問題驅(qū)動(dòng) 類比遷移 生長思維
——以“一次函數(shù)與二元一次方程”為例

王永鋒

江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué) (215228)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022版)指出:體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系,在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中,發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題．基于此,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì),體現(xiàn)知識(shí)的類比遷移,培養(yǎng)學(xué)生的生長思維．素養(yǎng)導(dǎo)向的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,問題才應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命線,以情境產(chǎn)生問題,以問題驅(qū)動(dòng)思考,引發(fā)學(xué)生持續(xù)、深入的探究,感受數(shù)學(xué)知識(shí)生長的全過程．本文以蘇教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊“6.5一次函數(shù)與二元一次方程”為例,談?wù)劵趩栴}驅(qū)動(dòng),喚醒知識(shí)經(jīng)驗(yàn),巧妙類比遷移,自然生長思維的教學(xué)過程．

一、于情境創(chuàng)設(shè)中跨學(xué)科引入,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之美

教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授,而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞學(xué)生的心靈．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)時(shí),教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的學(xué)習(xí)情境,這不僅可以吸引學(xué)生的注意力,而且有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,探索新知．北京大學(xué)郭華教授指出:數(shù)學(xué)學(xué)科主動(dòng)走出去,將其他相關(guān)學(xué)科積極請(qǐng)進(jìn)來．在這個(gè)過程中以“我”為主、以“我”為本,同時(shí)將其他學(xué)科的知識(shí)和方法為“我”所用、助“我”成事．[1]跨學(xué)科引入的問題情境,必然是課堂教學(xué)的潤滑油與催化劑．這里講的跨學(xué)科引入,是指為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)情境,將本學(xué)科之外的學(xué)科知識(shí)置于學(xué)習(xí)情境中,從知識(shí)或方法的交叉處提煉出具有數(shù)學(xué)學(xué)科意義的關(guān)鍵概念,并對(duì)其進(jìn)行思考和探索的教學(xué)過程．本課引入將語文學(xué)科的古詩詞在數(shù)學(xué)課堂中呈現(xiàn),以古詩詞對(duì)仗之美烘托數(shù)學(xué)符號(hào)之美,以古詩詞的意蘊(yùn)之美關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)本質(zhì)之美,以古詩詞細(xì)膩的情感之美映射數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)之美,學(xué)生美不勝收．

片斷1：課堂引入問題設(shè)計(jì)

(1)我們學(xué)過北宋詩人蘇軾的《題西林壁》,一起大聲朗讀,并請(qǐng)語文課代表談一下感受?

(2) 對(duì)于關(guān)系式y(tǒng)=-x+5,你能從不同的角度談一談對(duì)它的認(rèn)識(shí)嗎?請(qǐng)數(shù)學(xué)課代表談一下感受?

設(shè)計(jì)意圖：唐詩宋詞是我國的文化瑰寶,傳承至此,歷久彌香．一首《題西林壁》告知我們要從不同的視角觀察問題,才能得到問題的本質(zhì)．對(duì)關(guān)系式y(tǒng)=-x+5,從不同的視角來觀察,既是二元一次方程,也是一次函數(shù),本質(zhì)上都是表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系,兩位課代表很好地解釋了各自表達(dá)的主旨．將語文古詩詞融入數(shù)學(xué)教學(xué),學(xué)生于問題驅(qū)動(dòng)中類比遷移,于跨學(xué)科引入之美中自然得出“一次函數(shù)和二元一次方程”這一研究主題．跨學(xué)科引入研究主題,關(guān)鍵是依托教師的引,促進(jìn)學(xué)生的悟．跨學(xué)科引入實(shí)際上就是利用學(xué)科知識(shí)進(jìn)行現(xiàn)實(shí)生活的觀察和問題解決,它以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù),以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),圍繞學(xué)科本質(zhì)而開展．基于此,跨學(xué)科一定要讓學(xué)生自己動(dòng)起來,在發(fā)展人文的基礎(chǔ)上增加濃厚的趣味性,選取“為我所用”的知識(shí)、材料和技能,去作出調(diào)整,既能促進(jìn)學(xué)科之間的本質(zhì)融合,又能感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美．

二、于操作探究中找本質(zhì),讓學(xué)生悟出知識(shí)關(guān)聯(lián)

現(xiàn)代認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)不是教師向?qū)W生傳遞知識(shí),而是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)的過程．它以學(xué)生為中心,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的親身體驗(yàn),強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的嘗試發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)是一門“做”的學(xué)科,學(xué)生通過動(dòng)手操作和探究交流,激活已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備,找準(zhǔn)思維的最近發(fā)展區(qū),厘清知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),撥開形式不同的“面紗”找準(zhǔn)其中蘊(yùn)含的本質(zhì)．鄭毓信教授說:“基礎(chǔ)知識(shí)不在于求全,而在求聯(lián)．”“求聯(lián)”的著力點(diǎn)在于以問題驅(qū)動(dòng)思考,讓學(xué)生親身經(jīng)歷,參與實(shí)踐,以舊知喚醒新知,悟出知識(shí)關(guān)聯(lián),形成個(gè)性化的理解．教學(xué)時(shí),教師設(shè)計(jì)的問題以問題串形式出現(xiàn),讓學(xué)生學(xué)會(huì)有條理的思考,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．

片斷2：課堂探究問題設(shè)計(jì)

(1)一次函數(shù)y=-x+5與二元一次方程x+y-5=0之間有怎樣的聯(lián)系?

(2)二元一次方程x+y-5=0的解與一次函數(shù)y=-x+5的圖像上的點(diǎn)有什么關(guān)系?

(3)畫出一次函數(shù)y=-x+5的圖像,在圖像上任取3個(gè)點(diǎn),并寫出它們的坐標(biāo)．你發(fā)現(xiàn)了什么?

(4)再寫出方程x+y-5=0的3個(gè)解,以這3個(gè)解為坐標(biāo),在上述直角坐標(biāo)系中描出這3個(gè)點(diǎn)．你又發(fā)現(xiàn)了什么?

(6)把上述一次函數(shù)的關(guān)系式一般化,可得y=kx+b(k,b是常數(shù)且k≠0),相應(yīng)的二元一次方程為kx-y+b=0．它們之間還滿足上述的關(guān)系嗎?

設(shè)計(jì)意圖：美國數(shù)學(xué)家布魯納指出:“數(shù)學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動(dòng),思維永遠(yuǎn)是從問題開始的．”問題(1)中的一次函數(shù)y=-x+5與二元一次方程x+y-5=0,可以通過移項(xiàng)相互轉(zhuǎn)化,它們都是表示x、y相同的數(shù)量關(guān)系．問題(2)地解決要依托解決問題(3)和問題(4)來領(lǐng)悟,于學(xué)生而言,這也是學(xué)習(xí)本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)．教師需引導(dǎo)學(xué)生選取“兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)”畫出一次函數(shù)的圖像,并在圖像上取出不同的點(diǎn),進(jìn)一步感受這樣的點(diǎn)有無數(shù)個(gè),并且它們都是相應(yīng)的二元一次方程的解．接下來,對(duì)二元一次方程的解進(jìn)行描點(diǎn),發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖像上．由于這個(gè)操作只能選取有限個(gè)點(diǎn),教師可結(jié)合幾何畫板加以演示,讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟兩者蘊(yùn)含其中的關(guān)聯(lián)．問題(5)是對(duì)問題(3)、(4)的特殊點(diǎn)的一般化歸納,也是對(duì)解和坐標(biāo)關(guān)系的一般性詮釋．從問題(1)知曉關(guān)系式可以相互轉(zhuǎn)化,自然也就不需要將問題(5)中的坐標(biāo)代入驗(yàn)證了．由此可以引導(dǎo)學(xué)生悟出:一次函數(shù)y=-x+5圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)是二元一次方程x+y-5=0的解;同時(shí),二元一次方程x+y-5=0的解是一次函數(shù)y=-x+5圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)．問題(6)是問題(2)的一般化歸納,它是上述5個(gè)問題的總結(jié),在本節(jié)課起著承上啟下的作用．問題是數(shù)學(xué)的心臟,通過問題串優(yōu)化問題設(shè)計(jì),激活學(xué)生的知識(shí)積淀,優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)技能,豐富學(xué)生的情感體驗(yàn),化抽象為具體,深入淺出讓學(xué)生悟出“點(diǎn)的坐標(biāo)”和“方程的解”的關(guān)聯(lián)．

三、于類比遷移中現(xiàn)靈魂,讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)思想方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022版)指出:通過豐富的教學(xué)方式,讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)揮每一種教學(xué)方式的育人價(jià)值,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓,是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁和紐帶,是數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映,是數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)展的源泉,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂所在,具有高度的抽象性和概括性．?dāng)?shù)學(xué)思想方法不是解題的模型和套路,而是數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)和內(nèi)核．它是動(dòng)態(tài)的,發(fā)展的,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的關(guān)鍵,要從關(guān)注學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展進(jìn)行針對(duì)性的化隱為顯,逐步滲透．學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了思想方法,才能靈活運(yùn)用知識(shí),真正發(fā)展數(shù)學(xué)能力．

片斷3：課堂提升問題設(shè)計(jì)

(1)練習(xí):已知點(diǎn)M(0,3)和N(1,4)在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上,求一次函數(shù)的表達(dá)式．你這樣做的依據(jù)是什么?

(2)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=x+3的圖像,它和函數(shù)y=-x+5有怎樣的位置關(guān)系?同一平面內(nèi)的兩條直線還有怎樣的位置關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)思想是對(duì)概念、方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)方法是處理數(shù)學(xué)問題中所采用的各種手段、途徑和方式．設(shè)計(jì)問題(1)目的有二:一是復(fù)習(xí)求一次函數(shù)關(guān)系式的求解方法,二是解釋這樣做的依據(jù),即“坐標(biāo)是解”．問題(2)結(jié)合前面所畫的一次函數(shù)y=-x+5的圖像,直接得出這兩條直線相交(垂直),同一平面內(nèi)的兩條直線的位置還可能平行,這就為解決問題(4)埋下伏筆．問題(3)是研究兩條直線的交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解之間的關(guān)系,通過類比遷移,學(xué)生自然會(huì)得出兩者之間的關(guān)系．結(jié)合教學(xué)片段2和3,學(xué)生很好地感受到點(diǎn)(解)的特殊到一般,函數(shù)關(guān)系式(二元一次方程)的特殊到一般,感受“形”(一次函數(shù)的圖像)與“數(shù)”(二元一次方程)的巧妙結(jié)合,感受一條直線(一個(gè)方程)到兩條直線(兩個(gè)方程)的類比與轉(zhuǎn)化．教師不斷地設(shè)問、發(fā)問、提問、追問,學(xué)生不斷地長思考、深思考、全思考、慢思考,在師生共同體驗(yàn)中,積極參與數(shù)學(xué)問題生成與分析解決的全過程,透過知識(shí)這個(gè)載體,感受數(shù)學(xué)思想方法的滲透與突出,逐漸提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

四、于歸納總結(jié)中會(huì)思考,讓學(xué)生自然生長思維

數(shù)學(xué)家康托爾說:“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由．”這里的自由即是一種理性思維自由的創(chuàng)造．因此,在數(shù)學(xué)課堂上,教師不能依賴于大容量、快節(jié)奏的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生狂轟濫炸,而是要留給學(xué)生充足的思考時(shí)間,讓學(xué)生自由地思考和表達(dá),讓不同的人得到不同的體驗(yàn)和發(fā)展．“編筐編簍,重在收口．”數(shù)學(xué)課的最后階段,留下幾分鐘讓學(xué)生暢談感受甚至是寫寫感悟,對(duì)一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行歸納總結(jié),讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過程,獲得進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)和提出問題,用數(shù)學(xué)思維來分析問題,用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)并解決問題,這對(duì)完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),發(fā)展學(xué)生的思維大有裨益．

片斷4:課堂總結(jié)設(shè)計(jì)問題

(1)用圖像法解二元一次方程組的步驟是什么?與消元法相比,它的優(yōu)缺點(diǎn)是什么?

(2)這節(jié)課是怎樣學(xué)習(xí)函數(shù)與方程間關(guān)系的?請(qǐng)畫出它的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．

(3)在探索過程中滲透了哪些數(shù)學(xué)思想和方法?

(4)再讀《題西林壁》,你又有怎樣的感受?

設(shè)計(jì)意圖：瑞士教育家裴斯泰洛奇說:“教學(xué)的主要任務(wù)不是積累知識(shí),而是發(fā)展思維．”本環(huán)節(jié)中,問題(1)通過觀察操作,類比抽象,總結(jié)歸納出用圖像法解二元一次方程組需“變函數(shù)——畫圖像——找交點(diǎn)——寫結(jié)論”四個(gè)步驟．與七年級(jí)學(xué)過的消元法相比,圖像法更為直觀,確定交點(diǎn)坐標(biāo)便可以直接寫出相應(yīng)的方程組的解,但是未知交點(diǎn)坐標(biāo)則只能求出近似解．問題(2)是對(duì)整節(jié)課教學(xué)流程的一個(gè)回顧,教師引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖1所示的思維結(jié)構(gòu)圖,完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系．?dāng)?shù)學(xué)在某種程度就是一種系統(tǒng)和結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)上一以貫之,知曉通性才有通法可徇．[2]問題(3)是對(duì)知識(shí)體系形成過程的高度抽象和概括,突出強(qiáng)調(diào)類比、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等思想方法．問題(4)與課堂引入首位呼應(yīng),是本節(jié)課人文性的升華．審視本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生獲得“四基”的過程與結(jié)果相互交融,發(fā)展“四能”的目標(biāo)層層遞進(jìn),于歸納總結(jié)中深入思考,厘清知識(shí)脈絡(luò),提升能力,生長思維,落實(shí)素養(yǎng)．

圖1

“教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)就是讓學(xué)生經(jīng)歷一種成長,見證一種成長”．基于此,教師要找準(zhǔn)生長點(diǎn),以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué),為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的表達(dá)個(gè)人觀點(diǎn)的情境,給學(xué)生知無不言、言無不盡的表述機(jī)會(huì)．只要學(xué)生敢于開口,樂于操作,勤于總結(jié),必然優(yōu)化思維品質(zhì),培養(yǎng)思維能力,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)．