保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值

趙前進(jìn)，胡云飛

（安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽淮南 232001）

連分式是一個十分古老的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，但是連分式插值與逼近[1]卻是一種新的非線性數(shù)值計算工具，它提供了一種新的非線性數(shù)值計算方法。連分式在工程技術(shù)領(lǐng)域[2-4]得到了廣泛應(yīng)用。近年來連分式應(yīng)用于計算機(jī)輔助幾何設(shè)計和數(shù)字圖像處理等領(lǐng)域。[5-6]Thiele型連分式插值是一種有理插值方法，為函數(shù)的連分式展開提供了強(qiáng)有力的工具。[1,7,8]在工程技術(shù)中經(jīng)常遇到一些具有水平漸近線和極點的函數(shù)，采用多項式或者傳統(tǒng)的Thiele型連分式作為逼近工具是不合適的，在逼近函數(shù)時無法保持被插值函數(shù)的水平漸近線[9]，也無法區(qū)分極點以及極點的重數(shù)，逼近效果不一定達(dá)到理想。

本文通過研究連分式插值有理分式最高次項系數(shù)與函數(shù)極限之間的關(guān)系，構(gòu)建保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法，證明新算法的存在唯一性[10],給出誤差分析。[11，12]數(shù)值例子證明新算法的有效性。

1 Thiele連分式插值

設(shè)被插值函數(shù)y=f(x)，x0,x1,…,xn是被插值函數(shù)y=f(x)的n+1個互異的插值節(jié)點，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是插值函數(shù)y=f(x)在插值節(jié)點處的函數(shù)值。

稱

為Thiele型連分式，其中Pn(x)，Qn(x)為有理分式的分子分母。

式（1）中

令

稱由式（2）～（5）確定的φ[x0,x1,…,xl]為函數(shù)f(x)在點x0,x1,…,xl處的l階逆差商，且滿足下列條件

設(shè)P-1=1,P0=b0,Q-1=0,Q0=1，則對n≥1有連分式的三項遞推關(guān)系[13]

由連分式三項遞推關(guān)系可知多項式Pn(x)和Qn(x)的最高次項系數(shù)具有以下系數(shù)關(guān)系[14]

當(dāng)n為奇數(shù)時

當(dāng)n為偶數(shù)時

其中：L(Pn(x))表示多項式Pn(x)的最高次項系數(shù)。

被插值函數(shù)y=f(x)，x0,x1,…,xn是被插值函數(shù)y=f(x)的n+1個互異的插值節(jié)點，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是插值函數(shù)y=f(x)在插值節(jié)點處的函數(shù)值。被插值函數(shù)y=個極點，用(j=1,2,…,s)表示,重數(shù)用vj(j=1,2,…,s)表示[15]，記

構(gòu)造連分式插值

滿足以下系數(shù)關(guān)系

由式（11）～（13）可得預(yù)給極點的連分式插值

2 保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法

被插值函數(shù)y=f(x)，x0,x1,…,xn是被插值函數(shù)y=f(x)的n+1個互異的插值節(jié)點，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)是被插值函數(shù)y=f(x)在插值節(jié)點的函數(shù)值，被插值函數(shù)y=f(x)曲線有水平漸近線y=L，即（L為已知實數(shù)），被插值函數(shù)y=f(x)曲線有極點(j=1,2,…,s)，即（為已知實數(shù)）。

由式（11）、（12）、（14），可得

使之滿足

式（15）中

易證明

當(dāng)n+1為偶數(shù)

當(dāng)n+1為奇數(shù)

由于xn+1未知，故無法通過逆差商公式計算bn+1=φ[x0,x1,…,xn+1]。由式（7）、（8）、（9）、（10）、（15）可得：

當(dāng)n+1為偶數(shù)

由上式（23）計算可得

當(dāng)n+1為奇數(shù)

由上式（25）計算可得

故保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值為:

當(dāng)n+1為偶數(shù)

當(dāng)n+1為奇數(shù)

3 存在唯一性證明

定理1設(shè)

式中，bk=φ[x0,x1,…,xk-1,xk]≠0,∞,k=0,1,…,n為函數(shù)y=f(x)在點x0,x1,…,xk-1,xk處的k階逆差商都存在且無不可達(dá)點，且bn+1≠0，則有

證明利用逆差商的定義可得

定理2有理插值問題（15）、（16）若存在解，則解是唯一的。

證明由式（15），設(shè)

是函數(shù)y=f(x)的另一個Thiele型插值連分式，，則有

因此

即

由式（29）可得

即可得

于是

唯一性即證。

4 誤差分析

定理3設(shè)插值節(jié)點{x0,x1,…,xn-1,xn}?(a,b)，y=f(x)在(a,b)上有n+1階的導(dǎo)數(shù)，若

證明設(shè)E(x)=f(x)Qn+1(x)-Pn+1(x)，則有rn+1(xi)=yi(i=0,1,…,n)，得

因此E[x0,x1,…xk]=0,k=0,1,…,n，E[x0,x1,…xk]表示函數(shù)E(x)在點x0,x1,…xk的k階差商。

利用Newton展開式可得

因此

同時

5 數(shù)值例子

證明由式（13）可得r*(x0)=1.479 454 72，r*(x1)=2.021 114 89，r*(x2)=2.632 510 29，r*(x3)=3.318002 91，r*(x4)=4.080 083 82，由式（21）可得m=2。

將以上數(shù)據(jù)代入式（26）可知

將b5代入保水平漸近線和垂直漸近線的連分式算法式（28），得

將式（30）化簡為有理函數(shù)，得

顯然

若使用傳統(tǒng)的Thiele型插值連分式，由式（1）可得

將式（32）化簡為有理函數(shù)，得

對被插值函數(shù)y=f(x)的圖像與插值函數(shù)r5(x)的函數(shù)圖像，如圖1所示。

圖1 插值函數(shù)與被插值函數(shù)圖

由圖1可知，保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值在逼近具有水平漸近線和極點的函數(shù)時具有較好的逼近效果，可以保持被插值函數(shù)的水平漸近線和垂直漸近線。

計算被插值函數(shù)y=f(x)與插值函數(shù)r5(x)、R4(x)在某些點處函數(shù)值差的絕對值，|f(x)-r5(x)|和|f(x)-R4(x)|的函數(shù)圖像，如圖2所示。

圖2 誤差函數(shù)圖

由圖2可知，保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值在逼近具有水平漸近線和極點的函數(shù)時相比于傳統(tǒng)的Thiele型連分式插值具有更小的誤差。

6 結(jié) 論

本文研究保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值問題，通過對每個插值函數(shù)值乘以一個確定的數(shù)和連分式的有理分式的分子多項式和分母多項式的最高次項系數(shù)存在的系數(shù)關(guān)系，構(gòu)建了保水平漸近線和垂直漸近線的連分式插值算法，證明了新算法的存在唯一性,給出了誤差分析并通過給出的數(shù)值例子證明了新算法的有效性。