一道測試題的求解、溯源與拓展

張志剛

山東省寧陽縣復圣中學 (271400)

一、試題呈現(xiàn)

A.8 B.10 C.9 D.其他三個答案都不對

本題在無顯性方程條件下,探求二元三角函數(shù)的最值問題,考查數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng),試題設計簡潔清新,思維跨度較大,頗具綜合性、挑戰(zhàn)性和選拔性.

二、試題解答

思路一 分步消元

點評：通過本解法,我們可進一步體會導數(shù)討論函數(shù)(含高次多項式函數(shù)、分式函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等)單調(diào)性的普適性,體會知識之間的有機銜接與融合.

點評：“二次方程有解則判別式大于等于0”是學生最早接觸、最為熟悉、最易掌握的方法.美中不足的是,上述解答在得到方程ma2-(m+3)a+4=0后,需對二次項系數(shù)分類討論,如何規(guī)避分類討論簡化問題呢?由于“三個二次”緊密相聯(lián),可轉(zhuǎn)而討論相應不等式恒成立問題.

思路二 直接消元

點評：本解法借助常數(shù)“1”的兩次代換及柯西不等式工具求出最小值,需要考生具備較強的觀察能力和代數(shù)變形能力.

思路三 高等數(shù)學觀點

點評：盡管在理論上偏導數(shù)法是便捷的,但在實際解題過程中,中學生卻面臨不小的挑戰(zhàn).例如,學生理解偏導數(shù)法的原理需要較長的過程,求偏導運算對于學生而言也是陌生的,求解方程組需要較強的運算求解能力,等等,在此僅供讀者參考.

除了上述思路,本題作為選擇題,自然也可考慮代入驗證法,當然從邏輯上是不嚴謹?shù)?也非真實的命題意圖.

三、試題探源

二者函數(shù)解析式的構造方式和解法基本一致,下面運用不等式放縮解答上題,其他解法不再贅述.

A.18 B.16 C.8 D.6

四、試題拓展

1.互換變量

由于本題中變量x,y的地位相同,故交換二者的位置不影響結(jié)果.

2.置換函數(shù)

參照以上解法解答,可知變換兩個三角函數(shù)的名稱不影響結(jié)果.

3.常值推廣

五、類題訓練

1.(2020年北京大學強基計劃測試題)函數(shù)

2.(2021年清華大學強基計劃測試第10題)已知函數(shù)設f(x)的最大值為M,最小值為m,則( ).

3.(2020年上海交通大學強基計劃測試第24題)函數(shù)在上的最小值為 .

4.(2022年清華大學新領軍TACA數(shù)學二試題第2題)已知正實數(shù)a,b滿足a+2b=1,I為的最小值,則[I]= .

注：若實數(shù)a滿足n≤a

六、結(jié)語

二元函數(shù)最值問題歷來是高考、競賽、高校強基計劃測試等選拔性考試的熱點,題目一般是函數(shù)、方程與不等式等知識的綜合應用試題,技巧性較強.為此,教師要引導學生深刻剖析題設條件,挖掘隱含信息,揭示問題本質(zhì),捕捉解題靈感,構建解決方案.學生在感知確認、抽象概括、合情推理、操作運算等思維活動中,多角度、多層次地思考問題,綜合運用各種方法,提出新視角、新觀點、新設想,逐步學會有邏輯地思考數(shù)學問題.