橢圓中兩個三角形最大面積問題

江邊

橢圓（或圓）由于是封閉曲線，因此橢圓（或圓）中隱含的最值問題比較多，是數(shù)學研究與教學可供開發(fā)的重要資源之一，本文給出橢圓中的兩個三角形最大面積問題及其解答，以饗讀者.

問題1 給定橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>0，m≠a）是x軸上的一定點，過M引直線交C于兩不同點A、B，O為原點，求三角形AOB的面積S△AOB的最大值.

圖1

解 （1）當m>22a時，如圖1，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ty+m（t為參數(shù)），代入C的方程整理得

（a2+b2t2）y2+2b2mty+b2（m2-a2）=0. ①

由直線AB與C有兩不同交點知Δ>0，等價于

4b4m2t2-4b2（a2+b2t2）（m2-a2）>0

4a2b2（a2+b2t2-m2）>0

a2+b2t2-m2>0.

由于y1、y2為方程①的兩實根，則由韋達定理知

y1+y2=-2b2mta2+b2t2， ? ? ?②

y1y2=b2（m2-a2）a2+b2t2. ? ? ③

由②、③式可得

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（1+t2）（y1-y2）2

=（1+t2）[（y1+y2）2-4y1y2]

=1+t2·4b4m2t2（a2+b2t2）2-4b2（m2-a2）a2+b2t2

=2ab1+t2a2+b2t2·a2+b2t2-m2.

又O到直線AB的距離d=m1+t2，所以

S△AOB=12·AB·d

=abma2+b2t2-m2a2+b2t2.

令u=a2+b2t2-m2（u>0），則a2+b2t2=u2+m2，于是由二元均值不等式得

S△AOB=abmuu2+m2≤ab2，

故當且僅當u=ma2+b2t2=2m2t=±2m2-a2b時S△AOB取得最大值ab2.

圖2

（2）當0<m≤22a時，a2≥2m2，a2>m2，由（1）的解答知S△AOB=abma2+b2t2-m2a2+b2t2，由此式知當t=0（即直線AB⊥x軸，如圖2）時，三角形AOB的面積S=

bma2-m2a.下面證明④式成立：

S△AOB≤S ? ? ④

abma2+b2t2-m2a2+b2t2≤bma2-m2a

a2a2+b2t2-m2≤a2-m2·（a2+b2t2）

a4（a2+b2t2-m2）

≤（a2-m2）（a2+b2t2）2

t2[b2（a2-m2）t2+a2（a2-2m2）]

≥0. ? ? ⑤

由于在a2≥2m2的前提下，⑤式顯然成立，從而④式成立，故當0<m≤22a時，當且僅當t=0（即直線AB⊥x軸）時S△AOB取得最大值bma2-m2a.

由此，得到如下結(jié)論：

結(jié)論1 給定橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>0，m≠a）是x軸上的一定點，過M引直線交C于兩不同點A、B，O為原點，三角形AOB的面積為S△AOB，則

（1）當0<m≤22a時，S△AOB的最大值為bma2-m2a;

（2）當m>22a時，S△AOB的最大值為ab2.

說明 可以證明：當m≥22a時，過點M作橢圓C′：x2a2+y2b2=12（a>b>0）的切線，交橢圓C于兩點A、B，則三角形AOB的面積S△AOB=ab2.

問題2 給定橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>0，m≠b）是y軸上的一定點，過M引直線交C于兩不同點A、B，O為原點，求三角形AOB的面積S△AOB的最大值.

圖3

解 （1）當m>22b時，如圖3，設A（x1，y1），B（x2，y2），

直線AB的方程為y=kx+m（k為斜率），代入C的方程整理得

（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0. ?⑥

由直線AB與C有兩不同交點知Δ>0，等價于

4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）>0

a2k2+b2-m2>0.

由于x1、x2為方程⑥的兩實根，則由韋達定理知

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，⑦

x1x2=a2（m2-b2）a2k2+b2.⑧

由⑦、⑧式可得

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（k2+1）（x1-x2）2

=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1x2]

=k2+1·4a4m2k2（a2k2+b2）2-4a2（m2-b2）a2k2+b2

=2abk2+1a2k2+b2·a2k2+b2-m2.

又O到直線AB的距離d=mk2+1，所以

S△AOB=12·AB·d

=abma2k2+b2-m2a2k2+b2.

令u=a2k2+b2-m2（u>0），則a2k2+b2=u2+m2，于是由二元均值不等式得

S△AOB=abmuu2+m2≤ab2，

故當且僅當u=ma2k2+b2=2m2k=±2m2-b2a時S△AOB取得最大值ab2.

圖4

（2）當0<m≤22b時，b2≥2m2，b2>m2，由（1）的解答知S△AOB=abma2k2+b2-m2a2k2+b2，由此式知當k=0（即直線AB⊥y軸，如圖4）時，三角形AOB的面積S=amb2-m2b.

下面證明⑨式成立：

S△AOB≤S⑨

abma2k2+b2-m2a2k2+b2≤amb2-m2b

b2a2k2+b2-m2≤b2-m2·（a2k2+b2）

b4（a2k2+b2-m2）≤（b2-m2）（a2k2+b2）2

k2[a2（b2-m2）k2+b2（b2-2m2）]≥0.⑩

由于在b2≥2m2的前提下，⑩式顯然成立，從而⑨式成立，故當0<m≤22b時，當且僅當k=0（即直線AB⊥y軸）時S△AOB取得最大值amb2-m2b.

由此，得到如下結(jié)論：

結(jié)論2 給定橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>0，m≠b）是y軸上的一定點，過M引直線交C于兩不同點A、B，O為原點，三角形AOB的面積為S△AOB，則

（1）當0<m≤22b時，S△AOB的最大值為amb2-m2b;

（2）當m>22b時，S△AOB的最大值為ab2.

說明 可以證明：當m≥22b時，過點M作橢圓C′：x2a2+y2b2=12（a>b>0）的切線，交橢圓C于兩點A、B，則三角形AOB的面積S△AOB=ab2.

最后需指出的是，本文研究的問題的前提條件是定點M位于橢圓的對稱軸上，比較特殊，若M是橢圓所在平面上的任意一定點（M不在橢圓上且不為橢圓的中心），則問題中的△AOB的最大值又如何？這個一般性的問題留給有興趣的讀者繼續(xù)探討.

參考文獻

[1] 姜坤崇.橢圓中一個三角形最大面積問題[J].中學數(shù)學雜志，2014（5）.