分析學(xué)情　有序思考　提煉模型　提升素養(yǎng)

程峰　張林

【摘 要】 分析和調(diào)查學(xué)生在解答一道畫圖題時(shí)的困惑和思維盲點(diǎn)，有助于教師深入理解題目，挖掘題目，尋求適合學(xué)生解題思路和方法，并提煉出幾何模型，在發(fā)展學(xué)生思維能力的同時(shí)訓(xùn)練了學(xué)生的幾何直觀能力、邏輯推理能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 思維盲點(diǎn);幾何模型;問題本質(zhì)

1 題目呈現(xiàn)

如圖1，在菱形ABCD中，P是CD的中點(diǎn)，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∠A=120°，連接BP，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下畫圖（不寫畫法，保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中畫出BC的中點(diǎn)M.

（2）在圖2中畫出線段BP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的圖形.

本題是筆者所在學(xué)校一次模擬考試題.本題以常見的含120°（或60°）角的菱形為背景，圖形簡(jiǎn)潔，主要考查旋轉(zhuǎn)作圖，考查圖形結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.本題第（2）問得分率很低，不到20％（注：本文主要討論第（2）問，第（1）問略），大部分學(xué)生不能確定B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置.有很多學(xué)生憑主觀臆斷，胡亂畫出B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置，也有很多學(xué)生直接畫出旋轉(zhuǎn)后的線段，沒有畫圖痕跡.

2 學(xué)情分析

在教學(xué)之前，筆者對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤畫法進(jìn)行了分析，然后隨機(jī)抽取不同層次的學(xué)生若干名，讓他們談?wù)勗诳荚囘^(guò)程中對(duì)于此題遇到的困難或思維盲點(diǎn).經(jīng)過(guò)交流和分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困惑和思維盲點(diǎn)主要集中在以下三個(gè)方面：

（1）無(wú)方向：這道題圖形背景簡(jiǎn)潔，但簡(jiǎn)潔的同時(shí)，也給學(xué)生增加了難度，很多學(xué)生不知道往什么方向思考，毫無(wú)頭緒.

（2）無(wú)圖形：觀察圖形易知P點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到C點(diǎn)，△POC是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，應(yīng)是以O(shè)B為邊的等邊三角形的頂點(diǎn)，也就是畫出另一個(gè)等邊三角形，但是很多學(xué)生沒想到.

（3）無(wú)思路：有學(xué)生雖然想到要畫等邊三角形，但是這個(gè)等邊三角形如何畫出？B點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的位置如何確定？大部分學(xué)生找不到畫圖思路.

3 教學(xué)實(shí)施

3.1 分析圖形特征，初步感知問題

如圖3，為了有效尋找圖形的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，筆者提出問題：（1）菱形ABCD有什么特殊性質(zhì)？如果連接OP，能確定△POC的形狀么？（2）你能確定點(diǎn)P繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的位置嗎？（3）你能確定點(diǎn)B繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的大概位置嗎？

教學(xué)分析 通過(guò)分析圖形特征，在問題串的解決過(guò)程中，學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造出符合要求的輔助線，通過(guò)思考與嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠ACP=60°，且OP=OC，所以首先能確定P點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到C點(diǎn)，△POC是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，應(yīng)是以O(shè)B為邊的等邊三角形的頂點(diǎn).

3.2 轉(zhuǎn)化問題，尋求突破

問題 OH跟AB存在什么位置關(guān)系？

連接OB，由菱形的性質(zhì)知∠AOB=90°，因此問題轉(zhuǎn)化為在∠AOB內(nèi)部畫出以O(shè)B為邊，點(diǎn)O為頂點(diǎn)的60°角，即∠BOH=60°，又易知∠ABO=30°，所以∠OGB=90°，也就是OH⊥AB，如圖4，這樣問題又轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)O畫線段OH⊥AB，垂足為點(diǎn)G.

3.3 繼續(xù)探究，確定思路

問題：如何確定點(diǎn)G的位置呢？又如何確定點(diǎn)H的位置呢？

要畫出垂線段OH，首先要確定點(diǎn)G的位置，猜想點(diǎn)G會(huì)是什么特殊點(diǎn)呢？如圖5，延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)E，則E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，OA=OE，易知∠BOE=∠OBE=30°，所以∠EOG=60°-30°=30°=∠AOG，所以點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)（三線合一），這樣就確定了點(diǎn)G的位置.那么點(diǎn)H的位置又如何確定呢？如圖6，延長(zhǎng)DA，OG，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)H.連接HE，易證四邊形OEHA，四邊形OEBK都是菱形，且菱形OEHA≌菱形OEBK，OH，OB分別是它們對(duì)應(yīng)的對(duì)角線，所以O(shè)H=OB，且∠BOH=60°，所以△OBH是等邊三角形，即B點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)H.

教學(xué)分析 為了讓學(xué)生充分理解如何尋找點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的位置，筆者將原問題分解成一連串相關(guān)問題，使學(xué)生從整體上把握問題的本質(zhì)，獲得解題思路.

3.4 畫法生成，發(fā)展思維

通過(guò)前面的思考和探究可知，只要畫出AE的中點(diǎn)，就能畫出B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么僅利用無(wú)刻度的直尺如何畫出AE的中點(diǎn)呢？筆者放手讓學(xué)生合作探究，課堂上得出了以下六種畫法：如圖7—12，各圖中線段HC為線段BP繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的線段.

教學(xué)分析 通過(guò)循序漸進(jìn)，抽絲剝繭的分析，最終得出只要畫出AE的中點(diǎn)，就能畫出B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).在整個(gè)思考和探究的過(guò)程中，使學(xué)生知其然，更知其所以然，較好地發(fā)散了學(xué)生的思維，訓(xùn)練了學(xué)生的幾何直觀能力，邏輯推理能力，從而提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.5 提煉模型，理解本質(zhì)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的線段HC畫出來(lái)后，筆者讓學(xué)生回顧考試時(shí)遇到的困難和思維盲點(diǎn)，哪一步?jīng)]想到？為什么沒想到？是知識(shí)點(diǎn)遺忘還是方法不當(dāng)？現(xiàn)在有哪些領(lǐng)悟？你能發(fā)現(xiàn)圖7—12中都蘊(yùn)含的一個(gè)模型圖嗎？如果發(fā)現(xiàn)了，把它畫出來(lái).當(dāng)筆者把圖7—12中部分線段隱藏起來(lái)，都只留下圖13，學(xué)生紛紛感嘆，原來(lái)就是特殊的“手拉手”模型圖，原來(lái)此題就是把圖13隱藏起來(lái)，讓我們畫出來(lái)即可.為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解圖13，筆者讓學(xué)生盡可能的說(shuō)出圖13的性質(zhì)：OP=OC，OB=OH，△OPC，△OBH都是等邊三角形，△BOP≌△HOC，BP=HC，BP與HC的夾角是60°，線段HC是由線段BP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到.筆者把這種畫法形象地稱為“手拉手模型法”，并提醒學(xué)生今后在遇到有關(guān)線段旋轉(zhuǎn)的問題，首先可以考慮構(gòu)造出“手拉手模型圖”.

教學(xué)分析 筆者讓學(xué)生進(jìn)行反思，讓學(xué)生明白“為什么這樣畫”“怎么想到要這樣畫”等問題，這需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路的認(rèn)識(shí)不能僅停留在直覺層面，而要上升到理性層面.從畫完后的圖形中提煉出“手拉手”模型，既讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，又是思維上的一次升華.

3.6 運(yùn)用模型，深化理解

為了進(jìn)一步使學(xué)生理解和運(yùn)用手拉手模型，筆者趁熱打鐵，提出以下幾道變式問題：

（1）畫出BP繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°的線段，如圖14所示HK；（筆者提醒學(xué)生還是畫等邊三角么？）

（2）畫出BP繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖15所示MH；

（3）畫出BP繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖16所示AG；

（4）畫出BP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖17所示HF；

（5）畫出BP繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的線段，如圖18所示MG.

教學(xué)分析 美國(guó)數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾說(shuō)“好問題同某種蘑菇相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)”.因此，自然想到改變旋轉(zhuǎn)中心或旋轉(zhuǎn)角度對(duì)原問題進(jìn)行變式探究，這樣可以達(dá)到舉一反三，觸類旁通的效果，讓學(xué)生再次感悟“變中有不變”，即問題變了而畫法沒變，仍然是構(gòu)造“手拉手模型”.學(xué)生用已有的方法和經(jīng)驗(yàn)解決新問題時(shí)，可以進(jìn)一步感悟畫圖思路，提升解題能力，進(jìn)一步理解、把握問題本質(zhì).

3.7 節(jié)外生枝，殊途同歸

正當(dāng)筆者要結(jié)束此題的教學(xué)時(shí)，一位畫法正確的學(xué)生站起來(lái)說(shuō)他的畫法跟筆者講的畫法不同.該生的思路是把BP看作是平行四邊形BCPG的對(duì)角線，因此先畫出 圖19BCPG繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的HFCA，連接對(duì)角線HC，則HC就是BP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的線段.如圖19所示.筆者表?yè)P(yáng)該生能在考試時(shí)間緊張的情況下想到旋轉(zhuǎn)平行四邊形的方法，體現(xiàn)了思維的靈活性、變通性，同時(shí)也體現(xiàn)了整體與部分的思想.當(dāng)然，也可以看作是把△PGB（△PBC）旋轉(zhuǎn)到△CAH（△CHF）.從最后的畫出的圖形看，本質(zhì)上還是“手拉手模型法”，用一個(gè)成語(yǔ)概括就是“殊途同歸”.

4 教學(xué)反思

4.1 分析學(xué)情，保障教學(xué)有的放失

學(xué)生解題時(shí)的困惑和思維盲點(diǎn)從某種意義上說(shuō)也是教學(xué)的起點(diǎn).筆者在教學(xué)之前對(duì)學(xué)生試卷上出現(xiàn)的錯(cuò)誤予以分析并與若干名不同層次的學(xué)生進(jìn)行交流，通過(guò)6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，層層推進(jìn)，有序展開，在破除學(xué)生心中疑惑的同時(shí)成功突破本題的難點(diǎn)，達(dá)到了學(xué)生知其然更知其所以然的教學(xué)效果^[1].由此可見，只有建立在學(xué)生學(xué)情基礎(chǔ)上的備課，才是有針對(duì)性的備課，才是理解學(xué)生的備課；只有建立在學(xué)生學(xué)情上的教學(xué)，才能保障教學(xué)活動(dòng)有的放矢.

4.2 有序思考，促進(jìn)思維能力提升

從本題的各種畫法看，雖然最后畫出的圖形都是常見的手拉手模型，但是從學(xué)生的答題情況看，多數(shù)學(xué)生的思維障礙是難以確定旋轉(zhuǎn)后的位置，無(wú)法與手拉手模型建立聯(lián)系，無(wú)法將題中的條件進(jìn)行整合，導(dǎo)致無(wú)法畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.這就需要教師在教學(xué)時(shí)給予學(xué)生充分暴露思維的機(jī)會(huì)，在思維盲點(diǎn)處加以點(diǎn)撥.教師要引導(dǎo)學(xué)生有效審題，有序思考，由“已知”想“可知”，由“未知”想“需知”，找到中間環(huán)節(jié)，構(gòu)建思維通道，尋找內(nèi)在聯(lián)系，從而理解問題的本質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力的有效提升^[2].

4.3 提煉模型，揭示問題本質(zhì)

解題教學(xué)要注重對(duì)數(shù)學(xué)模型的提煉.在教學(xué)中，充分利用“數(shù)學(xué)模型”，將學(xué)生難以理解的知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)哪Ｐ吞幚恚运麄兡軌蚶斫夂徒邮艿姆绞匠尸F(xiàn)出來(lái)，與他們的思維水平和已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相融，學(xué)生就可以實(shí)現(xiàn)在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)對(duì)已有的知識(shí)的鞏固，同時(shí)提煉模型也有利于學(xué)生更好地理解問題本質(zhì)，揭示問題本質(zhì).

4.4 變式探究，落實(shí)素養(yǎng)提升

變式探究，一方面可以幫助學(xué)生鞏固先前的所學(xué)知識(shí)和方法，另一方面可以拓展學(xué)生的視野，使學(xué)生更深刻地把握問題結(jié)構(gòu)，理解問題本質(zhì).本節(jié)課幾個(gè)變式問題，既達(dá)到了鞏固練習(xí)的目的，又拓展了學(xué)生的思維；既培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀能力、邏輯推理能力，又落實(shí)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)

[1]鄭金.貼近學(xué)情 提升能力 落實(shí)素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）2022（8）；32-34.

[2]徐一鳴.夯基礎(chǔ) 長(zhǎng)能力 促思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）2019（4）；45-47.

作者簡(jiǎn)介 程峰（1975—），男，中小學(xué)高級(jí)教師;主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué).

張林（1985—），女，中小學(xué)一級(jí)教師;主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué).