圖說(shuō)數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)

【摘 要】 跨學(xué)科教學(xué)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》重點(diǎn)提倡的教學(xué)方式之一.借助圖形講解數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的幾個(gè)基本問(wèn)題：跨學(xué)科教學(xué)的地位價(jià)值、發(fā)展脈絡(luò)、概念辨析、實(shí)施方法、評(píng)價(jià)方案等，并給出案例及剖析，幫助讀者直觀理解數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的研究成果，有效開展數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，穩(wěn)步推進(jìn)數(shù)學(xué)課程改革.

【關(guān)鍵詞】 課程標(biāo)準(zhǔn)；跨學(xué)科教學(xué)；圖說(shuō)；理論；實(shí)踐；辯證分析

細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，“跨學(xué)科教學(xué)”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）重點(diǎn)提倡的兩種教學(xué)方式之一（另一種是“大單元教學(xué)”）^[1]86.為什么要提倡跨學(xué)科教學(xué)？跨學(xué)科教學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)是怎樣的？跨學(xué)科教學(xué)的相關(guān)概念如何辨析？如何實(shí)施和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)？本文借助圖形直觀地回答上述問(wèn)題，幫助讀者理解新課標(biāo)及其帶來(lái)的教學(xué)方式變革.

1 跨學(xué)科教學(xué)的地位價(jià)值

要回答《課標(biāo)（2022年版）》重點(diǎn)提倡“跨學(xué)科教學(xué)”與“大單元教學(xué)”^[2]兩種教學(xué)方式的緣由，需分析它們的地位價(jià)值，這從《課標(biāo)（2022年版）》的修訂思路（如圖1）中即可看出.

具體來(lái)說(shuō)，就是《課標(biāo)（2022年版）》以立德樹人、核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)——育人為本、素養(yǎng)為魂^[3]，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合素養(yǎng)并重.其中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的載體是結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容（具體包括“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”3個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域），綜合素養(yǎng)培育的載體是“綜合與實(shí)踐”（即第4個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域）.實(shí)際教學(xué)中，需要通過(guò)大單元教學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，需要通過(guò)跨學(xué)科教學(xué)落實(shí)綜合與實(shí)踐活動(dòng).當(dāng)然，大單元教學(xué)最終需要分解為課時(shí)教學(xué)才能進(jìn)入課堂，跨學(xué)科教學(xué)最終需要主題活動(dòng)（小學(xué)階段）或項(xiàng)目式學(xué)習(xí)（初中階段）來(lái)完成.最后，教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)均需依靠學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)來(lái)檢驗(yàn)、反饋、改善.

理解了《課標(biāo)（2022年版）》的上述修訂思路，我們就能明晰數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的地位價(jià)值，它承載著學(xué)生綜合素養(yǎng)和實(shí)踐能力培育的重任，絕非可有可無(wú)，它與大單元教學(xué)猶如鳥之雙翼、人之雙足，共同促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，以致2022年版課程方案明確提出了“各門課程用不少于10%的課時(shí)設(shè)計(jì)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)”的剛性要求^[4].

與數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的地位價(jià)值相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題是“綜合與實(shí)踐”在數(shù)學(xué)課程中的地位.比較2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)^[5]，容易發(fā)現(xiàn)義務(wù)教育的4個(gè)“學(xué)習(xí)領(lǐng)域”與高中階段的4條“學(xué)習(xí)主線”存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，體現(xiàn)了課程的發(fā)展與延續(xù).其中，義務(wù)教育的“綜合與實(shí)踐”演變?yōu)楦咧须A段的“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”，它們是“問(wèn)題解決”（Problem Solving）在不同學(xué)習(xí)階段的表現(xiàn)形式（如圖2）^[6]，也是課程綜合性與實(shí)踐性特征的集中展示.

《課標(biāo)（2022年版）》指出，義務(wù)教育的“綜合與實(shí)踐”以“跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)”為主，其中小學(xué)可采用“主題活動(dòng)”和“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”，初中可采用“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”^[1]17.2017年版數(shù)學(xué)課標(biāo)則指出，高中階段的“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”包括“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”和“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”，兩者都以“課題研究”的形式展開^[7]35.將這些名目繁多的學(xué)習(xí)方式統(tǒng)稱為“項(xiàng)目/問(wèn)題式學(xué)習(xí)”（Project-based Learning or Problem-based Learning，均簡(jiǎn)寫為PBL），亦無(wú)不可，且與“問(wèn)題解決”相呼應(yīng).

2 跨學(xué)科教學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)

跨學(xué)科教學(xué)的源頭顯然無(wú)從考證，但可以毫不夸張地說(shuō)，自有分學(xué)科教學(xué)以來(lái)，就有跨學(xué)科教學(xué)，兩者互為補(bǔ)充、相輔相成，正如實(shí)數(shù)軸上的有理數(shù)與無(wú)理數(shù)一樣，它們相伴相生，共同構(gòu)成完整的實(shí)數(shù)世界.

從有記錄的文獻(xiàn)來(lái)看，1972年的一次經(jīng)合組織（OECD）會(huì)議明確將“跨學(xué)科”界定為描述兩個(gè)或多個(gè)不同學(xué)科之間相互作用的形容詞，這種相互作用的范圍涵蓋簡(jiǎn)單的思想交流到深度的結(jié)構(gòu)整合^[8].后來(lái)“跨學(xué)科”繼續(xù)分化為“跨學(xué)科研究”“跨學(xué)科教育”兩個(gè)領(lǐng)域.其中，“跨學(xué)科教育”也稱“整合教育”，它又分化為兩個(gè)研究方向：一是將所有的科學(xué)學(xué)科視為一個(gè)整體，因?yàn)檫@些學(xué)科存在許多共同的概念結(jié)構(gòu)和探究過(guò)程，且遵循普遍的規(guī)律；二是用綜合方式教授不同的科學(xué)學(xué)科，便于實(shí)現(xiàn)一定的教學(xué)目的^[9].兩個(gè)研究方向都注重整合，前者側(cè)重內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整合，后者側(cè)重教學(xué)過(guò)程的整合^[10].兩個(gè)研究方向都很重要，前者使得跨學(xué)科內(nèi)容整合成為可能，后者使得跨學(xué)科教學(xué)成為現(xiàn)實(shí).

這樣我們就得到了如圖3所示的一幅跨學(xué)科教學(xué)發(fā)展脈絡(luò).

3 跨學(xué)科教學(xué)的概念辨析

《課標(biāo)（2022年版）》并沒有給出“跨學(xué)科教學(xué)”這一概念的具體含義.僅從字面上看，至少需要厘清兩個(gè)基本問(wèn)題：跨什么？怎么跨？這需要我們結(jié)合多種研究文獻(xiàn)和大量實(shí)踐案例進(jìn)行辨析.

關(guān)于“跨什么”，比較理性的認(rèn)識(shí)應(yīng)該是從數(shù)學(xué)學(xué)科“跨到”其他學(xué)科，并最終“跨回”數(shù)學(xué)學(xué)科.也就是說(shuō)，問(wèn)題可以來(lái)源于其他學(xué)科，但問(wèn)題的解答根子還在數(shù)學(xué)學(xué)科.

根據(jù)《中華人民共和國(guó)學(xué)科分類與代碼國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GBT 13745-2009）》，可將數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)問(wèn)題的學(xué)科來(lái)源劃分為自然科學(xué)、農(nóng)業(yè)科學(xué)、醫(yī)藥科學(xué)、人文與社會(huì)科學(xué)、工程與技術(shù)科學(xué)等5類，具體如表1所示^[11].

因此，實(shí)施數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的一個(gè)基本前提是了解學(xué)科分類，以便選取相關(guān)的學(xué)科問(wèn)題，設(shè)置相關(guān)的學(xué)科情境，運(yùn)用相關(guān)的學(xué)科知識(shí)與方法解決問(wèn)題.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們無(wú)需糾結(jié)問(wèn)題到底來(lái)源于哪個(gè)（哪些）學(xué)科，要重點(diǎn)關(guān)注問(wèn)題能否實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化、能否獲得數(shù)學(xué)的解答.

關(guān)于“怎么跨”，這需要將相關(guān)的四個(gè)概念（單一學(xué)科、多學(xué)科、跨學(xué)科、超學(xué)科）進(jìn)行比較、辨析，如圖4所示^[12].

其中，“單一學(xué)科”立即可以排除，它連基本前提“跨什么”都不滿足.另外三個(gè)概念都滿足“跨什么”，但在“怎么跨”方面表現(xiàn)出不同的整合程度.

“多學(xué)科”也應(yīng)排除，不同學(xué)科圍繞主題處于割裂狀態(tài)，類似“水果拼盤”，學(xué)科之間沒有發(fā)生相互作用更無(wú)整合.

“跨學(xué)科”的整合程度較好，學(xué)科之間相互作用、建立聯(lián)系并產(chǎn)生新的理解，但探討的問(wèn)題往往局限在學(xué)科視野之中，較少討論學(xué)科之間的交叉領(lǐng)域或關(guān)聯(lián)部分.據(jù)此，有研究者認(rèn)為“跨學(xué)科教學(xué)指的是讓學(xué)生在對(duì)項(xiàng)目、主題、問(wèn)題、任務(wù)等的實(shí)踐探索中學(xué)習(xí)，將學(xué)科間的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，作為一個(gè)整體進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程”^[13].這是目前較為普遍的一種認(rèn)識(shí).

“超學(xué)科”的整合程度最高，指向超越學(xué)科范疇的復(fù)雜問(wèn)題解決，將學(xué)科間的關(guān)系置于一個(gè)完整的問(wèn)題系統(tǒng)中進(jìn)行認(rèn)知，學(xué)科之間不僅實(shí)現(xiàn)了整合，還能產(chǎn)生新的解釋性體系.這就是前面圖3中側(cè)重內(nèi)容整合的“跨學(xué)科內(nèi)容教學(xué)”，它與側(cè)重教學(xué)過(guò)程整合的“跨學(xué)科綜合教學(xué)”是兩個(gè)不同的研究方向.

完成相關(guān)概念的辨析之后，我們?cè)凇墩n標(biāo)（2022年版）》的背景下這樣界定“數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)”：它以數(shù)學(xué)學(xué)科為中心，通過(guò)問(wèn)題或項(xiàng)目，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)整合起來(lái)，側(cè)重幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)與技能、理解數(shù)學(xué)的思想與方法，并能創(chuàng)造性地解決應(yīng)用性問(wèn)題、綜合與實(shí)踐問(wèn)題.數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的本質(zhì)特征是促進(jìn)學(xué)生思維（尤其是數(shù)學(xué)思維）的融會(huì)貫通^[14].數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)，既可以發(fā)生在課內(nèi)，也可以發(fā)生在課外；既可以用項(xiàng)目作載體，也可以用問(wèn)題（包括例題、習(xí)題、考題等）為載體.

4 跨學(xué)科教學(xué)的實(shí)施方法

具體地，如何開展數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)？我們分兩種情況來(lái)討論.

一是針對(duì)問(wèn)題形式的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué).其實(shí)施的一般方法是：先從教材內(nèi)容或考試素材當(dāng)中選擇數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的問(wèn)題；充分挖掘該問(wèn)題的數(shù)學(xué)教育價(jià)值；基于問(wèn)題解決精心設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈；分階段提前布置活動(dòng)方案，學(xué)生自主學(xué)習(xí)、完成探索；引導(dǎo)學(xué)生使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言并輔以圖文語(yǔ)言，進(jìn)行學(xué)習(xí)成果的表達(dá)與交流^[15].

二是針對(duì)項(xiàng)目形式的數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué).《課標(biāo)（2022年版）》專門給出了3個(gè)初中案例（即課標(biāo)附錄1中的案例89，90，91），其中“體育運(yùn)動(dòng)與心率”這個(gè)案例很有代表性，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，學(xué)生有興趣、有能力去嘗試、完成并獲得一定的發(fā)展.該案例要求學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)、體育、生物學(xué)等知識(shí)，研究體育運(yùn)動(dòng)與心率問(wèn)題，可以作為初中數(shù)學(xué)“函數(shù)”主題中的跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí).具體的問(wèn)題交由學(xué)生自主提出，例如：在某種有氧或無(wú)氧運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)類型、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)員性別與心率的關(guān)系等.

該案例對(duì)跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)方案及實(shí)施流程都做了很好的示范，如圖5所示^[1]171.對(duì)于其他相似跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例，僅需替換圖5中間方框的主題名稱“體育運(yùn)動(dòng)與心率”以及虛線圓圈里的學(xué)科名稱.

該案例以項(xiàng)目為載體，需要課內(nèi)課外相結(jié)合，且具有開放性，沒有“標(biāo)準(zhǔn)答案”.其中，課外主要完成問(wèn)題的提出、方案的設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)的收集，課內(nèi)主要完成數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析，并綜合運(yùn)用函數(shù)、體育、生物學(xué)等知識(shí)分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律（數(shù)學(xué)模型）.該案例是以學(xué)生為主體、數(shù)學(xué)教師為主導(dǎo)完成的，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生開展小組合作，必要時(shí)可邀請(qǐng)其他學(xué)科教師或班主任協(xié)同實(shí)施.

5 跨學(xué)科教學(xué)的評(píng)價(jià)方案

教學(xué)評(píng)價(jià)既是檢驗(yàn)教學(xué)效果的方法，也是改進(jìn)教學(xué)行為的手段.跨學(xué)科教學(xué)的評(píng)價(jià)方案應(yīng)與跨學(xué)科教學(xué)的實(shí)施方案同步完成，確保“教—學(xué)—評(píng)”的一致性，以免最后流于形式.

有研究者綜合理論認(rèn)識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，給出了如圖6所示的跨學(xué)科教學(xué)“三度”評(píng)價(jià)方案^[12].所謂“三度”包括指向?qū)W習(xí)內(nèi)容的“學(xué)科整合程度”、指向?qū)W習(xí)過(guò)程的“學(xué)習(xí)投入程度”、指向?qū)W習(xí)結(jié)果的“問(wèn)題解決程度”.該評(píng)價(jià)方案的一級(jí)指標(biāo)之所以選定“三度”，理由是：“學(xué)科整合”是跨學(xué)科教學(xué)區(qū)別于其他教學(xué)方式的基本前提和特征；“學(xué)習(xí)投入”是跨學(xué)科教學(xué)有效開展的重要保障；“問(wèn)題解決”是跨學(xué)科教學(xué)的直接結(jié)果.每個(gè)維度細(xì)分為若干二級(jí)指標(biāo)，可以適當(dāng)賦以分值或等第.跨學(xué)科教學(xué)完成之后，教師可采用文字語(yǔ)言或表格語(yǔ)言呈現(xiàn)每位學(xué)生或每個(gè)學(xué)生小組共同的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)結(jié)果.

當(dāng)然，跨學(xué)科教學(xué)評(píng)價(jià)方案的維度并不唯一，但都應(yīng)立足跨學(xué)科教學(xué)（區(qū)別于其他學(xué)習(xí)方式）的基本特征，并與其教學(xué)目標(biāo)保持一致.

6 跨學(xué)科教學(xué)的辯證分析

當(dāng)前，隨著《課標(biāo)（2022年版）》的發(fā)布與實(shí)施，跨學(xué)科教學(xué)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域如火如荼，但也出現(xiàn)了不少認(rèn)識(shí)誤區(qū)和操作盲點(diǎn).實(shí)施數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)需注意以下一些辨證關(guān)系.

（1）跨學(xué)科教學(xué)并非沒有主學(xué)科，也不是多學(xué)科平均用力，數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)要立足數(shù)學(xué)這個(gè)主學(xué)科，主要服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué).

（2）數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)不能以其他學(xué)科的知識(shí)應(yīng)用、方法套用為主要目的.必要時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入所涉學(xué)科內(nèi)部，了解該學(xué)科知識(shí)的來(lái)龍去脈，感悟該學(xué)科的思想方法.切忌生搬硬套、囫圇吞棗（貌似解決了一個(gè)個(gè)跨學(xué)科問(wèn)題，但學(xué)生在跨學(xué)科的知識(shí)與思維方法上一無(wú)所獲）.

（3）數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)除了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式的整合，更需要學(xué)生思維的整合.要避免跨學(xué)科教學(xué)流于形式，因?yàn)閷W(xué)生思維的綜合化才是跨學(xué)科教學(xué)的精髓.還要避免跨學(xué)科教學(xué)內(nèi)容或問(wèn)題過(guò)于艱深、脫離學(xué)生實(shí)際.

（4）數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)中要減少機(jī)械重復(fù)與無(wú)效的課外活動(dòng)（如收集、統(tǒng)計(jì)價(jià)值不大的海量數(shù)據(jù)），減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值與德育功能，正所謂“贏得了作業(yè)就贏得了學(xué)生”.

（5）由于數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)本身的綜合性以及實(shí)踐操作層面的多樣性，需要在實(shí)踐過(guò)程中關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的落實(shí)、活動(dòng)效率的保障以及評(píng)價(jià)指標(biāo)的科學(xué)設(shè)計(jì)^[16].

本文通過(guò)“圖說(shuō)”數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)，以期幫助讀者直觀理解其理論成果，有效開展教學(xué)實(shí)踐，穩(wěn)步推進(jìn)課程改革.本文也是筆者“圖說(shuō)數(shù)學(xué)教育原理”文章系列^[2，5]的新成果.讓我們共同努力，把數(shù)學(xué)教育理論變得更加直觀形象，把數(shù)學(xué)教育研究變得更加平易近人.

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作者介紹 劉祖希（1980—），男，湖北仙桃人，華東師范大學(xué)出版社副編審，華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)》雜志編委，新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始人，中國(guó)教育學(xué)會(huì)青少年創(chuàng)新思維教育分會(huì)常務(wù)理事，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育分會(huì)中學(xué)工作組成員，倡導(dǎo)“讓數(shù)學(xué)教育研究更加平易近人”;主編《當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)教育名家訪談》等多部著作;在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等刊物發(fā)表文章100余篇.