例探初中生符號(hào)意識(shí)形成路徑*

劉 靜 鐘珍玖

江蘇省江陰市第一初級(jí)中學(xué) (214432)

七年級(jí)是從小學(xué)的算術(shù)思維向用字母表示數(shù)形成代數(shù)思維的啟蒙期,八年級(jí)則是學(xué)生符號(hào)意識(shí)形成的關(guān)鍵期.從學(xué)生認(rèn)知能力來(lái)看,八年級(jí)學(xué)生抽象能力迅速發(fā)展,已經(jīng)基本能夠借助符號(hào)進(jìn)行形式化演繹推理;從學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)看,軸對(duì)稱圖形(線段、角、等腰三角形)和中心對(duì)稱圖形(平行四邊形、菱形、矩形、正方形)是初中階段運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行邏輯推理核心內(nèi)容,也是符號(hào)意識(shí)形成的最佳素材;一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)豐富了符號(hào)語(yǔ)言的種類,用函數(shù)圖像來(lái)表達(dá)函數(shù)是符號(hào)意識(shí)形成新的突破口.在八年級(jí)的教學(xué)中有目的、有意識(shí)的加強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí),讓學(xué)生主動(dòng)理解與運(yùn)用符號(hào),從而提高數(shù)學(xué)表達(dá)的能和習(xí)慣,落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、 在幾何教學(xué)中運(yùn)用符號(hào)推理,強(qiáng)化符號(hào)的思維功能,滲透符號(hào)意識(shí)

幾何演繹推理遵循著《幾何原本》的公理化思想,由已知的公理和定義,用邏輯推理的方法推導(dǎo)出其它數(shù)學(xué)定理和命題.教材的編寫也遵循同樣的思想,研究幾何圖形的性質(zhì)都是把定義作為基本事實(shí),然后用邏輯推理的方法得出圖形的性質(zhì)及判定方法.幾何定義、公理、定理的表達(dá)和幾何推理的過(guò)程都需要較強(qiáng)的符號(hào)意識(shí)支撐,數(shù)學(xué)的形式化、結(jié)構(gòu)化、操作化都離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)[1].羅素認(rèn)為:數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯.幾何圖形之間的關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生用符號(hào)刻畫(huà)這些關(guān)系的意識(shí),符號(hào)意識(shí)的發(fā)展有利于學(xué)生理解符號(hào)的使用和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)的同時(shí),獲得知識(shí),發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

案例1 蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)“2.4線段、角的抽對(duì)稱性”.

如圖1,若△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P．求證:點(diǎn)P在∠C的平分線上.

圖1

證明：過(guò)P作PM⊥CB,PN⊥CA,PF⊥AB,垂足分別為M、N、F.∵EB平分∠CBA,PM⊥CB,PF⊥AB,∴PM=PF.∵AD平分∠BAC,PN⊥CA,PF⊥AB,∴PF=PN.∴PM=PN,PM⊥CB,PN⊥CA,∴點(diǎn)P在∠C的平分線上.

從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看,八年級(jí)學(xué)生對(duì)于這些圖形位置關(guān)系的問(wèn)題非常陌生,不容易入手,從直觀上來(lái)說(shuō)點(diǎn)在直線上很好理解,但是用符號(hào)語(yǔ)言如何表達(dá)?其中又蘊(yùn)含著怎樣的圖形特征?對(duì)這些問(wèn)題的追問(wèn)可以幫助學(xué)生找到問(wèn)題的解決方法,強(qiáng)化用符號(hào)推理的功能,深刻理解符號(hào)表達(dá)的思維價(jià)值.

教學(xué)策略：八年級(jí)是學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展的關(guān)鍵學(xué)段,而符號(hào)語(yǔ)言是思維的載體和抓手,符號(hào)語(yǔ)言的靈活運(yùn)用能促進(jìn)思維能力發(fā)展,同時(shí)也幫助學(xué)生形成符號(hào)意識(shí).在結(jié)構(gòu)化的幾何教學(xué)中,滲透符號(hào)意識(shí)的策略:①引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)圖形的性質(zhì)(結(jié)構(gòu))和圖形之間的關(guān)系,從大概念的視角審視符號(hào)語(yǔ)言的作用,即幾何符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的是結(jié)構(gòu)和關(guān)系;②符號(hào)語(yǔ)言中蘊(yùn)含著基本圖形語(yǔ)言,是進(jìn)行邏輯推理的工具和抓手,實(shí)際上就體現(xiàn)了符號(hào)語(yǔ)言的可操作性,從本質(zhì)上和代數(shù)推理和變形原理是一致的,強(qiáng)調(diào)步步有據(jù),這樣的教學(xué)就體現(xiàn)了符號(hào)語(yǔ)言的作用,讓學(xué)生從更高的視角理解幾何推理的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)知識(shí)在不同情境下的正向遷移.

二、 在函數(shù)教學(xué)中用符號(hào)描述變化,強(qiáng)化符號(hào)的表達(dá)功能,促進(jìn)符號(hào)意識(shí)形成

七年級(jí)的符號(hào)意識(shí)形成表現(xiàn)為用字母表示數(shù),完成了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越,并且把符號(hào)作為對(duì)象參與運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)了符號(hào)的可操作性.在實(shí)際問(wèn)題中引入符號(hào)(未知數(shù))刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系和不等關(guān)系,初步體會(huì)了代數(shù)思維的特點(diǎn)[1].八年級(jí)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容就是一次函數(shù)與反比例函數(shù),函數(shù)模型簡(jiǎn)明扼要的把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境中的一類兩個(gè)變量的關(guān)系概括的清清楚楚,利用函數(shù)的圖像、表格及表達(dá)式等符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)關(guān)系三類符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化,促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的形成與深化理解,發(fā)展學(xué)生的抽象能力和建模能力[2],函數(shù)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化教學(xué)方法如下所示.

1.用符號(hào)表示函數(shù)關(guān)系,描述和解釋現(xiàn)實(shí)世界

從具體情境中抽象出兩個(gè)變量之間的關(guān)系與規(guī)律,是列函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ).而函數(shù)表達(dá)式同樣深刻揭示了一類問(wèn)題中的共性和普遍性,學(xué)生運(yùn)用表達(dá)式或圖像或表格解決問(wèn)題則提升了學(xué)生對(duì)于符號(hào)的理解,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)建模能力.

案例2 蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“6.2一次函數(shù)”.

問(wèn)題1 給汽車加油的加油槍流量為25L/min．如果加油前油箱里沒(méi)有油,那么在加油過(guò)程中,用y(L)表示油箱中的油量,x(min)表示加油時(shí)間.

(1)y是x的函數(shù)嗎?如果是,請(qǐng)寫出函數(shù)表達(dá)式;

變式1 油的加油槍流量為40L/min．如果加油前油箱里沒(méi)有油,那么在加油過(guò)程中,用y(L)表示油箱中的油量,x(min)表示加油時(shí)間,y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式?

(2)如果加油前油箱里有6L油,y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式?

變式2 如果加油前油箱里有5L油,y與x之間有怎樣的函數(shù)表達(dá)式?加油前油箱里有8L油呢?

(3)如果加油后油箱里有油40L,每行駛100km耗油10L,寫出行駛過(guò)程中油箱內(nèi)剩余油量Q(L)與行駛路程s(km)的函數(shù)表達(dá)式;

問(wèn)題2 這些函數(shù)表達(dá)式有什么共同特點(diǎn)?

歸納：一般地,如果兩個(gè)變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系,可以表示為y=kx+b(k、b為常數(shù),且k≠0)的形式．那么稱y是x的一次函數(shù)(linearfunction).特別地,當(dāng)b=0時(shí),y叫做x的正比例函數(shù)．所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

這是八年級(jí)上冊(cè)一次函數(shù)概念教學(xué)的片段,問(wèn)題的設(shè)置蘊(yùn)含了豐富的符號(hào)意識(shí),用變量表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的變化,即兩個(gè)變量之間的關(guān)系,這是學(xué)生要經(jīng)歷的第一次抽象的過(guò)程,而概括這些函數(shù)表達(dá)式的共同特點(diǎn)是讓學(xué)生再次經(jīng)歷用符號(hào)來(lái)表示一次函數(shù)模型,是學(xué)生在概念形成前的第二次抽象.這些問(wèn)題及其變式就是運(yùn)用符號(hào)來(lái)培養(yǎng)抽象能力和建模能力的生活具象,是教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié).

2.用多種語(yǔ)言表征函數(shù),促進(jìn)符號(hào)表達(dá)的深刻理解

引導(dǎo)學(xué)生用多種語(yǔ)言表示函數(shù):一種是數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部之間的轉(zhuǎn)化,即自然語(yǔ)言和函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化,第二種是數(shù)學(xué)內(nèi)部間的互相轉(zhuǎn)化,即函數(shù)的不同表達(dá)方式之間的相互轉(zhuǎn)化,從而提高學(xué)生的符號(hào)意識(shí),發(fā)展學(xué)生的多元表征意識(shí).

案例3 蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“6.3一次函數(shù)的圖像”.

觀察如圖2的圖片,并將你獲得的信息填入下表:

點(diǎn)燃時(shí)間/min05101520香的長(zhǎng)度/cm

圖2

設(shè)燃燒過(guò)程中香的長(zhǎng)度為y,燃燒時(shí)間為x,你能寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式嗎?

以x軸表示香的燃燒時(shí)間,y軸表示香的長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,畫(huà)出它的圖像.

很多一線教師在進(jìn)行這節(jié)課的教學(xué)中常忽視此情境.實(shí)際上此現(xiàn)實(shí)情境能幫助學(xué)生深入理解自然語(yǔ)言所蘊(yùn)含的香的長(zhǎng)度隨著燃燒時(shí)間的變化而變化的含義,用不同的方式記錄香的長(zhǎng)度:表格、表達(dá)式、函數(shù)圖像,讓學(xué)生體會(huì)到不同的符號(hào)語(yǔ)言的內(nèi)在一致性,同時(shí),讓學(xué)生感受到符號(hào)語(yǔ)言比自然圖片語(yǔ)言更具有一般性與概括性,更能表述函數(shù)的本質(zhì)屬性.

教學(xué)策略：函數(shù)是表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界規(guī)律和數(shù)量關(guān)系的又一重要模型,函數(shù)教學(xué)是符號(hào)意識(shí)形成的又一重要契機(jī),在函數(shù)教學(xué)中促進(jìn)符號(hào)意識(shí)形成有如下策略:①?gòu)?qiáng)化函數(shù)三種表示方法(函數(shù)表達(dá)式、圖表法、圖像法)的教學(xué),同時(shí)揭示不同符號(hào)表達(dá)函數(shù)在本質(zhì)上的一致性;②從三種符號(hào)表示方式的差異性上,理解每種表達(dá)方式的優(yōu)缺點(diǎn),特別是要強(qiáng)化函數(shù)圖像的教學(xué),實(shí)踐證明學(xué)生在處理函數(shù)圖像有關(guān)問(wèn)題還不能靈活和創(chuàng)造性應(yīng)用.

三、在問(wèn)題解決教學(xué)中引入符號(hào),強(qiáng)化符號(hào)的操作功能,深化符號(hào)意識(shí)

符號(hào)語(yǔ)言不僅僅是數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的工具,更是一種思維和操作的方式,也是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的工具,是代數(shù)思維的基礎(chǔ).能夠使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算推理,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決,是提升符號(hào)意識(shí)的一種可視化表現(xiàn).

案例4 甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)為100m的直道AB(A,B為直道兩端點(diǎn))上進(jìn)行勻速往返跑訓(xùn)練,兩人同時(shí)從A點(diǎn)起跑,到達(dá)B點(diǎn)后,立即轉(zhuǎn)身跑向A點(diǎn),到達(dá)A點(diǎn)后,又立即轉(zhuǎn)身跑向B點(diǎn)…若甲跑步的速度為5m/s,乙跑步的速度為4m/s,則起跑后100s內(nèi),兩人相遇的次數(shù)為( ).

A．5 B．4 C．3 D．2

方法1：分別計(jì)算每次相遇的時(shí)間(略).

方法3：圖象法(如圖3):觀察圖象,兩人運(yùn)動(dòng)圖象交點(diǎn)有4個(gè),兩人相遇4次.

三種解法是三種不同符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá),方法1是算術(shù)方法,方法2是構(gòu)造方程模型,方法3用函數(shù)圖像來(lái)表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程,直觀性強(qiáng),問(wèn)題解決有創(chuàng)新意識(shí),是符號(hào)意識(shí)靈活運(yùn)用的具體體現(xiàn).這個(gè)問(wèn)題還可以作變式,變化為甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)起跑,這樣第一次相遇路程和為100m,問(wèn)題會(huì)變得更加復(fù)雜,用圖像法來(lái)解決問(wèn)題更具有優(yōu)勢(shì).

教學(xué)策略：?jiǎn)栴}解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié),教學(xué)中要善于運(yùn)用問(wèn)題解決深化符號(hào)意識(shí)的形成.在問(wèn)題解決中深化符號(hào)意識(shí)形成策略:①設(shè)置典型問(wèn)題深化符號(hào)意識(shí).八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備較強(qiáng)的邏輯推理能力,教學(xué)中可以設(shè)計(jì)有一定思維含量的綜合性問(wèn)題,在問(wèn)題解決中強(qiáng)化學(xué)生引入符號(hào)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí),引入?yún)⒘拷鉀Q問(wèn)題是高中階段學(xué)習(xí)必需的技能,是符號(hào)意識(shí)形成的重要標(biāo)志;②優(yōu)化符號(hào)的表達(dá)方式,深化符號(hào)意識(shí).數(shù)學(xué)表達(dá)不僅是解決問(wèn)題的方式,更是認(rèn)識(shí)問(wèn)題的途徑,同一個(gè)問(wèn)題用不同的表達(dá)方式,在最優(yōu)化的符號(hào)表達(dá)中形成符號(hào)解決問(wèn)題的深刻理解;③ 運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言使問(wèn)題解決程序化和操作化,深化符號(hào)意識(shí).要引導(dǎo)學(xué)生看透形式符號(hào)背后的代數(shù)結(jié)構(gòu)或者圖形結(jié)構(gòu),把解決問(wèn)題的過(guò)程內(nèi)化為“對(duì)象”,能對(duì)“對(duì)象”進(jìn)行操作,提高解決問(wèn)題的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為:抽象能力(包括數(shù)感、 量感、符號(hào)意識(shí))、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí).會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,表現(xiàn)為能夠運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法,分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界表現(xiàn)為:數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念、應(yīng)用意識(shí).通過(guò)經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過(guò)程,學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式[3].可見(jiàn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)形成與核心素養(yǎng)密切相關(guān),隨著義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布和實(shí)施,以核心素養(yǎng)立意的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革必將向縱深的方向發(fā)展,初中生符號(hào)意識(shí)的形成其本身就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分,也是數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的重要載體,初中生符號(hào)意識(shí)形成策略值得深入研究.