四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用

張志剛

［摘? 要］ 針對(duì)《普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊》（人教A版）中的一道比較對(duì)數(shù)大小的習(xí)題，學(xué)生提出構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解題的想法. 研究者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)y=logxa，y=log（x+a），y=xlogxa，y=等函數(shù)展開探究，利用其單調(diào)性比較對(duì)數(shù)（式）的大小，為解題提供了新鮮視角.

［關(guān)鍵詞］ 構(gòu)造法；函數(shù)單調(diào)性；比較大?。活惐韧评?/p>

復(fù)習(xí)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”模塊時(shí)，筆者引領(lǐng)學(xué)生回顧《普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊》（人教A版）（下文簡稱“課本”）第141頁的一道習(xí)題：

比較下列各題中三個(gè)值的大?。海?）log6，log6，log6；（2）log23，log34，log45.

兩小問均比較底數(shù)互不相同的對(duì)數(shù)的大小，具有一定的思維難度.以第（2）問為例，先看教學(xué)用書的解答：

教學(xué)用書采用的是作差法：先利用對(duì)數(shù)換底公式將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)，然后利用基本不等式等工具通過多次放縮完成大小比較.解答過程稍顯煩瑣.

對(duì)此有學(xué)生提出：在第（1）問中，三個(gè)對(duì)數(shù)具有“底數(shù)變化，真數(shù)為定值6”的結(jié)構(gòu)特征，能否構(gòu)造函數(shù)y=log6，根據(jù)其單調(diào)性判斷大小呢？在第（2）問中，三個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都在變化，且每個(gè)對(duì)數(shù)中的底數(shù)與真數(shù)均相差1，能否構(gòu)造函數(shù)y=log（x+1），根據(jù)其單調(diào)性判斷大小呢？

如此靈感，是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開豐富聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)思維正遷移的結(jié)果. 在“指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)中，分析和解答“例3”時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)y=1.7x和y=0.8x，利用函數(shù)的單調(diào)性判定兩數(shù)的大小；在“對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)中，分析和解答“例3”時(shí)，學(xué)生又學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)y=logx和y=logx，利用函數(shù)的單調(diào)性判定兩數(shù)的大小. 受此啟發(fā)，學(xué)生類比聯(lián)想到函數(shù)y=log6和y=log（x+1），利用其單調(diào)性解題，符合學(xué)生的思維規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn). 因此，筆者鼓勵(lì)并協(xié)助學(xué)生對(duì)此深入研究，將函數(shù)y=log6抽象為y=logxa（x>0，x≠1，且a>0，a為定值），它不屬于基本初等函數(shù)的范疇，是學(xué)生素未謀面的“新面孔”，如何研究它的單調(diào)性呢？將y=log（x+1）抽象為y=log（x+a）（x>1，且a為正常數(shù)），能否類似討論它的單調(diào)性呢？

探索函數(shù)y=logxa的單調(diào)性

上述討論過程綜合應(yīng)用了不等式的性質(zhì)和代數(shù)式的變形公式等，而通過代數(shù)運(yùn)算（變形）證明數(shù)學(xué)命題對(duì)學(xué)生而言是相對(duì)陌生的.除此之外，還有其他渠道可以考察函數(shù)y=logxa（a>1）的單調(diào)性嗎？

我們知道，導(dǎo)數(shù)定量刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档刃再|(zhì)的基本方法，因而也是解決諸如增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問題的基本工具，是微積分的核心內(nèi)容之一，還是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念.在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)積累了利用導(dǎo)數(shù)探求簡單函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，于是筆者打算引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)y=logxa（a>1）的單調(diào)性：

顯然，當(dāng)0<a<1時(shí)，f′（x）>0，則f（x）在（0，1）和（1，+∞）上分別單調(diào)遞增. 可見，無論0<a<1還是a>1，函數(shù)y=logxa（x>0，x≠1，且a>0，a為定值）在（0，1）和（1，+∞）上具有相同的單調(diào)性.

例1 （2013年高考新課標(biāo)Ⅱ理數(shù)第8題）若a=log36，b=log510，c=log714，則（? ）

A. c>a>b B. b>c>a

C. a>c>b D. a>b>c

交換例1的條件和結(jié)論，設(shè)計(jì)成例2.

例2 若實(shí)數(shù)a，b，c滿足log2<log2<log2，則下列關(guān)系不可能成立的是（? ）

A. a<b<c B. b<a<c

C. c<b<a D. a<c<b

下面，繼續(xù)用導(dǎo)數(shù)探求y=log（x+a）（x>1，且a為正常數(shù)）的單調(diào)性.

探求函數(shù)f（x）=log（x+a）的單調(diào)性

研究函數(shù)f（x）=xlogxa的單調(diào)性

函數(shù)f（x）=xlogxa（x>0，x≠1，a>1）的單調(diào)性也可以用來判定對(duì)數(shù)（式）的大小關(guān)系.

例3 （2017年高考全國卷Ⅰ理數(shù)第11題）設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（? ）

A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

當(dāng)0<a<1時(shí)，可類似進(jìn)行研究，如例4.

例4 （2016年高考全國Ⅰ卷理數(shù)第8題）若a>b>1，且0<c<1，則（? ）

A. ac<bc ? B. abc<bac

C. alogbc<blogac ? D. logac<logbc

解析 易知選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤.

追求解題過程由復(fù)雜到簡單，追求思維過程由表及里、由淺入深，是數(shù)學(xué)工作者解題研究的一項(xiàng)基本任務(wù).在解題教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、概括、聯(lián)想、推理、證明、交流等思維活動(dòng)，敏銳捕捉解題靈感，優(yōu)化解題技能方法，增加題目的“附加值”. 尤其要注重培養(yǎng)學(xué)生的“質(zhì)疑”意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生提出新想法、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、發(fā)展新理論.本文正是從學(xué)生的一個(gè)新想法出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)考察四個(gè)新函數(shù)的單調(diào)性，為判定對(duì)數(shù)（式）大小找到了統(tǒng)一簡捷的解決之道. 當(dāng)然，我們還要繼續(xù)深入研究：函數(shù)的奇偶性、增長率（衰減率）、凹凸性等是怎樣的？函數(shù)的圖象是哪種形態(tài)的？在實(shí)際問題的解決中有何應(yīng)用價(jià)值？

參考文獻(xiàn)：

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)·必修第一冊（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書：基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)［M］. 北京：人民教育出版社，2004.