例談三角最值問題

蔣 偉

揚州大學(xué)附屬中學(xué) (2205002)

三角一直是高考的重點考察對象,解三角形中的最值問題更是高頻考點,因為它易于和其他知識進行交匯,全面考察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.解三角形是由已知的邊角確定未知邊角元素的過程．而正、余弦定理的作用就是將邊角間的關(guān)系數(shù)量化,從而構(gòu)建方程(或方程組),因此方程思想是解三角形的關(guān)鍵．如果已知的方程個數(shù)比未知的邊角元素個數(shù)少,這樣就變成不確定三角形,此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題．本文從知識、能力、方法三個維度去處理三角形中的最值問題,特別是方法維度從多個角度解決問題為學(xué)生指明方向,極大地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

點評：從知識維度看第二問考察了邊的最值,本質(zhì)是考察角度的最值,從能力維度看屬于多變量經(jīng)過減元變?yōu)閱巫兞拷荁的式子的最值,運用的方法為基本不等式解決最值問題.

點評：第二問從知識維度看考察了角的范圍問題,從能力維度看屬于多變量經(jīng)過減元變?yōu)橹挥薪茿的三角函數(shù)的值域問題,運用的方法為函數(shù)思想解決范圍問題.

圖1

解析：(1)略;(2)法一：(正余弦定理選擇角度作為變量)設(shè)∠BCD=θ(0<θ<π),在△BCD中,由余弦定理得BD=

圖2

圖3

點評：第(2)問從知識維度看考察長度的最值,學(xué)生建模比較困難,如果以邊作為自變量,很難用導(dǎo)數(shù)計算正確,選擇角度作為變量,思維要求比較高.

題4 如圖4,在△ABC中,若AB=AC,AD=DC,BD=3.(1)求△ABC面積的最大值;(2)求△ABC周長的最大值.

圖4

我們先求面積的最大值問題.

圖5

現(xiàn)在處理第(2)問

點評：從知識維度看考察長度的最值,從能力維度看屬于雙變量的最值問題,難度較大;從方法維度來看,選擇運動軌跡思想,能較快解決問題,第一問隱含了圓方程,第二問隱含了橢圓方程.

結(jié)語在解決三角形中的最值問題時,我們要時刻提醒從三個維度去考慮問題,熟練運用正余弦定理、向量、解析思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)、基本不等式、運動軌跡問題,從而找到問題的突破口.