基于s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的諧振穩(wěn)定性分析方法

徐 政

（浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027）

0 引言

隨著新型電力系統(tǒng)建設(shè)的深入，電力系統(tǒng)在源-網(wǎng)-荷-儲4 個(gè)層面逐漸表現(xiàn)出電力電子化特征，使得以往較少出現(xiàn)的諧振不穩(wěn)定問題變得越來越普遍。國內(nèi)外已有大量文獻(xiàn)報(bào)道了發(fā)生諧振不穩(wěn)定現(xiàn)象的案例［1-3］，包括交流電網(wǎng)中的諧振不穩(wěn)定現(xiàn)象［1-2］和直流電網(wǎng)中的諧振不穩(wěn)定現(xiàn)象［3］。

當(dāng)發(fā)生諧振不穩(wěn)定時(shí)，電力系統(tǒng)中該諧振頻率下的電流和電壓會很大，有可能造成設(shè)備損壞和保護(hù)跳閘［1］；當(dāng)諧振頻率落在次同步頻段時(shí)，諧振頻率電流流過汽輪發(fā)電機(jī)的定子繞組后，會在發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生振蕩頻率與此諧振頻率互補(bǔ)的轉(zhuǎn)矩，從而有可能激發(fā)汽輪發(fā)電機(jī)的固有扭振模態(tài)［4-5］，造成以往只在汽輪發(fā)電機(jī)經(jīng)串聯(lián)補(bǔ)償線路送出系統(tǒng)中才會出現(xiàn)的機(jī)網(wǎng)復(fù)合共振現(xiàn)象［4-5］。隨著電力系統(tǒng)電力電子化程度的不斷加深，諧振穩(wěn)定性問題日益突出，并將成為繼同步穩(wěn)定性、電壓穩(wěn)定性和頻率穩(wěn)定性之后的第四大電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。電力系統(tǒng)諧振穩(wěn)定性分析將與經(jīng)典的電力系統(tǒng)三大計(jì)算，即潮流計(jì)算、暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算和短路電流計(jì)算具有同等重要的地位。因此，迫切需要有效的理論和工具對電力系統(tǒng)的諧振穩(wěn)定性進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上提出改善諧振穩(wěn)定性的措施。

然而，關(guān)于電力系統(tǒng)諧振穩(wěn)定性分析的工具還比較匱乏，缺乏能夠應(yīng)用于大系統(tǒng)層面的諧振穩(wěn)定性分析工具。目前業(yè)界普遍使用基于Nyquist 判據(jù)的方法來分析諧振穩(wěn)定性問題［6-9］。這種方法將整個(gè)系統(tǒng)分為待接入裝置和既有系統(tǒng)2 個(gè)部分，分別求出待接入裝置的增量阻抗頻率特性和既有系統(tǒng)的增量阻抗頻率特性，然后基于Nyquist 判據(jù)，判斷裝置接入后整個(gè)系統(tǒng)是否會發(fā)生諧振不穩(wěn)定問題。這種方法對單個(gè)裝置接入系統(tǒng)的諧振穩(wěn)定性分析比較方便，但難以提供諧振模態(tài)的精確信息，不適用于大系統(tǒng)層面的諧振穩(wěn)定性分析。這是因?yàn)閷τ谝话阈噪娏ο到y(tǒng)而言，諧振穩(wěn)定性分析需要確定該系統(tǒng)存在哪種諧振模態(tài)、各諧振模態(tài)的阻尼和諧振頻率、各諧振模態(tài)的節(jié)點(diǎn)電壓振型和參與因子、各諧振模態(tài)對特定元件參數(shù)的靈敏度等。

理論上，能滿足上述大系統(tǒng)層面諧振穩(wěn)定性分析需求的方法主要有狀態(tài)空間法［10］和本文將要闡述的s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法［10-14］。采用狀態(tài)空間法分析諧振穩(wěn)定性主要存在如下困難：①當(dāng)考慮輸電線路等分布參數(shù)元件時(shí)，因描述分布參數(shù)元件特性的方程是偏微分方程，整個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)已不能用線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間模型來描述；②進(jìn)一步考慮元件參數(shù)隨頻率變化的特性，即使對于由集總參數(shù)元件構(gòu)成的電力網(wǎng)絡(luò)，也無法用線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間模型來描述；③對于電力電子裝置，不易建立其在某個(gè)工作點(diǎn)上的增量線性化狀態(tài)空間模型。

s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法處理分布參數(shù)元件和頻變參數(shù)元件不存在任何困難，故具有更好的適用性。但應(yīng)用s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法的主要問題是如何高效求解s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣行列式的根［11-14］。以往提出的方法還不能滿足大系統(tǒng)層面電力系統(tǒng)諧振穩(wěn)定性分析的要求［11-15］，本文將對如何解決此問題進(jìn)行詳細(xì)闡述。

1 諧振穩(wěn)定性的定義和物理機(jī)理

關(guān)于諧振穩(wěn)定性，目前業(yè)界并沒有統(tǒng)一的定義，筆者將其定義為電力系統(tǒng)中以“固有諧振頻率”振蕩的自由分量的衰減特性［16］。當(dāng)電力系統(tǒng)遭受擾動后，必然進(jìn)入電磁暫態(tài)振蕩過程，其電壓、電流響應(yīng)中除了具有基波頻率的強(qiáng)制分量外，還包含以“固有諧振頻率”振蕩的自由分量。如果所有以“固有諧振頻率”振蕩的自由分量都是衰減的，則稱電力系統(tǒng)是諧振穩(wěn)定的，否則就稱電力系統(tǒng)是諧振不穩(wěn)定的。下面以圖1 所示三調(diào)諧濾波器合閘到理想電源的簡單系統(tǒng)為例說明諧振穩(wěn)定性的概念。圖中：us、is分別為電源電壓、流過三調(diào)諧濾波器的電流；Us為電源電壓幅值；ω0為電源角頻率；C1—C3、L1—L3、R1—R3分別為三調(diào)諧濾波器的電容、電感、電阻；K 為電源開關(guān)；N1—N3、Ns為節(jié)點(diǎn)。

圖1 三調(diào)諧濾波器合閘到電源的簡單系統(tǒng)Fig.1 Simple system with triple tuned filter closing to power source

電源開關(guān)K 右側(cè)為1 個(gè)三調(diào)諧濾波器［17］，其由1 個(gè)RL串聯(lián)電路和2個(gè)RLC并聯(lián)電路串聯(lián)而成。當(dāng)電源開關(guān)K 合上時(shí)，圖1 所示的簡單系統(tǒng)進(jìn)入電磁暫態(tài)振蕩過程，其特性可以由流過三調(diào)諧濾波器的電流is來呈現(xiàn)。is的表達(dá)式為：

式中：is，forced、is，free分別為is的強(qiáng)制分量部分和自由分量部分。強(qiáng)制分量部分僅包含1 個(gè)分量Ismcos(ω0tφzfilter)，其角頻率與電源us的角頻率相同，φzfilter為三調(diào)諧濾波器在角頻率ω0下的阻抗角，幅值Ism=Us/Zfilter，Zfilter為三調(diào)諧濾波器在角頻率ω0下的阻抗模值。另一方面，自由分量部分包含3 個(gè)分量Ires1eσres1cos(ωres1t+φres1) —Ires3eσres3cos(ωres3t+φres3)，分別與三調(diào)諧濾波器的3 種固有諧振模態(tài)相對應(yīng)，分別 為σres1±jωres1、σres2±jωres2、σres3±jωres3（σres1—σres3、ωres1—ωres3分別為3 種固有諧振模態(tài)的實(shí)部、虛部），而幅值Ires1—Ires3、阻抗角φres1—φres3由三調(diào)諧濾波器的參數(shù)和初始條件決定。對應(yīng)每種諧振模態(tài)，其分別由實(shí)部和虛部組成；其中實(shí)部與該分量的衰減特性相對應(yīng)，虛部與該分量的振蕩頻率相對應(yīng)。

由式（1）可知：當(dāng)三調(diào)諧濾波器的3 種固有諧振模態(tài)的實(shí)部σres1—σres3為負(fù)時(shí)，式（1）中的自由分量是衰減的，此時(shí)稱圖1 所示的簡單系統(tǒng)是諧振穩(wěn)定的；若3 種固有諧振模態(tài)中存在實(shí)部為正的諧振模態(tài)，則意味著is的3個(gè)自由分量中存在不衰減的自由分量，此時(shí)就稱圖1 所示的簡單系統(tǒng)是諧振不穩(wěn)定的。

值得指出的是，以往在進(jìn)行電力系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)過程分析時(shí)，假定電力網(wǎng)絡(luò)中以“固有諧振頻率”振蕩的自由分量是迅速衰減的。也就是說，假定在機(jī)電暫態(tài)振蕩的時(shí)間尺度內(nèi)，電壓、電流中以“固有諧振頻率”振蕩的自由分量已衰減到0［5］，即電力系統(tǒng)不僅是諧振穩(wěn)定的，而且其諧振模態(tài)具有很強(qiáng)的阻尼。基于上述假設(shè)條件，在進(jìn)行電力系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)過程分析時(shí)不考慮電力網(wǎng)絡(luò)本身的電磁暫態(tài)過程，電力網(wǎng)絡(luò)僅被看作用于功率傳遞的靜態(tài)元件，從而采用正序基頻阻抗和代數(shù)方程進(jìn)行描述，網(wǎng)絡(luò)物理量為正序基頻相量［5］。

通常情況下，固有諧振模態(tài)的實(shí)部是負(fù)的，但若在某些頻段的電力系統(tǒng)中部分元件的增量阻抗呈現(xiàn)為負(fù)電阻特性（如同步發(fā)電機(jī)在次同步頻段會呈現(xiàn)出負(fù)電阻效應(yīng)［4-5］，兩電平換流器、雙饋風(fēng)機(jī)等在一定的頻段會呈現(xiàn)出負(fù)電阻效應(yīng)［18-19］），那么固有諧振模態(tài)的實(shí)部可能由負(fù)變正，導(dǎo)致擾動后電壓、電流響應(yīng)中以固有諧振頻率振蕩的自由分量不會衰減，系統(tǒng)進(jìn)入諧振不穩(wěn)定狀態(tài)。

2 s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法的理論基礎(chǔ)

1969 年，N.Balabanian 等人在《電網(wǎng)絡(luò)理論》的專著中［20］給出了這樣一個(gè)定理：對于線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)，其s域回路阻抗矩陣Zloop(s)的行列式det (Zloop(s))、s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Ynode(s)的行列式det (Ynode(s))和系統(tǒng)狀態(tài)方程的特征多項(xiàng)式det(sI-A)三者之間具有相同的非零值零點(diǎn)。

下面基于圖2 所示的RLC 串聯(lián)電路，對上述定理所給出的三者之間的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。圖中：R為電阻；iL為流經(jīng)電感L的電流；uC為電容器C兩端電壓。

圖2 RLC串聯(lián)電路Fig.2 RLC series circuit

圖2所示RLC電路的狀態(tài)空間方程為：

式中：A、b為系數(shù)矩陣；x為狀態(tài)變量；u為輸入變量?？梢郧蟪鱿到y(tǒng)的特征方程為：

式中：I為單位矩陣。若采用s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法，則該電路的s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為：

從而有：

若采用s域回路阻抗矩陣法，則該電路的s域回路阻抗矩陣為：

從而有：

顯然，在s≠0的條件下，式（3）、式（5）和式（7）具有相同的零點(diǎn)。這樣，狀態(tài)方程的特征根計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為s域回路阻抗矩陣行列式det(Zloop(s))或s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣行列式det(Ynode(s))的零點(diǎn)計(jì)算。

在基于數(shù)字計(jì)算機(jī)的電網(wǎng)絡(luò)分析方法中，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣分析法極易實(shí)現(xiàn)［21］。因此本文將基于s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Ynode(s)來求解系統(tǒng)的特征根，進(jìn)而分析系統(tǒng)的諧振穩(wěn)定性。狀態(tài)空間分析法［10］與s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣分析法［11-15］的優(yōu)勢比較如表1 所示。由表可知，在大系統(tǒng)層面進(jìn)行諧振穩(wěn)定性分析時(shí)，s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法具有更強(qiáng)的適應(yīng)性。

表1 2種大系統(tǒng)層面諧振穩(wěn)定性分析方法比較Table 1 Comparison of two resonance stability analysis methods for large scale system

3 基于s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的諧振模態(tài)兩階段計(jì)算方法

3.1 電力系統(tǒng)諧振不穩(wěn)定的基本表現(xiàn)形式及其內(nèi)在特性

根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，1 種諧振模態(tài)與特征根中的1 對共軛復(fù)根相對應(yīng)，其中該共軛復(fù)根的實(shí)部表示該諧振模態(tài)的阻尼，該共軛復(fù)根的虛部表示該諧振模態(tài)的諧振頻率。電力系統(tǒng)中所有諧振模態(tài)的阻尼特性決定于元件的電阻（電導(dǎo)）特性。由于諧振不穩(wěn)定是由電力系統(tǒng)元件在某些頻段的負(fù)電阻特性引起的，但這種負(fù)電阻特性所產(chǎn)生的能量通常不足以引起電氣量的單調(diào)發(fā)散，因此，諧振不穩(wěn)定一般表現(xiàn)為電氣量的振蕩發(fā)散。當(dāng)研究電力系統(tǒng)的諧振不穩(wěn)定時(shí)，可以排除由實(shí)數(shù)特征根引起的不穩(wěn)定情形，僅關(guān)注由成對共軛復(fù)根引起的不穩(wěn)定情形即可。在以下的det(Ynode(s))零點(diǎn)分析過程中本文僅關(guān)注det(Ynode(s))的共軛復(fù)根。

一般情況下，電力系統(tǒng)元件的電阻特性并不會對諧振模態(tài)的諧振頻率產(chǎn)生明顯影響。即在電力系統(tǒng)中，諧振模態(tài)所對應(yīng)特征根的實(shí)部和虛部分別與電力系統(tǒng)中的電阻元件和電抗元件相對應(yīng)，兩者之間存在一定程度的解耦關(guān)系。

3.2 基于s 域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣計(jì)算諧振模態(tài)的總體思路

根據(jù)電力系統(tǒng)中阻尼與諧振頻率分別與電力系統(tǒng)中的電阻和電抗相對應(yīng)的解耦特性，基于s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣計(jì)算諧振模態(tài)的數(shù)值方法分為2 個(gè)階段。①第1 階段，在無阻尼系統(tǒng)中進(jìn)行分析：此時(shí)電力系統(tǒng)所有元件中的電阻（電導(dǎo)）性參數(shù)置0，計(jì)算諧振模態(tài)的無阻尼諧振頻率，從而確定系統(tǒng)在所研究頻段內(nèi)的諧振模態(tài)數(shù)目，再進(jìn)一步確定每個(gè)諧振模態(tài)的節(jié)點(diǎn)電壓振型和節(jié)點(diǎn)參與因子。②第2 階段，在考慮所有阻尼的完整系統(tǒng)中進(jìn)行分析：此時(shí)考慮所有元件中的電阻（電導(dǎo)）特性，基于測試信號法［5］精確計(jì)算諧振模態(tài)的阻尼和諧振頻率，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必要時(shí)可以進(jìn)一步計(jì)算各諧振模態(tài)對特定元件參數(shù)的靈敏度等。

在以下的分析中，采用圖1 所示的簡單系統(tǒng)具體展示各階段的實(shí)現(xiàn)過程。圖1 中三調(diào)諧濾波器的調(diào)諧次數(shù)分別設(shè)置為3 次、24 次和37 次，具體參數(shù)如表2所示［17］。

表2 三調(diào)諧濾波器參數(shù)Table 2 Parameters of triple tuned filter

需注意列寫s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣時(shí)，電壓源按短路處理，電流源按開路處理，此時(shí)圖1 所示系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)Ns變?yōu)閰⒖茧妷汗?jié)點(diǎn)，圖1 所示系統(tǒng)就變?yōu)橐粋€(gè)3 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)。設(shè)節(jié)點(diǎn)N1—N3分別對應(yīng)1 — 3 號節(jié)點(diǎn)，則圖1所示系統(tǒng)的s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為：

4 在無阻尼系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)第1階段算法的過程

電力系統(tǒng)中所有元件中的電阻（電導(dǎo)）性參數(shù)置0 后，重點(diǎn)分析諧振模態(tài)結(jié)構(gòu)、s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣結(jié)構(gòu)。

4.1 無阻尼系統(tǒng)的諧振模態(tài)結(jié)構(gòu)

在有阻尼的電力系統(tǒng)中，與第i種諧振模態(tài)相對應(yīng)的1對共軛復(fù)根的一般形式為：

式中：si為第i種諧振模態(tài)的特征根，σi為si的實(shí)部，ωi為si的虛部；s*i為si的共軛；fi為第i種諧振模態(tài)的諧振頻率。

而在無阻尼的電力系統(tǒng)中，代表諧振模態(tài)阻尼的系統(tǒng)特征根實(shí)部必然為0，這樣si就變?yōu)? 個(gè)純虛數(shù)，即：

當(dāng)si取純虛數(shù)時(shí)，Ynode(si)的計(jì)算就退化為正弦穩(wěn)態(tài)分析時(shí)的常規(guī)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣計(jì)算。目前正弦穩(wěn)態(tài)分析時(shí)的常規(guī)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣計(jì)算已有較成熟的模型和算法［21］。

4.2 無阻尼系統(tǒng)的s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣結(jié)構(gòu)

在系統(tǒng)無阻尼的條件下，系統(tǒng)特征根為純虛數(shù)。設(shè)si=jωi=j2πfi，則si對應(yīng)的Ynode(si)變?yōu)椋?/p>

式中：Ynode(jωi)為常規(guī)正弦穩(wěn)態(tài)分析中的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；Gnode(jωi)為Ynode(jωi)的實(shí)部，表示節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣；Bnode(jωi)為Ynode(jωi)的虛部，表示節(jié)點(diǎn)電納矩陣。由于已設(shè)系統(tǒng)的阻尼為0，則節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣Gnode(jωi)=0，從而有Ynode(si)=jBnode(jωi)，其中Bnode(jωi)為實(shí)對稱矩陣。

4.3 無阻尼系統(tǒng)諧振頻率的計(jì)算方法

根據(jù)式（11），由于si為系統(tǒng)的特征根，從而滿足如下關(guān)系：

因而可以通過求解det(Bnode(jωi))=0來得到ωi。即可得到無阻尼諧振頻率fi的計(jì)算步驟如下：

1）設(shè)諧振穩(wěn)定性分析所關(guān)注的頻段為[fst，fend]，fst、fend分別為起始頻率和終止頻率；

2）在[fst，fend] 頻 段 內(nèi) 以 一 定 的 步 長 計(jì) 算det(Bnode(j2πfk))，這里fk為離散頻率點(diǎn)；

3）檢查相鄰2 個(gè)離散頻率點(diǎn)之間det(Bnode(jω))是否存在過零點(diǎn)，本文中根據(jù)det(Bnode(j2πfk-1))×det(Bnode(j2πfk))的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判斷，若此值大于0，則表示沒有過零點(diǎn)，若此值小于0，則表示存在過零點(diǎn)；

4）若存在過零點(diǎn)，則通過2 點(diǎn)線性插值求出過零點(diǎn)頻率fzero。

4.4 諧振模態(tài)的節(jié)點(diǎn)電壓振型與最佳可控可觀測節(jié)點(diǎn)

文獻(xiàn)［11］對諧振模態(tài)的節(jié)點(diǎn)電壓振型與節(jié)點(diǎn)參與因子進(jìn)行了分析，得到如下結(jié)果：

1）Bnode(jωi)的特征值λ1=0；

2）與零特征值相對應(yīng)的右特征向量M1被稱為節(jié)點(diǎn)電壓振型，其標(biāo)示了在諧振模態(tài)jωi下各節(jié)點(diǎn)電壓的相對振幅大小和相對相位關(guān)系；

3）節(jié)點(diǎn)電壓振型中振幅最大的節(jié)點(diǎn)既是諧振模態(tài)jωi的最佳可觀測節(jié)點(diǎn)，又是諧振模態(tài)jωi的最佳可控制節(jié)點(diǎn)，后文中將這個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為最佳可控可觀測節(jié)點(diǎn)。

下面討論與零特征值相對應(yīng)的右特征向量M1的數(shù)值計(jì)算方法。推薦的計(jì)算步驟如下。

1）對Bnode(jωi)進(jìn)行QR 分解，得到Bnode(jωi)=QR，這里Q為正交矩陣，R為上三角矩陣。由于Bnode(jωi)具有一個(gè)零特征值，因此矩陣R為：

2）與零特征值相對應(yīng)的右特征向量M1≠0，且滿足如下關(guān)系：

即：

3）由于特征向量M1不是唯一的，不妨設(shè)mn=1。這樣M1中的其他元素可以通過求解如下方程得到：

求解方程式（16）可得特征向量M1，找出M1中的最大元素序號，即可確定與諧振模態(tài)jωi對應(yīng)的最佳絕對值可控可觀測節(jié)點(diǎn)。

4.5 第1階段算法的具體實(shí)施示例

以圖1 所示簡單系統(tǒng)為例展示第1 階段算法計(jì)算過程。構(gòu)造無阻尼系統(tǒng)的方法是將圖1 系統(tǒng)中的所有電阻（電導(dǎo)）性參數(shù)置0，具體做法為：對于2 個(gè)節(jié)點(diǎn)之間唯一的電阻性元件將其電阻值置0；對于2 個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在其他元件的電阻性元件將其電導(dǎo)值置0。

假設(shè)諧振穩(wěn)定性分析所關(guān)注的頻段[fst，fend]=[50，2 500] Hz，在此頻段內(nèi)以1 Hz 為步長掃描計(jì)算det(Bnode(j2πfk))，然后檢查相鄰2 個(gè)離散頻率點(diǎn)之間det(Bnode(jω))是否存在過零點(diǎn)，若存在過零點(diǎn)，則通過2點(diǎn)線性插值求出過零點(diǎn)頻率fzero。

計(jì)算結(jié)果得到3個(gè)過零點(diǎn)如下：第1種諧振模態(tài)無阻尼諧振的過零點(diǎn)頻率fzero1=150.0 Hz；第2 種諧振模態(tài)無阻尼諧振的過零點(diǎn)頻率fzero2=1 200.1 Hz；第3 種諧振模態(tài)無阻尼諧振的過零點(diǎn)頻率fzero3=1 850.0 Hz。

與第1 種諧振模態(tài)頻率fzero1=150.0 Hz 對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電壓振型Vms1=[1.000 0 0.988 7 0.002 3]T，與第2 種諧振模態(tài)頻率fzero2=1 200.1 Hz 對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電壓振型Vms2=[1.000 0 0.277 5 0.498 2]T，與第3 種諧振模態(tài)頻率fzero3=1 850.0 Hz 對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電壓振型Vms3=[-1.000 0 0.717 1 ]

0.498 9T。在3組節(jié)點(diǎn)電壓振型中，第1 個(gè)元素的絕對值均是最大的，這表明1 號節(jié)點(diǎn)（N1）是最佳可控可觀測節(jié)點(diǎn)。

5 在有阻尼的完整系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)第2階段算法的過程

5.1 采用測試信號法的理論依據(jù)

考慮所有元件中的電阻（電導(dǎo)）特性后進(jìn)行第2階段的計(jì)算過程。s域下系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)電壓方程為：

式中：Vnode(s)和Inode(s)分別為s域節(jié)點(diǎn)電壓向量和s域節(jié)點(diǎn)注入電流向量。考察Inode(s)為單個(gè)輸入時(shí)的情況，設(shè)節(jié)點(diǎn)k為最佳可控可觀測節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)k上注入電流ik(s)，計(jì)算與節(jié)點(diǎn)k相連接的某條（或某幾條）分流支路（并聯(lián)支路）的電流ishunt(s)。設(shè)分流支路的一端為節(jié)點(diǎn)k，另一端為節(jié)點(diǎn)l，且分流支路的導(dǎo)納為yshunt(s)。則式（17）可變?yōu)椋?/p>

式中：β為n×1 維列向量，其第k個(gè)元素為1，其余元素為0。而ishunt(s)可以表示為：

式中：γ為1×n維行向量，其第k個(gè)元素為1，第l個(gè)元素為-1，其余元素為0。定義分流比ηshunt為流過分流支路的電流ishunt(s)與注入電流ik(s)之比，則根據(jù)式（19）可得：

式中：Y*node(s)為Ynode(s)的伴隨矩陣。顯然，ηshunt(s)是一個(gè)標(biāo)量，可以理解為是一種傳遞函數(shù)，其分母為系統(tǒng)的特征方程det(Ynode(s))。因此ηshunt(s)的分母多項(xiàng)式一定包含系統(tǒng)特征方程的信息。

一般情況下，ηshunt(s)的分子和分母都是s的高次多項(xiàng)式。但當(dāng)s處于系統(tǒng)特定特征根的鄰域中時(shí)，ηshunt(s)的分母可以用與該特征根對應(yīng)的二次多項(xiàng)式來表示，而ηshunt(s)的分子則同樣可用1 個(gè)二次多項(xiàng)式來逼近。這樣，在系統(tǒng)特定特征根的鄰域中，ηshunt(s)可以表示為：

式中：a0、a1、b0、b1、b2為待定的多項(xiàng)式系數(shù)，均為實(shí)數(shù)。

值得指出的是，在最佳可控可觀測節(jié)點(diǎn)k注入電流信號的條件下，可以得到多種分母為系統(tǒng)特征方程的傳遞函數(shù)，比如節(jié)點(diǎn)k本身的策動點(diǎn)阻抗Zkk(s)［11］。但就傳遞函數(shù)在系統(tǒng)特征根鄰域中進(jìn)行2 階近似的可適用性而言，分流比ηshunt優(yōu)于策動點(diǎn)阻抗Zkk(s)。

5.2 測試信號法的具體實(shí)施示例

為了確定ηshunt(s)在特定特征根鄰域中的近似表達(dá)式（21），可以讓s沿著虛軸在j2πfzero的鄰域內(nèi)變化，然后再辨識出式（21）中的多項(xiàng)式系數(shù)。具體的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

1）對應(yīng)第1 階段已經(jīng)計(jì)算出的特定無阻尼諧振頻率fzero，在±3 %fzero的頻率范圍內(nèi)構(gòu)造5個(gè)臨近的頻率計(jì)算點(diǎn)，分別為f1=0.97fzero、f2=0.985fzero、f3=fzero、f4=1.015fzero、f5=1.03fzero。

2）在與fzero相對應(yīng)的最佳可控可觀測節(jié)點(diǎn)k中注入單位電流相量。然后在上述的5 個(gè)頻率點(diǎn)中分別計(jì)算出ηshunt(j2πf1)、ηshunt(j2πf2)、ηshunt(j2πf3)、ηshunt(j2πf4)和ηshunt(j2πf5)。

3）根 據(jù)s分 別 取j2πf1、j2πf2、j2πf3、j2πf4和j2πf5時(shí)的ηshunt(j2πf1)、ηshunt(j2πf2)、ηshunt(j2πf3)、ηshunt(j2πf4)和ηshunt(j2πf5)，辨識式（21）中的a0、a1、b0、b1、b2這5個(gè)待定實(shí)系數(shù)。

4）求解式（21）分母的二次多項(xiàng)式，得到與特定無阻尼諧振過零點(diǎn)頻率fzero對應(yīng)的精確諧振模態(tài)特征根σres±jωres。

值得指出的是，上述±3 %fzero的頻率范圍和5 個(gè)臨近的頻率計(jì)算點(diǎn)并不絕對。但改變這2 組參數(shù)，并不會對結(jié)果有太大影響。比如，將±3 %fzero的頻率范圍改變?yōu)椤? %fzero或 ±4 %fzero，以及將5 個(gè)臨近的頻率計(jì)算點(diǎn)變?yōu)?個(gè)或9個(gè)，對結(jié)果的影響都不大。

仍然以圖1 所示簡單系統(tǒng)為例展示第2 階段算法的過程。計(jì)算結(jié)果如附錄A 表A1 所示。對上述計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)，方法是驗(yàn)證所得到的特征根是否滿足det(Ynode(s))=0 的條件。將上述特征根代入式（8）中，得到：

可見，第2 階段計(jì)算得到的諧振模態(tài)特征根，在很高的精度上滿足了det(Ynode(s))=0 的條件。

5.3 諧振模態(tài)阻尼的靈敏度分析

顯然，特征根的實(shí)部決定于系統(tǒng)中的電阻（電導(dǎo)）性參數(shù)，通過改變系統(tǒng)中的特定電阻（電導(dǎo)）參數(shù)，可以計(jì)算特征根的阻尼對特定電阻（電導(dǎo)）參數(shù)的靈敏度。仍以圖1 所示簡單系統(tǒng)為例進(jìn)行分析。分別改變圖1 中并聯(lián)電阻R1、R2的取值，觀察3 個(gè)特征根的變化情況。計(jì)算結(jié)果分別見表3、4。

表3 諧振模態(tài)阻尼關(guān)于并聯(lián)電阻R1的靈敏度Table 3 Sensitivity of resonance mode damping to parallel resistance R1

由表3 可知，諧振模態(tài)2 和諧振模態(tài)3 的阻尼值對R1的改變很敏感，特別是當(dāng)R1取負(fù)值時(shí)，諧振模態(tài)2、3 變得不穩(wěn)定。說明諧振模態(tài)2、3 的阻尼與R1強(qiáng)相關(guān)，而諧振模態(tài)1 的阻尼與R1幾乎不相關(guān)。由表4 可知，諧振模態(tài)1 的阻尼值對R2的改變十分敏感，特別是當(dāng)R2取負(fù)值時(shí)，諧振模態(tài)1 變得不穩(wěn)定。說明諧振模態(tài)1 的阻尼與R2強(qiáng)相關(guān)，而諧振模態(tài)2和諧振模態(tài)3的阻尼與R2僅為弱相關(guān)。

表4 諧振模態(tài)阻尼關(guān)于并聯(lián)電阻R2的靈敏度Table 4 Sensitivity of resonance mode damping to parallel resistance R2

另外，對于阻尼很強(qiáng)的諧振模態(tài)（如表3 中的諧振模態(tài)1），其5 個(gè)頻率點(diǎn)上的分流比模值是單調(diào)變化的，與阻尼較弱的諧振模態(tài)2、3 存在峰值有所不同。當(dāng)改變R2的取值，使得諧振模態(tài)1 變?yōu)槿踝枘釙r(shí)，對應(yīng)諧振模態(tài)1的5個(gè)頻率點(diǎn)上的分流比模值也會呈現(xiàn)峰值特征。R2=1 200 Ω時(shí)，諧振模態(tài)1的阻尼比為0.049 6，諧振頻率為149.816 6 Hz。對應(yīng)諧振模態(tài)1的5個(gè)頻率點(diǎn)上的分流比分別為2.219 4∠ 144.44°、2.243 5∠132.54°、2.096 7∠118.91°、1.781 9∠ 106.31°、1.408 6∠97.40°。顯然，第2 個(gè)頻率點(diǎn)上的模值是這5個(gè)值中的峰值。

綜上分析，對于弱阻尼的諧振模態(tài)，其有阻尼諧振頻率與無阻尼諧振頻率非常相近，分流比ηshunt的模值在有阻尼諧振頻率點(diǎn)上會出現(xiàn)峰值。

另外，還需指出，表3、4 中，當(dāng)設(shè)置電阻為負(fù)時(shí)，基于s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的分析方法會出現(xiàn)不穩(wěn)定的諧振模態(tài)，但該結(jié)果在基于電磁暫態(tài)仿真方法研究系統(tǒng)諧振穩(wěn)定性的過程中難以復(fù)現(xiàn)。這是因?yàn)樵谶@種系統(tǒng)條件下，電磁暫態(tài)仿真方法不可能建立初始工作點(diǎn)。這也是s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法相較于電磁暫態(tài)仿真方法在分析系統(tǒng)諧振穩(wěn)定性時(shí)的優(yōu)勢之一。

6 大系統(tǒng)層面諧振穩(wěn)定性分析實(shí)例

考察1 個(gè)四端直流電網(wǎng)的諧振穩(wěn)定性問題。該四端直流電網(wǎng)接線如附錄A 圖A1 所示。該電網(wǎng)為雙極帶金屬回線的直流電網(wǎng)，金屬回線全網(wǎng)單點(diǎn)接地，接地點(diǎn)設(shè)在換流站C。

設(shè)圖A1 所示直流電網(wǎng)中所有平波電抗器的電感值均為100 mH；從直流側(cè)看進(jìn)去的每個(gè)模塊化多電平換流器（modular multilevel converter，MMC）的阻抗頻率特性如式（25）所示；三線耦合輸電線路的單位長度電阻參數(shù)如式（26）所示，單位長度電感參數(shù)如式（27）所示，單位長度電容參數(shù)如式（28）所示。

式中：f為頻率。由式（25）可見，MMC的阻抗頻率特性在100 Hz范圍內(nèi)存在負(fù)電阻頻段，因此圖A1所示直流電網(wǎng)的諧振穩(wěn)定性問題是一個(gè)需關(guān)注的問題。

對圖A1所示直流電網(wǎng)進(jìn)行諧振穩(wěn)定性分析，計(jì)算結(jié)果如附錄A表A2所示。由表可知，在100 Hz的頻率范圍內(nèi)，該系統(tǒng)存在6 個(gè)諧振模態(tài)，盡管阻尼比小于5 % 的有3個(gè)，但這6個(gè)諧振模態(tài)都是穩(wěn)定的。

基于此實(shí)際案例的分析，以下2點(diǎn)需特別指出：

1）輸電線路具有多相耦合、分布參數(shù)和參數(shù)隨頻率變化的特點(diǎn)，這些特點(diǎn)限制了狀態(tài)空間模型在諧振穩(wěn)定性分析方面的有效應(yīng)用，而s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法可以完全克服這些困難；

2）即使MMC 的阻抗頻率特性存在負(fù)電阻頻段，諧振不穩(wěn)定也并非是必然發(fā)生的現(xiàn)象，實(shí)際系統(tǒng)是否會出現(xiàn)諧振不穩(wěn)定問題需要基于具體的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行精確計(jì)算。

7 結(jié)論

本文根據(jù)諧振穩(wěn)定性的定義，基于s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣原理，將諧振穩(wěn)定性分析分解為無阻尼網(wǎng)絡(luò)分析和有阻尼網(wǎng)絡(luò)分析2 個(gè)階段來完成，避免了直接求解s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣行列式零點(diǎn)的困難，為在大系統(tǒng)層面開展電力系統(tǒng)諧振穩(wěn)定性分析提供了一條可靠途徑。主要結(jié)論如下。

1）諧振穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì)是電力系統(tǒng)中以“固有諧振頻率”振蕩的自由分量的衰減特性，諧振穩(wěn)定性屬于小擾動穩(wěn)定性，可以采用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析。

2）s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣法的理論基礎(chǔ)是s域回路阻抗矩陣的行列式、s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的行列式以及系統(tǒng)狀態(tài)方程的特征多項(xiàng)式，三者之間具有相同的非零值零點(diǎn)。

3）兩階段s域節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣分析法的根本優(yōu)勢是將原本屬于s平面上的2 維問題簡化為了jω軸上的1 維問題。第1 階段簡化通過假設(shè)全系統(tǒng)零阻尼來實(shí)現(xiàn)，第2 階段簡化通過測試信號法來實(shí)現(xiàn)。任一階段簡化后的系統(tǒng)都可以采用完全成熟的交流穩(wěn)態(tài)電路分析方法來進(jìn)行計(jì)算。

4）本文提出的以分流比為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)諧振模態(tài)精確辨識的方法非常有效。大量算例表明，當(dāng)s處于系統(tǒng)特定特征根的鄰域中時(shí)，分流比的分子和分母都可以簡化為s的二次多項(xiàng)式。

5）基于無阻尼諧振頻率±3 %fzero范圍的5 個(gè)頻率點(diǎn)上的分流比，可以精確辨識出分流比的s域表達(dá)式，從而精確地確定諧振模態(tài)的實(shí)部和虛部及其諧振頻率和阻尼比。

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