基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差組合預(yù)測(cè)*

□ 陳茂雷 □ 項(xiàng)四通 □ 李 濃 □ 劉永榮

1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院 浙江寧波 315211 2.寧波德凱數(shù)控機(jī)床有限公司 浙江寧波 315211

1 研究背景

直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)的進(jìn)給軸能夠?qū)崿F(xiàn)直接驅(qū)動(dòng),具有精度高、速度快、效率高等優(yōu)點(diǎn)[1,2]。然而,直驅(qū)結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的熱誤差,導(dǎo)致進(jìn)給軸的定位精度降低[3],因此有必要建立熱誤差預(yù)測(cè)模型。

目前學(xué)者們主要將滾珠絲杠系統(tǒng)作為熱誤差研究的重點(diǎn)[4-5],針對(duì)直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差進(jìn)行的研究則比較少。Kim等[6]在研究中測(cè)量全直驅(qū)三軸機(jī)床的熱誤差,并結(jié)合有限元法確定各軸的熱誤差構(gòu)成要素和誤差分配量。Uhlmann等[7]采用有限元方法模擬直驅(qū)高速切削加工中心的熱行為,并且預(yù)測(cè)熱誤差。林獻(xiàn)坤等[8]分析雙直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差產(chǎn)生的原因,并提出一種基于潛變量回歸的熱誤差識(shí)別模型。Liu Shengsen等[9]提出一種基于改進(jìn)貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差建模方法,以解決傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢、欠擬合等問題。然而,熱誤差具有時(shí)變特點(diǎn),純靜態(tài)模型不能完全反映熱變形過程[10],因此以上單項(xiàng)模型的預(yù)測(cè)精度難以控制,魯棒性較差。

為解決單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型存在的問題,一些學(xué)者提出熱誤差組合預(yù)測(cè)方法。林獻(xiàn)坤等[11]提出一種核偏最小二乘法和模糊邏輯相組合的直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差在線補(bǔ)償方法,但并沒有對(duì)實(shí)時(shí)采集的溫升數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,導(dǎo)致模型穩(wěn)健性較差。Abdulshahed等[12]提出一種灰色系統(tǒng)理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的機(jī)床熱誤差建模方法,將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為單調(diào)序列數(shù)據(jù),以降低數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。Liu Jialan等[13]分析主軸系統(tǒng)熱誤差產(chǎn)生的機(jī)理,建立變分模態(tài)分解、灰度算法、長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相組合的預(yù)測(cè)模型,但這一模型忽略了高低頻數(shù)據(jù)的影響,預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性受到限制。

基于上述問題,筆者將直驅(qū)進(jìn)給軸作為研究對(duì)象,建立基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的熱誤差組合預(yù)測(cè)模型。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解可以將溫升序列分解并重構(gòu)為頻率不同的分量,根據(jù)分量的頻率特征,分別使用長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)、自回歸滑動(dòng)平均模型進(jìn)行訓(xùn)練,并選擇合適的權(quán)重進(jìn)行組合。與其它單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型相比,這一組合模型能夠自適應(yīng)對(duì)溫升數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,識(shí)別能力更強(qiáng),預(yù)測(cè)精度更高。

2 直驅(qū)進(jìn)給軸結(jié)構(gòu)

直驅(qū)進(jìn)給軸結(jié)構(gòu)如圖1所示,直線電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖2所示。直驅(qū)進(jìn)給軸由基座、導(dǎo)軌、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、直線電機(jī)組成。與傳統(tǒng)滾珠絲杠進(jìn)給軸相比,直驅(qū)進(jìn)給軸結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單。直驅(qū)進(jìn)給軸的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與直線電機(jī)的初級(jí)連接,因此不需要轉(zhuǎn)換電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方式,就能在導(dǎo)軌上直接實(shí)現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)[14]。由于這種特殊的直驅(qū)結(jié)構(gòu),導(dǎo)致電機(jī)產(chǎn)生的熱量會(huì)直接影響到直驅(qū)進(jìn)給軸的定位精度。

▲圖1 直驅(qū)進(jìn)給軸結(jié)構(gòu)▲圖2 直線電機(jī)結(jié)構(gòu)

3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

假設(shè)xi為第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)測(cè)得的直驅(qū)進(jìn)給軸溫度,那么溫升時(shí)序X可以表示為{x1,x2…xi…xn}。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的具體步驟如下。

(1) 找出原溫升序列X的所有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),分別用三次樣條函數(shù)擬合為上下包絡(luò)線,并計(jì)算平均包絡(luò)線m。

(2) 將原溫升序列X減去平均包絡(luò)線m,得到新的序列h?？疾靐是否符合以下兩個(gè)條件:① 序列的極值數(shù)和過零點(diǎn)數(shù)相等或相差1;② 序列的上下包絡(luò)線局部對(duì)稱。如果符合,那么h為一個(gè)本征模分量,記為Ci。如果不符合,那么用h代替前述的X,重復(fù)步驟(2),得到新的h,直至找到符合要求的新序列。

(3) 將原溫升序列X減去已經(jīng)得到的本征模分量Ci,得到Ri,為:

Ri=X-C1-…-Ci

(1)

(4) 用Ri替換前述的X,并且不斷重復(fù)步驟(1)至步驟(3),直至Ri是一個(gè)不能繼續(xù)分解的單調(diào)序列。于是有:

(2)

式中:Cj為從原溫升序列X分解出的本征模分量;Rn為剩余分量。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法的處理過程是完全自適應(yīng)的,能將時(shí)序信號(hào)分解為多個(gè)具有不同頻率特征的分量,使信號(hào)序列平穩(wěn)化。

4 游程判定重構(gòu)法

如果分解后的項(xiàng)數(shù)較多,不做任何處理直接預(yù)測(cè),那么工作量和預(yù)測(cè)累積誤差會(huì)很大。對(duì)此,可以考慮運(yùn)用游程判定重構(gòu)法將子序列C1至Cn重構(gòu)。游程判定重構(gòu)法能很好地反映各分量的波動(dòng)程度和規(guī)律,并根據(jù)它們的波動(dòng)程度選擇合適的項(xiàng)數(shù),將頻率相似的分量分別疊加重構(gòu)為高頻項(xiàng)、中頻項(xiàng)、低頻項(xiàng)、趨勢(shì)項(xiàng)。

5 熱誤差組合預(yù)測(cè)模型

組合預(yù)測(cè)指對(duì)各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型得到的結(jié)果賦于不同的權(quán)重,進(jìn)而組合為一個(gè)新的預(yù)測(cè)模型。假設(shè)某個(gè)問題可用k個(gè)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè),那么它們的組合預(yù)測(cè)模型可表示為:

f=∑(wifi)

(3)

式中:wi為單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的權(quán)重,一般可選用等權(quán)重法、最小方差法等;fi代表單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型。

組合預(yù)測(cè)能夠充分發(fā)揮各種預(yù)測(cè)方式的優(yōu)勢(shì),從不同的角度挖掘出溫升序列的內(nèi)在信息,減少總體預(yù)測(cè)的不確定,提高熱誤差的預(yù)測(cè)精度。根據(jù)重構(gòu)項(xiàng)的不同波動(dòng)特征,選用長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自回歸滑動(dòng)平均模型、支持向量機(jī)相組合的模型。

5.1 長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種考慮時(shí)間序列影響的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15],由輸入門、輸出門、遺忘門組成,可以通過它們來控制歷史信息對(duì)當(dāng)前信息的影響程度,公式為:

ft=σg(Wfxt+Rfht-1+bf)

(4)

it=σg(Wixt+Riht-1+bi)

(5)

gt=σc(Wgxt+Rght-1+bg)

(6)

ot=σg(Woxt+Roht-1+bo)

(7)

ct=ftct-1+itgt

(8)

ht=otσc(ct)

(9)

式中:t代表時(shí)刻;ft為遺忘門;it、gt為輸入門;ot為輸出門;Wf、Wi、Wg、Wo為xt的權(quán)值矩陣;Rf、Ri、Rg、Ro為ht-1的權(quán)值矩陣;bf、bi、bg、bo為偏置因子;σg為sigmoid激活函數(shù);σc為tanh激活函數(shù)。

遺忘門決定保留多少上一時(shí)刻的信息,輸入門對(duì)輸入信息進(jìn)行篩選。

直驅(qū)進(jìn)給軸熱變形是動(dòng)態(tài)的,其熱誤差不僅取決于當(dāng)前的熱環(huán)境,而且受之前熱特性的影響。因此,長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非常適合這種動(dòng)態(tài)模型的預(yù)測(cè)。筆者建立三層長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差預(yù)測(cè)模型,模型的輸入為t時(shí)刻直驅(qū)進(jìn)給軸的溫升序列集合、環(huán)境溫度T、位置y、運(yùn)行速度v,輸出為t時(shí)刻相應(yīng)位置的熱誤差。長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

▲圖3 長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

5.2 自回歸滑動(dòng)平均模型

自回歸滑動(dòng)平均模型是一種常用于平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型[16],公式為:

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-…

-θqεt-q

(10)

式中:p、q為自回歸滑動(dòng)平均模型的階數(shù);εt為白噪聲序列;φp為自回歸因數(shù);θq為滑動(dòng)平均因數(shù)。

當(dāng)p為0或q為0時(shí),自回歸滑動(dòng)平均模型分別為自回歸模型和滑動(dòng)平均模型。

模式識(shí)別和參數(shù)辨識(shí)是自回歸滑動(dòng)平均模型建立的關(guān)鍵問題,具體步驟如圖4所示。

▲圖4 自回歸滑動(dòng)平均模型步驟

計(jì)算序列的自相關(guān)因數(shù)和偏自相關(guān)因數(shù),確定自回歸滑動(dòng)平均模型的特性,見表1。接著根據(jù)赤池信息定階準(zhǔn)則,計(jì)算出模型階次。

表1 自回歸滑動(dòng)平均模型特性

確認(rèn)模型結(jié)構(gòu)后,可利用最小二乘算法和長(zhǎng)自回歸計(jì)算殘差法辨識(shí)自回歸因數(shù)和滑動(dòng)平均因數(shù)。

5.3 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)是一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法,相較于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),支持向量機(jī)具有更好的泛化和推廣能力,適用于小樣本數(shù)據(jù)[17]。

支持向量機(jī)用于預(yù)測(cè)時(shí),通過一個(gè)非線性映射φ,將給定的訓(xùn)練集X從原空間映射到更高維空間,構(gòu)造最優(yōu)線性回歸函數(shù),公式為:

(11)

式中:w為權(quán)重;b為偏置因子。

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則,選擇風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)J對(duì)式(11)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(12)

式中:ξi為誤差變量;c為正規(guī)化參數(shù);n為樣本總數(shù)。

最后可得預(yù)測(cè)結(jié)果為:

(13)

式中:αi為拉格朗日乘子;K(x,xi)為核函數(shù)。

支持向量機(jī)核函數(shù)的種類很多,筆者選擇最常用的高斯核函數(shù)。

5.4 權(quán)重確定

模型權(quán)重的確定是組合預(yù)測(cè)的關(guān)鍵問題,選擇最小方差法來確定模型的權(quán)重,公式為:

(14)

上述組合預(yù)測(cè)模型的結(jié)構(gòu)如圖5所示,將溫升序列分解重構(gòu)為不同的頻率項(xiàng),并使用組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

▲圖5 組合預(yù)測(cè)模型結(jié)構(gòu)

6 試驗(yàn)驗(yàn)證

6.1 數(shù)據(jù)獲取

以寧波某公司生產(chǎn)的MT140直驅(qū)進(jìn)給軸為例,建立熱誤差模型,試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示。

▲圖6 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

直驅(qū)進(jìn)給軸屬于開放式結(jié)構(gòu),電機(jī)產(chǎn)生的熱量會(huì)直接影響其它部件,尤其是導(dǎo)軌。對(duì)此,選擇在導(dǎo)軌的首、尾和中間處分別布置三個(gè)Pt100熱電阻,如圖7所示。為更直觀地反映直線電機(jī)的溫度變化,在電機(jī)次級(jí)布置一個(gè)熱電阻。利用MIK-R6000C記錄儀實(shí)時(shí)記錄熱電阻的溫度,測(cè)量結(jié)果如圖8所示。

▲圖7 熱電阻布置

▲圖8 溫度測(cè)量結(jié)果

使用SIOS SP120激光干涉儀測(cè)量直驅(qū)進(jìn)給軸的定位誤差,測(cè)量結(jié)果如圖9所示。MT140直驅(qū)進(jìn)給軸的工作范圍為0～800 mm,因此選取50 mm作為測(cè)量間隔。首先測(cè)量初始狀態(tài)的定位誤差,然后使直驅(qū)進(jìn)給軸在工作范圍內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)20 min、50 min、80 min、110 min、170 min、230 min后測(cè)出定位誤差。將定位誤差減去初始誤差后,即可分離出熱誤差。

▲圖9 定位誤差測(cè)量結(jié)果

6.2 溫升數(shù)據(jù)預(yù)處理

為滿足模型的訓(xùn)練要求,需要獲取足夠多的測(cè)試數(shù)據(jù)?？梢苑謩e在不同速度和室溫下重復(fù)上述試驗(yàn),分30 d完成。將30組測(cè)數(shù)據(jù)按8∶1∶1分為訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集。

測(cè)得的溫升數(shù)據(jù)需要經(jīng)過經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解,分解為不同頻率的序列,以圖8中的溫升曲線x4為例,經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解結(jié)果如圖10所示。

▲圖10 x4經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解結(jié)果

高頻項(xiàng)、中頻項(xiàng)是波動(dòng)范圍在0.05 K以內(nèi)的平穩(wěn)噪聲,可以認(rèn)為這兩項(xiàng)溫度序列是由熱電阻和溫度記錄儀的測(cè)量誤差引起的,選用長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)高頻項(xiàng)和中頻項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。低頻項(xiàng)波動(dòng)較小,可以認(rèn)為是由環(huán)境變化引起的,選用支持向量機(jī)對(duì)中頻項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。趨勢(shì)項(xiàng)是一條平穩(wěn)的光滑曲線,剔除了儀器測(cè)量誤差和環(huán)境變化的影響,能直觀反映直驅(qū)進(jìn)給軸的溫度變化,選用自回歸滑動(dòng)平均模型對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

6.3 預(yù)測(cè)精度分析

將訓(xùn)練集輸入組合預(yù)測(cè)模型,完成訓(xùn)練、驗(yàn)證、測(cè)試。測(cè)量結(jié)果和模型預(yù)測(cè)結(jié)果如圖11所示。結(jié)果表明,預(yù)測(cè)曲線擬合光滑,并且很逼近實(shí)測(cè)曲線。

▲圖11 測(cè)量結(jié)果和模型預(yù)測(cè)結(jié)果

模型的預(yù)測(cè)精度可以通過均方根誤差QRMSE和擬合優(yōu)度R2來表示。均方根誤差越小,擬合優(yōu)度越接近1,表示模型的預(yù)測(cè)精度越高,擬合優(yōu)度越好。具體公式為:

(15)

(16)

模型預(yù)測(cè)均方根誤差如圖12所示。在直驅(qū)進(jìn)給軸的行程內(nèi),模型預(yù)測(cè)的均方根誤差范圍為0.4～1.4 μm,具有較高的預(yù)測(cè)精度,能有效預(yù)測(cè)熱誤差。模型預(yù)測(cè)擬合優(yōu)度如圖13所示。經(jīng)過多層組合訓(xùn)練后,模型具有較好的擬合優(yōu)度,能自適應(yīng)調(diào)整線性和非線性區(qū)間,可準(zhǔn)確反映熱誤差變化的全過程。

▲圖12 模型預(yù)測(cè)均方根誤差▲圖13 模型預(yù)測(cè)擬合優(yōu)度

將同樣的數(shù)據(jù)集輸入自回歸滑動(dòng)平均模型和長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)的精度對(duì)比見表2。結(jié)果表明,與普通單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型相比,筆者提出的組合預(yù)測(cè)模型擬合優(yōu)度更好,預(yù)測(cè)精度更高,充分證實(shí)了基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差組合預(yù)測(cè)模型的有效性。

表2 預(yù)測(cè)精度對(duì)比

7 結(jié)束語

以MT140直驅(qū)進(jìn)給軸為研究對(duì)象,提出基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的直驅(qū)進(jìn)給軸熱誤差組合預(yù)測(cè)模型,通過試驗(yàn)驗(yàn)證了模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和游程判定重構(gòu)法能夠自適應(yīng)地將溫升序列分解重構(gòu)為若干頻率不同的分量,根據(jù)重構(gòu)項(xiàng)不同的波動(dòng)特征,可以分析溫升序列的組成和特性。

基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的組合預(yù)測(cè)模型有較好的擬合優(yōu)度,預(yù)測(cè)精度達(dá)到90.25%以上,最大均方根誤差能夠控制在1.4 μm以內(nèi),適用于直驅(qū)進(jìn)給軸的熱誤差預(yù)測(cè)。

相較于單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型,組合預(yù)測(cè)模型能夠從不同角度去挖掘溫升序列的內(nèi)在信息。經(jīng)過多層組合訓(xùn)練后,模型能夠自適應(yīng)調(diào)整線性和非線性區(qū)間,準(zhǔn)確反映熱誤差變化的全過程。