數(shù)控機(jī)床直線進(jìn)給系統(tǒng)相位特性的建模與分析

王泓元，胡亞輝，張現(xiàn)，張大衛(wèi)

(1.天津理工大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，天津 300384；2.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350)

0 前言

直線進(jìn)給系統(tǒng)是數(shù)控機(jī)床的核心部件之一，是數(shù)控機(jī)床的主要傳動(dòng)方式[1]。多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床加工過程中，需要多軸進(jìn)給系統(tǒng)共同完成三維空間的加工，而各個(gè)軸的進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性呈現(xiàn)復(fù)雜變化的特點(diǎn)[2]，因此多軸耦合過程中誤差增加。直線進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)行過程中，由于工況復(fù)雜，其參數(shù)的變化會使輸出信號的響應(yīng)規(guī)律發(fā)生改變。因此，借助動(dòng)力學(xué)模型仿真方法對進(jìn)給系統(tǒng)參數(shù)變化進(jìn)行建模仿真，求得進(jìn)給系統(tǒng)相位特性變化規(guī)律，對進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性研究與機(jī)床的軸間耦合研究有著重要的意義。

近年來，對于進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究。王磊等人[3]建立集中參數(shù)的動(dòng)力學(xué)模型，驗(yàn)證了軸間耦合作用對多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床的動(dòng)態(tài)特性有較大的影響，通過加速度的頻率響應(yīng)曲線得出三軸機(jī)床不同刀尖點(diǎn)具有不同動(dòng)態(tài)特性。HUNG等[4]基于Hertz接觸理論對滾動(dòng)結(jié)合面的剛度進(jìn)行分析，確定了滾動(dòng)部件的動(dòng)剛度與振動(dòng)模態(tài)的關(guān)系，可用于評估不同滾動(dòng)部件對機(jī)床系統(tǒng)整體動(dòng)態(tài)性能的影響。VICENTE等[5]建立了進(jìn)給系統(tǒng)的高頻動(dòng)態(tài)模型，將滾珠絲杠建模為一個(gè)連續(xù)的子系統(tǒng)，從而為控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考，降低軌跡的跟蹤精度。然而對進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性研究[6-10]，目前多以進(jìn)給系統(tǒng)首階與次階固有頻率作為衡量指標(biāo)，分析固有頻率變化規(guī)律，弱化工況變化對固有頻率的影響，使進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性更穩(wěn)定。若想對各個(gè)軸向進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差進(jìn)行量化，從結(jié)構(gòu)與控制等方面對多軸耦合誤差進(jìn)行補(bǔ)償，需對進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有著更詳細(xì)的衡量指標(biāo)。

因此，本文作者針對進(jìn)給系統(tǒng)的輸出信號與輸入信號之間的相位特性變化規(guī)律進(jìn)行研究。建立進(jìn)給系統(tǒng)的集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)行過程中的不同工況，對動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)變化規(guī)律進(jìn)行分析。通過動(dòng)力學(xué)模型的仿真，分析參數(shù)變化對進(jìn)給系統(tǒng)相位特性的影響。

1 直線進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

將進(jìn)給系統(tǒng)的伺服電機(jī)、絲杠、螺母與工作臺理想化為集中質(zhì)量塊，建立進(jìn)給系統(tǒng)的集中質(zhì)量模型。簡化后的質(zhì)量塊之間存在剛度特性與阻尼特性，因此將部件之間的結(jié)合面簡化為非線性的彈簧阻尼單元，其中絲杠自身的剛度與軸承剛度進(jìn)行串聯(lián)。建模方法的精度與可靠性已在文獻(xiàn)[11]中得到驗(yàn)證。

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可得直線進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

其中：M10×10、C10×10、K10×10分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣；F10×1為外部對進(jìn)給系統(tǒng)的激勵(lì)；x為部件對應(yīng)的位移。

2 直線進(jìn)給系統(tǒng)參數(shù)分析

由于加工過程中工況復(fù)雜，進(jìn)給系統(tǒng)工況不同，部分動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)會發(fā)生改變，對會發(fā)生變化的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行分析。

2.1 導(dǎo)軌滑塊副靜剛度分析

導(dǎo)軌滑塊副由滑塊、滾柱與導(dǎo)軌共同組成，其簡化模型如圖2所示。導(dǎo)軌直線度誤差是進(jìn)給系統(tǒng)誤差重要來源之一。進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)行過程中，導(dǎo)軌誤差不同會使導(dǎo)軌滑塊副的靜剛度改變。

其中ei為導(dǎo)軌的直線度誤差，當(dāng)導(dǎo)軌誤差變化，會使滑塊內(nèi)滾柱、滑塊裙邊、工作臺甚至導(dǎo)軌表面產(chǎn)生彈性形變。但由于工作臺與導(dǎo)軌表面剛度遠(yuǎn)大于其他部分剛度，因此可將二者理想化為剛體。導(dǎo)軌直線度誤差發(fā)生變化時(shí)，滾柱會因直線度誤差的變化發(fā)生彈性變形，而彈性力的作用在滑塊裙部因變形會釋放滾動(dòng)體的壓縮變形量，二者達(dá)到平衡狀態(tài)。

基于赫茲接觸理論的經(jīng)驗(yàn)公式[12]，滾柱內(nèi)部接觸力與變形量之間關(guān)系為

Q=Cδ10/9

(2)

(3)

其中：Q是滾柱軸向的法向載荷；δ為滾珠接觸變形；ν1、ν2分別為滾柱與滾道面泊松比；E1、E2分別為滾柱與滾道面的彈性模量；l0為滾柱長度。

將法向載荷Q分解到水平、垂直方向，且法向載荷Q與水平軸夾角均為45°。因此滾動(dòng)體的等效剛度為

(4)

其中：kx1、ky1分別為滾動(dòng)體水平與垂直方向的等效剛度。

其中：Q為滾柱作用于滑塊裙邊的彈性力?；瑝K裙邊可簡化為懸臂梁結(jié)構(gòu)，等效剛度為

(5)

其中：Fs為滾柱對滑塊裙邊的彈性力；Eh為滑塊裙部的彈性模量；I為裙部的截面慣性矩；lh為滑塊裙部懸臂梁長度的一半。因此導(dǎo)軌滑塊副等效剛度簡化模型如圖4所示。

將公式(4)、(5)剛度計(jì)算公式代入公式(6)、(7)中，計(jì)算出導(dǎo)軌滑塊副等效模型水平與垂直靜剛度

(6)

k1y=k2y=ky1

(7)

其中：k1x、k2x為導(dǎo)軌滑塊副水平剛度，由滾柱等效剛度與滑塊裙邊等效剛度串聯(lián)求得；k1y、k2y為導(dǎo)軌滑塊副垂直剛度。

2.2 工作臺摩擦力分析

摩擦力計(jì)算與正壓力相關(guān)，首先需對工作臺內(nèi)部彈性力進(jìn)行求解。工作臺與4個(gè)滑塊由螺栓進(jìn)行固定連接，某一滑塊受力情況發(fā)生變化時(shí)，所有滑塊均發(fā)生改變，最終工作臺達(dá)到受力平衡，如圖5所示。

利用力學(xué)平衡可對4個(gè)導(dǎo)軌滑塊的4個(gè)方向等效結(jié)合面的變形量進(jìn)行求解：

(8)

式中：δxi，1、δxi，2、δyi，1、δyi，2分別為X正方向、X負(fù)方向、Y正方向、Y負(fù)方向的滾柱變形量；exi，1、exi，2、eyi，1、eyi，2分別為對應(yīng)方向的導(dǎo)軌直線度誤差；ξi，1、ξi，2為滑塊裙邊變形量；g為等效模型的預(yù)緊壓縮量；xi、yi分別為滑塊在X、Y方向的位移量；i=1，2，3，4對應(yīng)工作臺的4個(gè)滑塊。

將式(2)—(7)代入式(8)可求得對應(yīng)導(dǎo)軌滑塊副的剛度系數(shù)彈性力：

(9)

其中：Fx與Fy分別為導(dǎo)軌滑塊副水平與垂直方向等效彈性力；kx、ky為代入公式(6)、(7)求得的剛度系數(shù)。將彈性力作為結(jié)合面的正壓力FH，與摩擦因數(shù)μ相乘可得摩擦力，將4個(gè)滑塊摩擦力求和，可求得工作臺受到的總摩擦力：

(10)

其中：FxHi、FyHi分別為4個(gè)滑塊與導(dǎo)軌的等效正壓力；Ff為工作臺受到的總摩擦力。

2.3 絲杠軸向靜剛度變化分析

絲杠的軸向拉壓剛度反映了進(jìn)給系統(tǒng)受到軸向作用力的抗變形性能。由于絲杠采用一端固定一端自由的支撐方式，因此由螺母傳遞的軸向力作用點(diǎn)與固定端之間的絲杠部分會發(fā)生改變。工作臺位置發(fā)生變化時(shí)，絲杠的軸向剛度會隨之改變，其計(jì)算公式為

(11)

式中：Ksa為絲杠軸向拉壓剛度；E為絲杠材料的彈性模量；A為絲杠螺紋部分最小截面積；d為絲杠的螺紋底徑；xs為載荷作用點(diǎn)到固定端軸承的軸向距離，會隨著工作臺位置變化而改變。

3 進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)確定

結(jié)合具體工況，確定進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)。

3.1 動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)規(guī)律分析

動(dòng)力學(xué)模型包括進(jìn)給系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣與阻尼矩陣，通過計(jì)算，不隨工況改變而變化的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)如表1所示。

表1 動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)

機(jī)床制造過程中為補(bǔ)償導(dǎo)軌梁在重力作用下的彎曲變形，會對導(dǎo)軌進(jìn)行反變形補(bǔ)償，因此導(dǎo)軌直線度誤差呈拱形[13]。實(shí)際測量結(jié)果驗(yàn)證了這一現(xiàn)象[14]，如圖6所示。

因此本文作者將直線度誤差簡化為水平與垂直的拱形誤差，探究工作臺位置改變過程中，導(dǎo)軌直線度誤差變化對內(nèi)部參數(shù)的影響。

(12)

(13)

其中：ex(z)、ey(z)分別為X、Y方向直線度誤差；Z為工作臺位置；L為工作臺總行程；e0為導(dǎo)軌誤差最大值，在導(dǎo)軌中點(diǎn)取得。

工作臺有效行程L為900 mm，以150 mm為步長，表2為導(dǎo)軌滑塊副參數(shù)，將數(shù)據(jù)代入公式(2)—(9)中可求得導(dǎo)軌誤差對導(dǎo)軌滑塊副剛度系數(shù)與彈性力的變化規(guī)律。

表2 導(dǎo)軌滑塊副參數(shù)

圖7(a)與圖7(b)分別為出現(xiàn)拱形誤差時(shí)，4個(gè)滑塊剛度系數(shù)變化規(guī)律。圖7(c)為導(dǎo)軌滑塊副平均彈性力，由于X方向?yàn)闈L動(dòng)體與裙邊共同作用，與Y方向相比彈性力較大。圖7(d)為位置改變絲杠軸向剛度的變化規(guī)律。綜合圖7可得：工作臺位置改變過程中，進(jìn)給系統(tǒng)的部分動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)會發(fā)生改變。

3.2 工作臺摩擦力

工作臺位置變化彈性力發(fā)生變化，工作臺摩擦特性隨之改變，圖7(c)為導(dǎo)軌滑塊副水平垂直方向平均彈性力，查閱文獻(xiàn)[15]得7 000～10 000 N的載荷作用下摩擦因數(shù)μ=0.004 3，將剛度與變形代入公式(10)中，求得4個(gè)滑塊與導(dǎo)軌之間的摩擦力，工作臺總摩擦力變化規(guī)律如圖8所示。

工作臺受到的摩擦力改變，從而改變進(jìn)給系統(tǒng)受力情況，進(jìn)給系統(tǒng)相位特性隨之發(fā)生改變。

4 直線進(jìn)給系統(tǒng)相位特性仿真分析

4.1 相位特性模型

基于Simulink，利用狀態(tài)空間方法對進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行仿真，仿真模型如圖9所示。

如圖10所示，由伺服電機(jī)輸入正弦激勵(lì)信號，輸入信號首次到達(dá)波峰時(shí)間為t0，輸出信號首次到達(dá)波峰的時(shí)間為t1，相位角φ計(jì)算公式為

圖1 進(jìn)給系統(tǒng)簡化模型

圖2 導(dǎo)軌滑塊副示意

圖3 滑塊裙邊等效示意

圖4 導(dǎo)軌滑塊副等效模型

圖5 工作臺靜力平衡模型

圖6 導(dǎo)軌水平(a)與垂直(b)方向一側(cè)存在拱形誤差示意

圖7 不同工作臺位置時(shí)進(jìn)給系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)

圖8 工作臺總摩擦力與位置關(guān)系

圖9 Simulink仿真模型

圖10 輸入信號與輸出信號對比

(14)

4.2 頻率對相位特性影響

進(jìn)給系統(tǒng)激振力頻率由伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速?zèng)Q定，伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速范圍為0～1 800 r/min，因此保持其他參數(shù)不變，在轉(zhuǎn)速范圍對進(jìn)給系統(tǒng)相位變化規(guī)律進(jìn)行分析。具體工況為：X方向?qū)к壵`差e=0.01 μm，摩擦力由公式(10)計(jì)算可得Fc=334.38 N；Y方向?qū)к壵`差e=0.01 μm，摩擦力由公式(10)計(jì)算可得Fc=338.97 N。改變伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速，結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同轉(zhuǎn)速的相位特性曲線

由圖11可得：伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速變化會改變進(jìn)給系統(tǒng)相位特性，隨著伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速增加，進(jìn)給系統(tǒng)相位差逐漸增加。相位差小代表輸出信號與輸入信號之間延時(shí)小，進(jìn)給系統(tǒng)有良好的跟隨特性；相位差較大則代表工作臺對輸入信號的響應(yīng)有一定滯后性，跟隨特性較差。

當(dāng)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速在0～1 200 r/min之間時(shí)，輸出信號與輸入信號之間的相位差較小，且在1 200 r/min轉(zhuǎn)速附近相位差趨近于零，輸出信號對輸如信號有著較好的跟蹤特性。由于文中將摩擦力簡化為固定值輸入至系統(tǒng)當(dāng)中，使得輸出信號存在提前到達(dá)波峰的現(xiàn)象。而隨著伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速的增加，1 200～1 800 r/min范圍內(nèi)進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)械特性當(dāng)中的阻尼、摩擦等特性對系統(tǒng)影響逐漸顯著，進(jìn)給系統(tǒng)滯后的相位角有著較大的增加。1 800 r/min轉(zhuǎn)速時(shí)，輸出信號的相位差達(dá)到了28.12°，此時(shí)工作臺對輸入信號響應(yīng)有著較大的滯后性。

綜上可得：較低的轉(zhuǎn)速時(shí)進(jìn)給系統(tǒng)跟隨特性較好；在高轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，工作臺輸出端對伺服電機(jī)輸入信號的響應(yīng)存在一定的延時(shí)。因此，若使用軸間耦合技術(shù)對工作臺移動(dòng)的滯后特性進(jìn)行補(bǔ)償，可提高高速加工精度，需進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)研究。

4.3 摩擦力對相位特性影響

工作臺摩擦力對進(jìn)給系統(tǒng)相位特性也有一定的影響。保持輸入信號頻率不變，探究導(dǎo)軌存在拱形誤差、工作臺不同位置摩擦力變化時(shí)相位特性規(guī)律情況。具體工況為：伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，保持其他參數(shù)不變，導(dǎo)軌X與Y方向分別存在拱形誤差，不同位置摩擦力由圖8可得。

由圖12可得：工作臺受到的摩擦力變化會對進(jìn)給系統(tǒng)相位差產(chǎn)生影響。摩擦力越大，進(jìn)給系統(tǒng)滯后的相位角增加。因此，高速高精度進(jìn)給系統(tǒng)需對摩擦力進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償，能進(jìn)一步提高進(jìn)給系統(tǒng)跟隨特性。

圖12 不同位置摩擦力變化的相位特性曲線

4.4 結(jié)合面參數(shù)對相位特性影響

大尺寸零件加工過程中，伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速不變，在此工況下進(jìn)給系統(tǒng)輸入信號頻率保持不變，然而由于工作臺位置變化較大，若導(dǎo)軌誤差不同，不同位置下進(jìn)給系統(tǒng)部分結(jié)合面參數(shù)會發(fā)生改變。具體工況為：伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，平均摩擦力Fc=314.22 N，結(jié)合面參數(shù)由圖7與表1可得。

由圖13可得：絲杠軸向剛度變化對進(jìn)給系統(tǒng)相位特性影響較大，導(dǎo)軌滑塊副剛度變化對相位特性影響較小。由于絲杠剛度與工作臺進(jìn)給方向相同，系統(tǒng)對絲杠軸向剛度變化更敏感；而導(dǎo)軌滑塊副剛度變化對相位特性影響較小，其彈性力的變化對進(jìn)給系統(tǒng)影響體現(xiàn)在改變工作臺摩擦力中，如圖12所示。因此進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)合面參數(shù)變化會影響其相位特性，減小運(yùn)動(dòng)方向結(jié)合面參數(shù)的變化，能提高加工過程中動(dòng)態(tài)特性的穩(wěn)定性。

圖13 不同位置剛度系數(shù)變化的相位特性曲線

5 結(jié)論

基于多軸耦合技術(shù)在多軸聯(lián)動(dòng)過程中，不同進(jìn)給軸之間無法進(jìn)行有效補(bǔ)償?shù)膯栴}，對進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行仿真分析，提出對工作臺的輸出端與伺服電機(jī)的輸入端之間的響應(yīng)滯后性進(jìn)行量化，為多軸耦合提供參考。通過對進(jìn)給系統(tǒng)相位特性進(jìn)行分析，得到不同工況下進(jìn)給系統(tǒng)相位變化規(guī)律，得出以下結(jié)論：

(1)由于工況不同，進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)行過程中動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)會發(fā)生改變。

(2)工作臺受到的摩擦力增加，相位角越大，跟隨特性越差，因此可通過摩擦力補(bǔ)償提高動(dòng)態(tài)特性。

(3)絲杠軸向剛度改變對相位特性影響較大，導(dǎo)軌滑塊副剛度改變對相位特性影響較小，加工過程中保持關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)參數(shù)穩(wěn)定，能有效提高動(dòng)態(tài)特性。

(4)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速變化對相位特性有著較大的影響，輸入信號頻率較低時(shí)相位差較小，進(jìn)給系統(tǒng)跟隨特性較好；轉(zhuǎn)速較高時(shí)相位差增大，進(jìn)給系統(tǒng)跟隨特性較差。因此高速加工過程中進(jìn)行軸間耦合時(shí)，可將相位差作為參數(shù)，補(bǔ)償加工過程中的動(dòng)態(tài)誤差。