023）

1 引言

在裝備性能指標(biāo)評(píng)定中，試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析是較為關(guān)鍵的一環(huán)。由于設(shè)備接收數(shù)據(jù)頻率不同、時(shí)戳不一致、試驗(yàn)次數(shù)受限等原因，試驗(yàn)中難以獲取全部數(shù)據(jù)，需進(jìn)行插值處理。傳統(tǒng)上一般采用Lagrange 插值、Newton 插值等線性插值方法，但由于線性插值的固有不足，會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)鑒定的準(zhǔn)確性受到一定影響。

2 插值方法分析

插值是一種函數(shù)逼近的重要方法，可根據(jù)現(xiàn)有已知數(shù)據(jù)情況估計(jì)出未知數(shù)據(jù)的近似值，同時(shí)也是試驗(yàn)鑒定數(shù)據(jù)處理的常用方法［1］。插值的方法很多，實(shí)際工作中常用的方法有線性插值、分段插值、Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、三次樣條插值等。

2.1 Lagrange插值

Lagrange插值是一種用于求解n次插值多項(xiàng)式的方法［2］，n次Lagrange插值多項(xiàng)式可以表示為

其中l(wèi)i(x)是Lagrange基本多項(xiàng)式，也稱為插值基函數(shù)，可表示為

且需滿足：

誤差可表示為

其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

Lagrange 插值的優(yōu)點(diǎn)在于公式結(jié)構(gòu)整齊，便于理論推導(dǎo)。缺點(diǎn)在于沒(méi)有承襲性，在實(shí)際計(jì)算中，每增加或減少一個(gè)插值點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就要全部重新計(jì)算，較為繁瑣。此外，當(dāng)插值點(diǎn)較多時(shí)，Lagrange 插值多項(xiàng)式次數(shù)會(huì)很高，會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的情況。為解決此類問(wèn)題，通常使用Newton插值。

2.2 Newton插值

Newton 插值也是一種用于求解n 次插值多項(xiàng)式的方法，其插值多項(xiàng)式可以表示為

誤差可表示為

Newton 插值解決了Lagrange 插值缺少承襲性的問(wèn)題，構(gòu)造了一種能夠靈活的增加插值節(jié)點(diǎn)并降低計(jì)算次數(shù)的n 次插值多項(xiàng)式。由插值多項(xiàng)式的唯一性可知，二者是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式。

2.3 Hermite插值

Lagrange 插值、Newton 插值等只要求插值函數(shù)和原函數(shù)在已知基點(diǎn)處的函數(shù)值相等，難以反映原函數(shù)的變化趨勢(shì)［3］。不少實(shí)際問(wèn)題不但要求在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值相等，還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等，由此提出了Hermite插值，其插值多項(xiàng)式可表示為

其中z2k=z2k+1=xk,f[z2k,z2k+1]=f＇(xk),k=0,1,…,n。

誤差可表示為

Hermite 插值不僅考慮了插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，更考慮了各階導(dǎo)數(shù)，能更好地反映原函數(shù)的變化趨勢(shì)，契合度更好［5］。

2.4 三次樣條插值

分段三次Hermite插值雖然可以得到光滑的曲線，但只有當(dāng)原函數(shù)所有插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都已知的情況下才能使用，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)難以實(shí)現(xiàn)［3］。為了彌補(bǔ)分段三次Hermite 插值的缺陷，常選用三次樣條插值，它不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，限制條件相對(duì)寬松，且插值精度較高，在裝備試驗(yàn)鑒定的數(shù)據(jù)處理中較為受歡迎［6］。

三次樣條插值的函數(shù)定義如下［7～9］：

在定區(qū)間[a,b] 上的各節(jié)點(diǎn)a=x0

S(xi)=yi(i=0,1,…n)；

S(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1] (i=0,1,…n-1) 上是次數(shù)小于或等于3的多項(xiàng)式；

S(x),S＇(x),S＇＇(x)在[a,b] 上連續(xù)。

則稱S(x)為函數(shù)f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的三次樣條插值函數(shù)。

由定義可知，S(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1] 上有4 個(gè)待定系數(shù)，故若想求出S(x)須確定4n 個(gè)參數(shù)，須由n個(gè)插值條件：

S(xi)=yi(i=0,1,…n)

和3（n-1）個(gè)銜接條件：

S(xi-0)=S(xi+0)

S＇(xi-0)=S＇(xi+0)(i=0,1,…n-1)

S＇＇(xi-0)=S＇＇(xi+0)

連同兩個(gè)邊界條件共同確定。

三次樣條插值的邊界條件有三種：

III 型邊界條件：當(dāng)f(x)為周期函數(shù)時(shí)，要求S(x)也為周期函數(shù)，此時(shí)邊界條件為

S(x0-0)=S(xn+0)

S＇(x0-0)=S＇(xn+0)

S＇＇(x0-0)=S＇＇(xn+0)

而此時(shí)y0=yn，這樣的樣條函數(shù)S(x)稱為周期樣條函數(shù)。在裝備試驗(yàn)鑒定中通常使用前兩型邊界條件。

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

潛航器水下運(yùn)動(dòng)參數(shù)評(píng)定指標(biāo)，包括橫、縱、垂向加速度，橫、縱搖角，橫、縱搖角加速度，偏航角，偏航角加速度等。由于慣導(dǎo)系統(tǒng)只能提供北向速度、東向速度、升沉速度、縱搖角、橫搖角等信息，需要對(duì)慣導(dǎo)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理［10］，以獲得指標(biāo)評(píng)定所需參數(shù)。處理方法如下。

縱向速度為

縱向加速度為

橫向速度為

橫向加速度為

垂向速度為

垂向加速度為

偏航角為

橫傾角估算為

速度單位轉(zhuǎn)換：

其中，V北(nT)、V東(nT)、V升沉(nT)分別為慣導(dǎo)輸出的北向速度、東向速度、升沉速度；f、T 分別為數(shù)據(jù)輸出頻率和周期；Aj(nT)、Aj、Azh和θ(nT)分別為實(shí)際航向角、目標(biāo)航向角、前進(jìn)航向角和橫搖角；n=0,1,…N。

3.2 插值方法的應(yīng)用

運(yùn)動(dòng)參數(shù)指標(biāo)中，姿態(tài)信息即橫搖角、縱搖角、航向角為快變信息；速度、位置信息即東向速度、北向速度、升沉速度、經(jīng)度、緯度為慢變信息，由于時(shí)戳不一致，需進(jìn)行插值處理。以橫搖角θ為例，進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。

3.2.1 Lagrange插值法

已知ti和ti+1時(shí)刻的橫搖角分別為θi和θi+1，ti

3.2.2 三次樣條插值法

設(shè)t 時(shí)刻橫搖角θ(t)在(ti,ti+1)區(qū)間上的三次樣條函數(shù)S(t)的二階導(dǎo)數(shù)S＇＇(t)=Mi，由于S(t)在(ti,ti+1)區(qū)間上三次多項(xiàng)式，則S＇＇(t)在(ti,ti+1)區(qū)間上為線性函數(shù)［11］，可表示為

對(duì)S＇＇(t)進(jìn)行兩次積分可得：

由已知條件S(ti)=θi、S(ti+1)=θi+1確定積分常數(shù)c1、c2：

將c1、c2帶入S(t)后求導(dǎo)可得：

同理，對(duì)于t∈(ti-1,ti)有：

然后利用一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件S＇(ti-0)=S＇(ti+0)可得：

整理可得：

此方程為含有n+1 個(gè)未知量、n-1 個(gè)方程的線性方程，再結(jié)合插值區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件（I 型邊界條件或II 型邊界條件）［12］，即可得出Mi，進(jìn)而得到橫搖角θ在(ti,ti+1)區(qū)間上的三次樣條函數(shù)S(t)。

3.3 結(jié)果分析

基于不同使命任務(wù)、海域環(huán)境和工作流程下獲取的大量測(cè)試數(shù)據(jù)，以橫搖角θ為例，選取4 類典型工作狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)數(shù)據(jù)作為真值，通過(guò)Matlab軟件，分別使用進(jìn)行Lagrange 插值、三次Hermite 插值和三次樣條插值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比各方法插值數(shù)據(jù)的擬合程度。

由圖1 可知，1）三種插值方法相比，三次樣條插值的擬合度、平滑度最好，三次Hermite 插值次之，Lagrange插值較差；2）橫搖角θ變化較大時(shí)，Lagrange 插值容易出現(xiàn)較大的失真現(xiàn)象，而三次樣條插值能夠更好地反映載體水下姿態(tài)變化真實(shí)情況。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)潛航器運(yùn)動(dòng)參數(shù)指標(biāo)評(píng)定需求，分析了Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、三次樣條插值四種插值方法，并以橫搖角θ為例，推導(dǎo)了插值處理公式，對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過(guò)仿真計(jì)算，對(duì)比分析了Lagrange 插值、三次Hermite 插值和三次樣條插值方法的優(yōu)劣，證明了三次樣條插值方法在潛航器慣導(dǎo)數(shù)據(jù)處理中的優(yōu)勢(shì)，為姿態(tài)指標(biāo)評(píng)定提供支撐。