基于多策略改進(jìn)的麻雀搜索算法

盧 磊，賀智明，黃志成

（江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引 言

隨著時代發(fā)展，工程類優(yōu)化問題日趨復(fù)雜化，傳統(tǒng)優(yōu)化算法算力不足、效率低下等問題逐漸明顯。為了擺脫傳統(tǒng)優(yōu)化算法的局限，研究者們開發(fā)了群智能優(yōu)化方法來解決高度復(fù)雜的工程優(yōu)化問題，如遺傳算法（GA）［1］、蟻群優(yōu)化（ACO）［2］、粒子群優(yōu)化（PSO）［3］、人工蜂群（ABC）［4］和麻雀搜索算法等。這些算法簡單易行，受到越來越多學(xué)者的青睞。其中麻雀搜索算法由Xue等人［5］于2020年提出，該算法通過模擬麻雀種群的捕食與反捕食機(jī)制來建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。由于其具有算法結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少和搜索性能出色等特性，已被廣泛應(yīng)用于智能路徑規(guī)劃［6-8］、圖像處理［9-11］、醫(yī)學(xué)分析［12］和電氣工程［13-15］等領(lǐng)域。然而，SSA 算法也存在一些不足，如在迭代末期種群多樣性衰退，易陷入局部最優(yōu)等問題。

針對SSA迭代末期種群多樣性衰退、抗局部極值能力弱等問題，許多學(xué)者提出了可供參考的改進(jìn)方案。Tang 等人［16］提出了一種基于對數(shù)螺旋策略和自適應(yīng)步長策略（CLSSA）的麻雀搜索算法，該算法首先通過對數(shù)螺旋策略對搜索機(jī)制進(jìn)行改進(jìn)，增強了種群分布多樣性和搜索空間多樣性；然后引入自適應(yīng)步長策略，增強了麻雀搜索算法的迭代末期開發(fā)與探索能力。仿真結(jié)果表明，CLSSA 在23 個基準(zhǔn)測試函數(shù)的測試上比同類算法更加優(yōu)秀。

馬衛(wèi)等人［17］提出了一種基于萊維飛行機(jī)制的擾動策略來解決SSA 易陷入局部最優(yōu)的問題。該方案首先引入Sin 混沌映射來增加初始種群的豐富度，然后利用萊維飛行擾動機(jī)制增加空間搜索的多樣性，最后利用14 個常用的典型高維測試函數(shù)進(jìn)行模擬仿真。實驗結(jié)果表明該方案不但能保持標(biāo)準(zhǔn)SSA 全局尋優(yōu)能力，而且大幅度提高了算法在初期的收斂速度和末期的求解精度。

李丹丹等人［18］提出了一種結(jié)合多策略改進(jìn)的麻雀搜索算法。首先在種群初始化階段使用Tent映射替換標(biāo)準(zhǔn)麻雀初始化函數(shù)用來增加種群多樣性；然后利用自適應(yīng)交叉變異算子平衡全局與局部搜索資源，最后運用差分變異對迭代后種群進(jìn)行擾動，避免后期種群單一。分析模擬仿真結(jié)果可知，經(jīng)改進(jìn)后的麻雀搜索算法較其他對比算法在尋優(yōu)性能和收斂速度上更具優(yōu)勢。

段玉先等人［19］提出結(jié)合隨機(jī)采樣和縱橫交叉策略來優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)麻雀搜索算法。首先，對原算法初始化階段使用隨機(jī)采樣法來增強種群豐富度，然后在運行階段采用非線性慣性權(quán)重的策略來提高算法效率，最后使用縱橫交叉策略來平衡算法全局與局部的搜索能力。模擬仿真數(shù)據(jù)表明，新算法彌補了原算法求解精度不足和收斂速度過慢的問題。

通過研究上述改進(jìn)方法可知，麻雀搜索算法的改良主要集中在優(yōu)化種群結(jié)構(gòu)、避免局部最優(yōu)、平衡全局與局部等方面。

為進(jìn)一步升級算法性能，本文提出一種結(jié)合多策略改進(jìn)麻雀搜索算法（MUSSA）。首先，將特殊透鏡學(xué)習(xí)策略與Iterative 映射融合改進(jìn)提出基于Iterative映射的混沌透鏡學(xué)習(xí)機(jī)制（ILL），并使用ILL 對麻雀種群進(jìn)行初始化，改善種群邏輯結(jié)構(gòu)，豐富種群多樣性；然后，使用遺忘遞減策略減少使用ILL 策略個體數(shù)量，減少計算成本；最后，使用螺旋策略和參考系機(jī)制分別對發(fā)現(xiàn)者和追隨者的搜索策略進(jìn)行更新，增強麻雀種群全局探索及局部開發(fā)能力，提升算法的收斂速度與精確度，減少種群陷入局部極值的頻率。

實驗過程中將MUSSA 與標(biāo)準(zhǔn)SSA 以及另外3 個近年性能較為優(yōu)秀的搜索算法，即哈里斯鷹優(yōu)化算法（Harris Hawks Optimization algorithm，HHO）［20］、WOA［21］和AO［22］作為參評算法，以13 個基本測試函數(shù)對其進(jìn)行測試并進(jìn)行Friedman 檢驗。各種模擬仿真結(jié)果均顯示，MUSSA 相比原算法和其他參評算法具有更優(yōu)秀的性能。

1 標(biāo)準(zhǔn)麻雀搜索算法

SSA 是近些年較為優(yōu)秀的進(jìn)化算法之一，其核心機(jī)制為模擬麻雀覓食行為。麻雀覓食過程可以抽象為一種“發(fā)現(xiàn)者、追隨者和觀測者”的數(shù)學(xué)模型。其中有較高能量儲備的麻雀通常被劃分為發(fā)現(xiàn)者，而能量較少的個體劃分為追隨者，發(fā)現(xiàn)者與追隨者可以互相轉(zhuǎn)化。此外，在雀群中還會選擇一定比例的個體成為觀測者，為種群進(jìn)行天敵檢測和危險預(yù)警，若發(fā)現(xiàn)危險，這些個體就會飛去尋找新的位置。麻雀搜索算法就是通過公式模擬其種群3 種角色的位置更新來求解問題最優(yōu)解。其中，發(fā)現(xiàn)者的位置更新規(guī)則為：

其中，t表示當(dāng)前迭代輪次表示最大迭代次數(shù)，表示迭代到第t次時第i只麻雀的第j維的值。α∈［0，1］；R2∈（0，1）表示報警值；ST∈［0.5，1）則表示安全閾值，通常設(shè)置為0.8；Q為服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，L表示1×D的矩陣，D表示當(dāng)前問題的維度，其中每個元素的內(nèi)部值為1。公式（1）中的位置更新規(guī)則可表述為：當(dāng)警報值未超過安全閾值時，代表當(dāng)前捕食區(qū)域不存在威脅。當(dāng)警報值超過安全閾值時，代表捕食區(qū)域存在威脅，發(fā)現(xiàn)者需轉(zhuǎn)移到安全區(qū)域覓食。

追隨者位置更新規(guī)則為：

觀測者位置更新規(guī)則為：

其中，表示當(dāng)前全局最佳位置，β表示觀測者位置更新的步長控制參數(shù)，是服從高斯分布的隨機(jī)數(shù)，其值域為（-1，1）。fi是當(dāng)前個體的適應(yīng)度值，fg表示當(dāng)前全局最優(yōu)個體的適應(yīng)度值，fw表示當(dāng)前最差個體的適應(yīng)度值。K∈［-1，1］是一個隨機(jī)數(shù)；ε 是很小的常數(shù)，以避免分母為0。觀測者位置更新規(guī)則可表述為：當(dāng)麻雀個體處于不安全位置時，需采取反捕食策略，即通過變換位置來獲取更高的適應(yīng)度；當(dāng)搜索單元處于種群中心位置時，將持續(xù)向同伴位置進(jìn)行收斂以規(guī)避威脅。

2 基于多策略改進(jìn)的麻雀搜索算法

通過研究標(biāo)準(zhǔn)麻雀搜索算法的3 類個體更新公式可以看出，其尋優(yōu)方式可分為2種：

1）個體直接跳躍至當(dāng)前最優(yōu)解附近。

2）個體向原點靠近。

麻雀搜索單位采用該途徑進(jìn)行位置更新雖然獲取了強大的開發(fā)能力，卻忽略了向最優(yōu)搜索單位收斂過程中對鄰域空間的探索，降低了搜索空間的多樣性，使其容易錯過全局最優(yōu)而陷入局部最優(yōu)。針對上述問題，本文提出多種改進(jìn)策略用于優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)麻雀搜索算法。

2.1 遺忘遞減的ILL策略

近年來，計算領(lǐng)域出現(xiàn)了一種名為反向?qū)W習(xí)策略（OBL）［23］的優(yōu)秀技術(shù)，用于增強機(jī)器學(xué)習(xí)算法性能，其基本思想是在求解一個問題時，同時對其相反問題進(jìn)行建模求解，以提高算法的魯棒性和泛化能力。經(jīng)過Tizhoosh等學(xué)者［23］的深入研究，發(fā)現(xiàn)使用反向?qū)W習(xí)策略能夠顯著增加智能算法找到全局最優(yōu)解的可能性。

通過閱讀文獻(xiàn)［24］，可知透鏡學(xué)習(xí)公式在縮放因子取值為1 時可以化簡為式（4）。該式的效果與反向?qū)W習(xí)策略類似，也能增加算法魯棒性。

其中，x'j是xj對應(yīng)的反向解；aj表示搜索空間上邊界，bj表示搜索空間下邊界。

由于透鏡學(xué)習(xí)機(jī)制具有較強的魯棒性，其生成的解有時會比當(dāng)前最優(yōu)解更差。為了進(jìn)一步優(yōu)化種群豐富度，并嘗試克服該缺陷，本節(jié)借鑒文獻(xiàn)［16］將混沌映射替換隨機(jī)參數(shù)的實驗思路，將Iterative 映射同特殊透鏡學(xué)習(xí)機(jī)制結(jié)合，提出一種基于Iterative映射改進(jìn)的透鏡學(xué)習(xí)機(jī)制ILL。具體數(shù)學(xué)模型描述為：

其中，X'i表示種群中第i個搜索單位對應(yīng)的混沌透鏡學(xué)習(xí)機(jī)制生成的改良解，λi是對應(yīng)的混沌值。

Iterative 映射數(shù)學(xué)模型如式（6）所示，Iterative 映射圖如圖1 所示，可以看出Iterative 映射具有良好的隨機(jī)性和遍歷性。

圖1 Iterative映射圖

其中，b∈（0，1），本文取值為b=0.7。

通過使用ILL 策略，算法的搜索單位初始位置分布會變得更加隨機(jī)，從而改善種群質(zhì)量，并增強算法全局開發(fā)能力，提升初期收斂速度。然而，隨著迭代輪次的增加，對所有搜索單位使用ILL 策略可能會產(chǎn)生大量的無用搜索，導(dǎo)致算法的運算量增加，進(jìn)而影響算法的效率，由此本節(jié)提出基于遺忘曲線的遞減策略，隨著迭代輪次的增加，逐步減少使用ILL 策略的個體數(shù)量，具體數(shù)學(xué)公式如式（7）：

其中，P表示使用ILL 策略的種群數(shù)量，N為種群搜索單位總數(shù)，round（·）是四舍五入函數(shù)；e-t/s是記憶保持率；t表示當(dāng)前迭代輪次；s表示遺忘速度，取值為200。

2.2 動態(tài)權(quán)重的螺旋與參考系策略

在每次迭代的初始階段通常會看到單個發(fā)現(xiàn)者快速地收斂于全局最優(yōu)解決方案，以此獲得強大的開發(fā)能力。然而，以該種方式獲取全局最優(yōu)解往往忽略了對附近搜索空間的探索，導(dǎo)致在全局開拓階段探索空間量嚴(yán)重不足，并傾向于陷入局部最優(yōu)解。為了提高發(fā)現(xiàn)者模型在解空間搜索的充分度和在優(yōu)化問題中的求解性能，本節(jié)在發(fā)現(xiàn)者模型中引入了2種改進(jìn)方法。

第1 種改進(jìn)方案參考文獻(xiàn)［25］，采用鯨魚優(yōu)化算法氣泡網(wǎng)攻擊中的螺旋搜索策略，以增強發(fā)現(xiàn)者的更新模型。然而，WOA 中使用的螺旋搜索策略具有固定不變的局限性，可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)者的搜索方法缺乏多樣性，抗局部極值能力弱，從而削弱算法的搜索能力。于是本節(jié)還參考眾多研究者使用的慣性權(quán)重策略［26-29］，在螺旋策略位置更新規(guī)則中寫入非靜態(tài)權(quán)重因子η，動態(tài)調(diào)整發(fā)現(xiàn)者位置更新的螺旋弧度。這種動態(tài)調(diào)整螺旋參數(shù)的模式擴(kuò)展了發(fā)現(xiàn)者探索未知搜索區(qū)域的能力，同時仍保持了其強大的收斂速度。螺旋參數(shù)β模型如式（8）所示，其中，a是用于定義對數(shù)螺旋的常數(shù)，l是[-1,1]之間的常數(shù)。

第2 種改進(jìn)方案參考文獻(xiàn)［30］，在發(fā)現(xiàn)者位置更新模型中集成參考系，即讓發(fā)現(xiàn)者參考上一輪次的全局最優(yōu)解來進(jìn)行位置更新。通過此模式更新的發(fā)現(xiàn)者可以減少對無意義方位的探尋，從而提高算法中發(fā)現(xiàn)者模型的運行效率。為平衡該策略對算法全局和局部的影響，也在該策略中使用上文提及的慣性權(quán)重思想（在公式中引入非靜態(tài)權(quán)重因子ω），其模型如式（9）。非靜態(tài)權(quán)重因子在迭代初級階段具有相對大的值，提高發(fā)現(xiàn)者模型使用參考系的頻率，提高全局開發(fā)性能，而在迭代末期賦予較小的權(quán)重值，減少發(fā)現(xiàn)者模型使用參考系的頻率，降低策略對算法的影響，從而更好進(jìn)行局部開發(fā)。

相同的算法對于不同的問題不可能一直保持著優(yōu)秀的尋優(yōu)能力。為了提高改進(jìn)后算法的尋優(yōu)性能與泛用性，使用隨機(jī)概率p來隨機(jī)選擇2 種策略。基于上述分析，發(fā)現(xiàn)者位置更新規(guī)則調(diào)整為式（10）。式中為當(dāng)前發(fā)現(xiàn)者在對應(yīng)輪次的最優(yōu)位置，β為基于余弦函數(shù)的動態(tài)螺旋參數(shù)，α為隨機(jī)數(shù)且值域在（0，2）之間，rand 是區(qū)間（0，1）內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，R3是一個（0,1）之間的隨機(jī)數(shù)，t和M分別為種群當(dāng)前迭代到的輪次和允許種群最多迭代到的輪次。

通過運行算法并進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，帶權(quán)重因子的發(fā)現(xiàn)者在初期的迭代進(jìn)化過程中會以從外而內(nèi)的螺旋逐步開發(fā)解空間，從而獲取更詳細(xì)的空間探索，增加了獲取高質(zhì)量解的概率；而在迭代進(jìn)化的末期，權(quán)重因子η逐漸減小，螺旋幅度也逐步減小，這樣減少了發(fā)現(xiàn)者對相同空間的重復(fù)探索，從而增強了算法末期尋優(yōu)效能。

分析追隨者更新公式可知，其搜索單元收斂于當(dāng)前最優(yōu)解的方法為直接瞬移至當(dāng)前最優(yōu)解鄰域或是快速向原點靠攏。與粒子群算法中粒子逐步向最優(yōu)解靠近的方式不同，該方式缺乏局部搜索能力，這就導(dǎo)致以最優(yōu)個體為中心尋優(yōu)的追隨者極易迷失方向，從而陷入局部極值。為了減少追隨者迷失方向的概率并豐富追隨者個體與個體之間的學(xué)習(xí)與參考，本節(jié)針對追隨者個體尋優(yōu)提出一種參考系機(jī)制，其原理如式（12）所示。與發(fā)現(xiàn)者模型參考當(dāng)前全局最優(yōu)個體不同，追隨者參考的是相對位置位于其前一位的個體。此外，為了避免只有正方向擾動對算法的影響，引入?yún)?shù)μ進(jìn)行改動，μ為Sign函數(shù)，表達(dá)式為（13）：

在上述改動基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步提高改進(jìn)后算法的尋優(yōu)性能，與發(fā)現(xiàn)者模型一樣，追隨者也使用隨機(jī)概率p來隨機(jī)選擇使用策略?；诖朔治?，追隨者位置更新規(guī)則調(diào)整為式（14）。

綜上所述，改進(jìn)后的麻雀搜索算法流程如圖2 所示。圖中PD 為生產(chǎn)者的數(shù)量，SD 為感知到危險的麻雀數(shù)量。

圖2 改進(jìn)后的麻雀搜索算法的流程圖

2.3 改進(jìn)后的麻雀搜索算法收斂能力分析

全局開發(fā)和局部搜索能力等指標(biāo)通常被研究者用來衡量算法性能的優(yōu)劣。前者決定了算法前中期收斂到全局最優(yōu)位置鄰域的速度，而后者決定了算法收斂精度，即讓算法求出的解向全局最優(yōu)無限靠近。SSA 算法通過對種群對象的職責(zé)劃分來決定全局與局部搜索比重，其中發(fā)現(xiàn)者的位置更新可以視作為全局開發(fā)，其收斂方式如圖3 所示，而追隨者與觀測者的位置更新可以視為局部挖掘。在MUSSA 中沿用了原算法的種群對象職責(zé)劃分，且在原算法上進(jìn)行了改進(jìn)。首先，使用ILL 策略對種群進(jìn)行優(yōu)化，提高產(chǎn)生優(yōu)質(zhì)解的概率，豐富種群多樣性，增加算法在全局開發(fā)時的性能，并且對使用該策略的種群進(jìn)行遺忘遞減的數(shù)量控制，減少無用搜索成本，使其逐步適應(yīng)整個算法求解流程，由此保障算法收斂速度。然后，使用動態(tài)權(quán)重的螺旋策略和參考系機(jī)制分別對發(fā)現(xiàn)者與追隨者位置更新策略進(jìn)行改進(jìn)并使用隨機(jī)概率來決定使用何種改進(jìn)策略。對發(fā)現(xiàn)者來說，自適應(yīng)權(quán)重螺旋策略的引入，在保留了原算法優(yōu)越性的同時提高了全局搜索精度；對追隨者而言，動態(tài)選擇的參考系機(jī)制不但保障了其原有優(yōu)勢，還提升了局部拓展能力。由此可知，改進(jìn)后的螺旋策略和參考系機(jī)制提高了麻雀個體對其所在位置鄰域搜索的充分程度，能有效解決麻雀個體陷入局部最優(yōu)的短板，保障了全局與局部的收斂精度。綜上，本文提出的改進(jìn)策略能夠在保障原算法收斂速度優(yōu)勢的同時增強其綜合尋優(yōu)性能。

圖3 發(fā)現(xiàn)者收斂函數(shù)散點圖

2.4 時間復(fù)雜度分析

時間復(fù)雜度作為衡量算法計算量的重要手段之一，是智能算法必須考慮的重要因素。假設(shè)N為算法的總體數(shù)量級，M為最大迭代頻數(shù)，D為待解決問題的維度，那么標(biāo)準(zhǔn)SSA 的時間復(fù)雜度可表述為O（N×M×D）。從宏觀上分析，MUSSA 算法優(yōu)化過程中并沒有在整個算法外增加循環(huán)，由此相比原算法并沒有增加時間復(fù)雜度。從微觀角度分析，假設(shè)p為發(fā)現(xiàn)者在種群的比率，t1為改進(jìn)后發(fā)現(xiàn)者位置更新?lián)p耗時間，t2為改進(jìn)后追隨者位置更新?lián)p耗時間，t3為使用ILL 策略更新最優(yōu)解損耗時間。那么發(fā)現(xiàn)者部分的時間復(fù)雜度為O（M×N×p×t1×D），追隨者部分的時間復(fù)雜度為O（M×N×（1-p）×t2×D），使用ILL 策略的時間復(fù)雜度為O（M×t3），總時間復(fù)雜度為O（M×（N×D（p（t1-t2）+t2））+t3），由于p、t1、t2、t3均為較小的數(shù)，所以可以近似認(rèn)為MUSSA 的時間復(fù)雜度為O（N×M×D）。綜上所述，盡管MUSSA 相比SSA 求解最優(yōu)解花費的時間稍長，但是并沒有增加時間復(fù)雜度。在權(quán)衡時間、性能和精度的情況下，使用MUSSA 通過犧牲少量時間獲得更好的性能和更高的精度是值得的。

3 數(shù)值實驗和結(jié)果分析

仿真實驗基于Windows10（64 bit）操作系統(tǒng)，Intel CoreTM i5-9300H CPU@2.40 GHz、2.40 GHz 主頻及16 GB 內(nèi)存，使用MATLAB R2017B 編程開發(fā)。本文使用了在文獻(xiàn)中常見的13 個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行模擬仿真，其中前7 個測試函數(shù)為單峰測試函數(shù)，有且只有一個理論最優(yōu)解，主要用途為測試算法在局部開發(fā)時的性能；后6 個測試函數(shù)為多峰測試函數(shù)，存在多個局部極值，一般用來評價算法的全局探索性能和抗局部極值性能。13個基準(zhǔn)測試函數(shù)如表1所示。

表1 測試函數(shù)

3.1 不同改進(jìn)策略的有效性分析

本文采用2 個改進(jìn)策略，分別是：1）采用遺忘遞減的ILL 策略（SSA-A）；2）采用動態(tài)權(quán)重的螺旋和參考系策略（SSA-B）。為了分析本文提出策略對標(biāo)準(zhǔn)麻雀搜索算法的影響，取種群大小為50，最大迭代輪次為1000，維度為30，對表1 中的F1 函數(shù)與F2 函數(shù)分別進(jìn)行模擬仿真。從圖4 可以看出，對于單策略改進(jìn)的麻雀搜索算法SSA-A 和SSA-B，在收斂速度及精度上明顯優(yōu)于原算法；對于融合2 種改進(jìn)策略的MUSSA，其性能不但優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)SSA，而且優(yōu)于2 個單策略改進(jìn)的SSA。模擬仿真結(jié)果表明本文提出的2種改進(jìn)方式可行且有效。

圖4 不同策略收斂情況

3.2 MUSSA與其它先進(jìn)算法比較實驗

為了驗證MUSSA 算法的改進(jìn)效果，使用原始SSA、WOA、HHO 和AO 算法作為參評算法進(jìn)行對比實驗。同時，為盡量減少偶然因素的影響，每種參評算法均要單獨運行32 次，然后取這32 次實驗結(jié)果的平均值記錄于表2、表3、表4 中作為該算法的性能指標(biāo)，并根據(jù)仿真結(jié)果對參評算法優(yōu)劣性進(jìn)行評價。本次模擬仿真，參數(shù)設(shè)置如下：

表2 MUSSA與其他算法性能對比（Dim=30）

表3 MUSSA與其他算法性能對比（Dim=50）

表4 MUSSA與其他算法性能對比（Dim=100）

極限迭代輪次為300，麻雀種群搜索單元數(shù)量設(shè)置為50，預(yù)警值設(shè)置為0.8。為了確保參評算法性能，所有參評算法的參數(shù)根據(jù)原論文設(shè)置。鑒于本文使用的測試函數(shù)屬于非固定維度函數(shù)，因此在維度為30、50和100的條件下分別對這13個函數(shù)進(jìn)行求解。

根據(jù)對3 種不同維度的實驗數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)MUSSA 算法在大多數(shù)測試函數(shù)上的尋優(yōu)性能較其他參評算法要優(yōu)秀。此外，改良后的麻雀搜索算法性能不會因為測試函數(shù)維度的上升而產(chǎn)生較大波動。

具體而言，對于單峰測試函數(shù)F1～F7，MUSSA 算法在前6 個測試函數(shù)上總能找到比其他參評算法更好的最優(yōu)值，且只在測試函數(shù)F7 上的表現(xiàn)分別在收斂精準(zhǔn)度和收斂穩(wěn)定性方面稍遜于AO 算法和HHO算法。

對于多峰測試函數(shù)F8～F13，只有HHO 算法在測試函數(shù)F8上的尋優(yōu)能力能穩(wěn)定優(yōu)于MUSSA算法。在測試函數(shù)F9～F11上，除WOA 算法外的所有參評算法均能得到不錯的優(yōu)化效果，即穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值且不因維度變化而發(fā)生變化。在函數(shù)F12和F13上，只有MUSSA算法找到的最優(yōu)值更接近于理論最優(yōu)值。

值得注意的是，無論使用何種測試函數(shù)，MUSSA算法的性能總能在絕大部分情況下優(yōu)于原始SSA 算法且不因維度的變化而發(fā)生改變。這說明MUSSA 算法的開發(fā)能力要明顯優(yōu)于原始SSA算法。

綜上所述，MUSSA算法相比于SSA算法以及其他參評算法具有更優(yōu)秀的性能。本文所提出的改進(jìn)策略較好地提升了種群豐富度，拓展了算法針對理論最優(yōu)解所存在的域的發(fā)掘，從而提高了算法的尋優(yōu)性能。

為了比較MUSSA 和SSA 針對不同測試函數(shù)的優(yōu)化表現(xiàn)，根據(jù)維度為30 時的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)，對各參評算法從小到大進(jìn)行排序，并根據(jù)排序結(jié)果繪制了排名雷達(dá)圖，如圖5 所示。性能雷達(dá)圖中的曲線所圍成的多邊形區(qū)域越廣，表示該算法的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)排序越靠后，其穩(wěn)定性就越差。在本文中，使用黑色加粗實線表示MUSSA 算法，黑色虛線表示原始SSA 算法。從雷達(dá)圖中不難發(fā)現(xiàn)，SSA 算法排名曲線所圍區(qū)域遠(yuǎn)超MUSSA 算法，這說明MUSSA 算法在各測試函數(shù)上的整體性能優(yōu)勢較原始SSA更顯著。

圖5 維度30測試函數(shù)雷達(dá)圖

為了評估改良后算法的收斂速度和收斂精度，本文給出MUSSA 算法和其他參評算法在解決不同維度測試函數(shù)時的平均收斂曲線，如圖6 和圖7 所示。從圖中可以看出，無論是在30 維還是100 維情況下，MUSSA總能獲得不錯的優(yōu)化效果。

圖7 MUSSA與其他優(yōu)化算法收斂曲線圖（Dim=100）

為了從統(tǒng)計學(xué)角度證明改良后算法的優(yōu)越性，本文還采用Friedman 檢驗［31］對各參評算法進(jìn)行了多維度校驗。表5 為各算法的平均排名結(jié)果，數(shù)據(jù)保留3位小數(shù)。從表5中可以看出，MUSSA算法無論是在各維度的獨立排名還是總排名均為第一。

表5 不同算法的Friedman檢驗

綜合上述實驗結(jié)果可以得出，MUSSA 算法相較其他參評算法在統(tǒng)計學(xué)角度具有更好的尋優(yōu)性能。

4 結(jié)束語

本文首先將Iterative映射與透鏡學(xué)習(xí)機(jī)制引入標(biāo)準(zhǔn)麻雀搜索算法中，通過改善種群結(jié)構(gòu)，來豐富種群多樣性，從而避免算法陷入局部最優(yōu)，并使用遺忘遞減策略，逐步減少使用混沌透鏡學(xué)習(xí)策略的個體數(shù)量，削減計算成本；然后，將動態(tài)權(quán)重的螺旋搜索策略和參考系機(jī)制作用于發(fā)現(xiàn)者，優(yōu)化全局搜索時的搜索范圍，增強其對局部的開發(fā)能力；最后，將動態(tài)選擇策略和基于螺旋的參考系機(jī)制作用于追隨者，平衡全局與局部搜索不均的態(tài)勢，并提高收斂速度。本文選取常用的13 個基準(zhǔn)測試函數(shù)，從收斂性、穩(wěn)定性和平衡性3 個角度進(jìn)行模擬仿真，實驗結(jié)果表明MUSSA 在各方面性能均優(yōu)于其他參評算法。