為什么我連“解三角形”都不會?

徐偉東

浙江省象山中學 (315700)

為什么我連解三角形都不會?”這是近期聽到學生抱怨最多的一句話．原本十拿九穩(wěn)的“解三角形”問題,在近幾年的高考、模擬考中也變得不那么容易了,與“解三角形”相關的解答題的得分率較之前普遍低了很多．在高三復習階段,盡管進行了大量的“解三角形”的講解與訓練,但效果不甚理想,學生還是束手無策．

1、是什么讓“解三角形”變得這么難?

現在的高考命題已經由“知識立意、能力立意評價”向“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”的綜合評價轉變,“優(yōu)化情境設計,增強試題開放性、靈活性,減少死記硬背和‘機械刷題’現象”也已經成為了考試命題的風向標,因此,“解三角形”試題難度增加是大勢所趨,具體表現在以下幾個方面．

1.1 結構不良試題增加了思維量與運算量

三角形的豐富背景和廣泛的應用價值決定了其成為結構不良問題的良好載體．結構不良問題往往存在問題條件或數據局部缺失或冗余、問題目標界定不明確、具有多種處理方法和路徑、具有多種評估處理方法的尺度、所波及的概念、規(guī)則和原理等不確定等特性．

面對上述結構不良問題,學生首先要根據自身的認知水平,結合解題經驗,對題目給定的“條件”進行甄別與選擇,“條件”優(yōu)劣決定解題過程的繁簡程度．若學生選擇的“條件”恰當,可能會很順利完成解題任務;若學生選擇的“條件”處于知識盲區(qū)之內或者不符合題目要求,就不得不重新選擇新的條件進行嘗試．因此,對命題者而言,相比結構良好問題,結構不良問題更能考查學生分析問題、解決問題、推理論證和運算求解能力;對學生而言,解決結構不良問題需要以敏銳的洞察力和果斷的決策力為前提,而這恰恰是很多學生的短板．

1.2 條件與結論的聯系不明顯

解題就是尋找題目條件與題目結論之間的數學聯系,它表現為溝通條件與結論的一系列演算或推理,讓條件與結論相互靠近、相互轉化,最終相互融合,就實現了解題的目標．所謂的容易題就是題目的條件與結論之間聯系緊密,容易構建它們之間的數學關系;而難題就是題目中的條件與結論“距離”較遠,需要動用一定的解題策略與運算技巧拉近“距離”,才能看清它們之間的聯系．

此題條件與結論之間的“距離”看似很近,但要建立起它們之間的聯系,卻需要經歷“弦化角——邊化弦——正弦化余弦——多角化單角”等運算與推理過程,需要學生具備較強的消參與化歸能力．

要成功建立本題條件與結論之間的關系,需要經歷“切化弦——弦化邊——三邊化雙邊——多參變單參——確定參數的范圍——求函數的值域”等運算與推理過程,與上一題相比,難度大幅度增加．

解析：這道題也是改編自2022全國I卷的高考題,與上一題異曲同工,需要經歷“弦化邊——切化弦——弦化邊——三參變單參”等運算與推理過程,與高考原題相比,難度基本相同．

1.3 三角形中幾何關系復雜化

還有很多解三角形問題并不是單純的涉及到邊與角之間的關系,而是引入新的幾何量,比如,中線、高線、角平分線、重心、內心、外心等,使三角形形成了一系列新的幾何關系,從而導致條件與結論之間的“距離”更加疏遠,解題方法也變得多樣,解題思路更難把握．

例6 (2021全國I卷)記ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC．(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC．

圖1

2、如何讓學生學會解“解三角形”?

2.1 領會“變與不變”的命題觀

高考命題不變是相對的,變是永恒的,尤其在“一核”“四層”“四翼”的高考評價體系下,以批判性思維為代表的關鍵能力成為了高考命題的主要方向和要求,關于“解三角形”的命題只會更加變化多端,通過大量刷題來提升解題的能力的招數不再有效;“解三角形”不一定被定格在高考解答題的“第一題”,不一定屬于“容易拿分的題”,學生不會做可能是“正常的事”．

雖然我們無法把控試題形式和難度,但解決“三角形”問題的兩個工具和三大思想卻是不變的．兩大工具就是“正弦定理”與“余弦定理”,它們是解三角形的利器,可以實現邊角關系的互化．三大思想指得是化歸轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想．運用化歸與轉化思想方法,把復雜的問題轉化為簡單的問題,把陌生的情境轉化為熟悉情境;將問題中已知的條件轉化為包含邊角關系的關系式,如不等式、方程或方程組和不等式組,然后通過函數或方程視角去分析問題、解決問題;若問題中涉及到相對復雜的位置關系,此時可以利用數形結合思想,將問題中復雜的邏輯關系與直觀圖形關聯起來,充分利用其中的幾何性質來實現簡化運算的目的．只要靈活運用兩大工具與三大思想,“解三角形”問題一般都能夠迎刃而解．

2.2 堅持培養(yǎng)“專家思維”的教學觀

為了快速提升學生的解三角形的能力,很多教師會把教學重心放在一些拓展結論的運用上,不可否認,在某些情況下,應用這些結論確實能夠起到事半功倍的作用．

但這些結論的適用范圍有嚴格的限制,比如,例6同樣滿足“張角定理”模型,但“張角定理”的結論對它基本沒什么用．不僅如此,這些拓展性的結論從發(fā)現到證明、到運用,到被納入到認知結構中,期間需要經歷一個比較長內化的過程,學生未必能夠真正掌握．因此,“解三角形”一方面應該立足通性通法,另一方面應該把教學重心放在培養(yǎng)學生的“專家思維”上,即讓學生學會像專家那樣能夠對數學問題作出快速而準確的判斷,并在洞悉問題本質的基礎上提出解決問題的方案．

如何培養(yǎng)“專家思維”?首先要重視概念的再認知,不僅要讓學生數量掌握常用的公式與定理,還要探究它們之間的關聯性,例如,正弦定理與余弦定理本質上是一致的,可以從正弦定理推出余弦定理,反之也成立;正弦定理與余弦定理是圓的性質的三角表征,也就說能夠利用圓的性質來推導這個兩個定理;余弦定理是勾股定理的推廣,那么能否像推導勾股定理那樣推導余弦定理?經歷概念再認知的過程有助于學生加深對核心概念的理解,能強化知識與現象、與情境的關聯程度．其次,立足波利亞的解題四步曲 “理解題目——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧總結”來提煉針對不同類型三角形問題的解題思路與研究視角,例如,對于“取值范圍問題”,可以選擇從“三角形中的不等關系、三角形解的個數、函數值域、基本不等式”等4個視角來求取值范圍;對于“面積問題”,可以采用“執(zhí)果索因”的辦法,先把面積用邊、角等基本量表示出來,然后在通過化歸、消參實現對問題的轉化,從而能夠保證學生根據解題的實際需求,熟練調用相關的解題策略．