讓數(shù)學(xué)思想方法根植于數(shù)學(xué)課堂*

段志貴

如果說“用詩意的語言感染學(xué)生”是語文教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的境界，那么，數(shù)學(xué)教師的重要責(zé)任就是“以深刻的思想啟迪學(xué)生”。［1］幫助學(xué)生感悟、理解并在真實(shí)問題解決中自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，已成為新時(shí)期發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本要求；加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)滲透，讓思想方法根植于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是我們優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒追求。

一、揭示數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的需要

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確提出教學(xué)要從學(xué)情出發(fā)，加強(qiáng)以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指向的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的核心素養(yǎng)培養(yǎng)，一般說來重在兩個(gè)方面，一是發(fā)展學(xué)生的理性思維，二是培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，而發(fā)展思維和培養(yǎng)能力又都依賴于數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)理解和靈活運(yùn)用。

（一）數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生理性思維生長的高級(jí)樣態(tài)

數(shù)學(xué)是思維創(chuàng)造的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)活動(dòng)則是思維創(chuàng)造的活動(dòng)，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在學(xué)習(xí)思維和思維再創(chuàng)造。從高階思維的角度看，數(shù)學(xué)思想方法指的是闡述數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展規(guī)律和內(nèi)在邏輯本質(zhì)的思維活動(dòng)。它是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)的、抽象的、概括的理性認(rèn)識(shí)產(chǎn)物，是構(gòu)建和整合各類數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系的“黏合劑”。它屬于理性知識(shí)，但又高于通常所說的理性知識(shí)；它作為一種高層次的思維形式，是抽象的，但又不失形象性內(nèi)涵；它讓思維更精準(zhǔn)地表達(dá)，更通透地展示。

滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生理性思維的有效途徑。與初中生大多處于經(jīng)驗(yàn)性思維階段不同，高中生的思維已具有初步的理論化特征，能夠運(yùn)用基本的理論來分析、綜合材料，建立起基本的辯證思維。高中生這一思維特點(diǎn)也為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透奠定了基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程中，我們可以根據(jù)需要選擇適切的時(shí)間或場景，啟發(fā)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察與思考，引領(lǐng)他們通過分析與比較、綜合與概括以及判斷與推理，準(zhǔn)確而有條理地表達(dá)自己的思想，掌握必備的數(shù)學(xué)思想方法，并通過數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)感悟，不斷提升思維的合理性、條理性、靈活性、敏捷性和創(chuàng)造性。

（二）數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生關(guān)鍵能力獲得的主要通道

數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其中很重要的一項(xiàng)是發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力。所謂關(guān)鍵能力，即是支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代要求的能力。它是發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)、培育核心價(jià)值所必須具備的能力基礎(chǔ)。［2］客觀地說，數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的形成，外顯性知識(shí)是主要來源，但數(shù)學(xué)思想方法等潛在的知識(shí)或思維方式也是數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力形成不可或缺的資源，它們深刻地影響著學(xué)生關(guān)鍵能力的形成和發(fā)展。

數(shù)學(xué)思想方法是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的概念框架。理解數(shù)學(xué)思想，就能在一個(gè)更高的層面上整體地審視基礎(chǔ)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展，厘清知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其本質(zhì)要素；掌握數(shù)學(xué)方法，就能從技能技巧訓(xùn)練升華為對(duì)通性通法的深刻體悟［3］，不斷提升解決真實(shí)問題的能力，從而形成適應(yīng)新時(shí)代社會(huì)發(fā)展需求的核心素養(yǎng)。

二、提煉數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容

為在教學(xué)中把數(shù)學(xué)思想方法的滲透落到實(shí)處，教師首先就要在教學(xué)設(shè)計(jì)上下功夫。教師應(yīng)基于不同的教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)提煉并合理篩選隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法。

（一）要注重?cái)?shù)學(xué)教材的閱讀，提煉數(shù)學(xué)思想方法

教材是開展教學(xué)設(shè)計(jì)的“根據(jù)地”。教材中幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)板塊都有著比較豐富的發(fā)生、發(fā)展史，其背后蘊(yùn)藏著許多深刻的數(shù)學(xué)思想方法。研讀高中數(shù)學(xué)教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，某一特定教學(xué)內(nèi)容可能同時(shí)蘊(yùn)含幾種不同的數(shù)學(xué)思想方法。例如“任意角”的教學(xué)，從內(nèi)容上看有正角、負(fù)角和零角，相關(guān)的還有象限角，貫穿其中的就有類比思想、特殊到一般思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。同一種數(shù)學(xué)思想方法也可能分布于不同學(xué)段、不同章節(jié)或不同的知識(shí)模塊之中。以“類比思想”為例，高、初中三角函數(shù)定義可以類比，立體幾何與平面幾何可以類比，等比數(shù)列與等差數(shù)列可以類比，還有雙曲線與橢圓類比，計(jì)數(shù)原理中的分類和分步類比等。

教師應(yīng)注重閱讀教材的教學(xué)設(shè)計(jì)，不依靠新奇的情境吸引學(xué)生眼球，而是通過對(duì)教材編寫意圖的揣摩與理解，把教學(xué)內(nèi)容放置于大單元的教學(xué)之中整體建構(gòu)，突顯思想方法的靈魂作用。數(shù)學(xué)教學(xué)不只是結(jié)論性知識(shí)的傳授，更重要的是要讓學(xué)生掌握其中的思想方法，比如數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊化、一般化、化歸、類比、歸納等思想方法。因此閱讀教材不能只讀概念、公式和定理，不能只解例題，而是要找出隱藏其中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法常常蘊(yùn)涵在基礎(chǔ)知識(shí)及其發(fā)生發(fā)展的過程之中，需要跨段落仔細(xì)品味或深度解讀，才能明白其中的道理。教師在鉆研教材、編制教學(xué)目標(biāo)時(shí)，一定要把隱性的思想方法挖掘出來，使其化“隱”為“顯”，有機(jī)地滲透在教學(xué)過程之中。以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修一“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)為例，可以緊扣數(shù)形結(jié)合思想把教學(xué)設(shè)計(jì)為相互銜接的三個(gè)階段：第一個(gè)階段，通過回顧揭示函數(shù)性質(zhì)的研究方法，幫助學(xué)生理解知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)；第二個(gè)階段，直觀展示正弦函數(shù)圖象的生成過程，通過問題串的形式層層深入，引領(lǐng)學(xué)生抽象概括出正弦函數(shù)性質(zhì)，使得學(xué)生對(duì)“形”的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步轉(zhuǎn)變到對(duì)“數(shù)”的挖掘；第三個(gè)階段，可以采用合作探究等方式深化對(duì)正弦函數(shù)性質(zhì)的理解，并基于類比獲得余弦函數(shù)的性質(zhì)，深化對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解。

（二）要梳理知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，篩選數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的篩選服務(wù)于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，服從于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的建構(gòu)過程。整個(gè)高中數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的和諧統(tǒng)一體。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能在更高層次上的抽象、概括與提煉，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)技能發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。為從教學(xué)內(nèi)容中甄別和優(yōu)選出課堂教學(xué)需要滲透并且能夠讓學(xué)生掌握的思想方法，教師課前必須理清知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，尤其是，要把課堂知識(shí)傳授的“明線”理順，輔以思想方法滲透“暗線”的設(shè)計(jì)，讓明、暗兩條線相輔相成，相得益彰。

大單元數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合，或者不同模塊甚至跨學(xué)科間知識(shí)關(guān)聯(lián)的梳理，本質(zhì)上就是知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建。它可以幫助學(xué)生更好地理清數(shù)學(xué)本質(zhì)，也能更易抓住問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)，還能給學(xué)生提供培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與概括能力的機(jī)會(huì)，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和理解。事實(shí)上，從中凝練篩選出來的數(shù)學(xué)思想方法具有統(tǒng)攝相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及其結(jié)構(gòu)體系的功能，有助于學(xué)生提升對(duì)問題的認(rèn)識(shí)高度以及問題解決的廣闊視野。以蘇教版必修二第十章“兩角和與差的余弦”的教學(xué)為例，教師可以把這一單元的相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，將化歸思想、“算兩次”思想以及基本的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法加以整合進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，一是串聯(lián)向量數(shù)量積運(yùn)算法則和兩點(diǎn)間距離公式，突出“算兩次”在兩角差余弦公式推導(dǎo)過程中的引領(lǐng)作用；二是通過余弦的差角公式推導(dǎo)余弦、正弦和角公式，加強(qiáng)化歸思想在三角變換中的滲透；三是啟發(fā)學(xué)生用余弦的和（差）角公式解決簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明問題，學(xué)會(huì)觀察與分析，掌握基本的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法。［4］

三、滲透數(shù)學(xué)思想方法是提高課堂教學(xué)活力的主線

數(shù)學(xué)思想方法的滲透是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活力的主線。一般說來，數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生于對(duì)焦點(diǎn)問題的思考之中，發(fā)展于對(duì)相關(guān)問題的研討之中，成熟于對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的反思和總結(jié)之中，鞏固于蘊(yùn)含同一數(shù)學(xué)思想方法的問題解決及訓(xùn)練之中。由此，注重知識(shí)傳授與思想方法滲透“明”“暗”兩條線的有機(jī)融合，把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)真正落到實(shí)處。

（一）通過情境創(chuàng)設(shè)，啟發(fā)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)思想方法

通過創(chuàng)設(shè)問題情境引領(lǐng)學(xué)習(xí)，不僅能生動(dòng)具體地反映知識(shí)建構(gòu)過程，也能充分展示理性思維的特點(diǎn)，同時(shí)更能幫助學(xué)生形成大概念，建構(gòu)大目標(biāo)，加深對(duì)真實(shí)問題更宏觀、更具概括性的認(rèn)知，促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和理解。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)一定要注重揭示相關(guān)概念或公式、定理產(chǎn)生的實(shí)際背景及其發(fā)展的來龍去脈，從中加強(qiáng)與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)建立有價(jià)值的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，以此幫助學(xué)生感悟、領(lǐng)會(huì)直至內(nèi)化為自覺的思想方法意識(shí)。在具體情境的創(chuàng)設(shè)上，教師要依據(jù)問題解決的難點(diǎn)恰當(dāng)?shù)匾l(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生對(duì)思想或方法探究的欲望。具體來說，可以采用有梯度和效度的問題進(jìn)行導(dǎo)入，使探究思路和過程自然、清晰，努力把學(xué)生對(duì)真實(shí)問題的觀察、思考及其對(duì)問題本質(zhì)的理解，上升到培養(yǎng)合乎邏輯的推理意識(shí)和思維品質(zhì)上來，促進(jìn)他們對(duì)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法的理解和感悟。

以蘇教版必修一第五章“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)的教學(xué)為例，在開始階段，教師不妨以當(dāng)?shù)啬程斓臍鉁刈兓瘓D為實(shí)例來創(chuàng)設(shè)情境，引領(lǐng)學(xué)生通過觀察氣溫隨時(shí)間變化圖，形成對(duì)“單調(diào)遞增”“單調(diào)遞減”的直觀理解，并能基于數(shù)學(xué)思維進(jìn)行思考，利用數(shù)學(xué)語言表達(dá)氣溫變化規(guī)律。［5］教學(xué)中通過數(shù)形結(jié)合思想的滲透，既能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又能幫助學(xué)生突破對(duì)函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格界定認(rèn)知上的困難，為后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的符號(hào)化、形式化學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）通過課堂研討，點(diǎn)撥學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的形成性生長，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，注重課堂教學(xué)對(duì)問題的研討過程，著意培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，逐漸發(fā)現(xiàn)和理解知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法。

課堂教學(xué)研討既有生長性和針對(duì)性特點(diǎn)，也能使數(shù)學(xué)教學(xué)過程更深刻地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法“再創(chuàng)造”的特點(diǎn)。以蘇教版必修一第七章“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學(xué)為例，教師可以從三角函數(shù)與一般函數(shù)的異同點(diǎn)入手，組織學(xué)生研討二次函數(shù)圖象變換規(guī)律。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行類比遷移，引導(dǎo)學(xué)生在交流討論中探索函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變換規(guī)律。在不同類型的三角函數(shù)圖象變換的探究中，滲透分而治之、各個(gè)擊破的分解策略，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變換的本質(zhì)特征，使學(xué)生在深入思考和互動(dòng)交流中獲得對(duì)數(shù)形結(jié)合、類比、特殊化、一般化以及演繹推理、合情推理等思想方法的經(jīng)歷體驗(yàn)和深度理解。

（三）通過整理概括，引領(lǐng)學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法

每節(jié)課、每個(gè)單元教學(xué)結(jié)束都應(yīng)有總結(jié)環(huán)節(jié)，甚至有的教學(xué)內(nèi)容還需要安排專門的復(fù)習(xí)課進(jìn)行總結(jié)。一般說來，小結(jié)除了對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理外，最重要的一項(xiàng)工作就是有目的、有意識(shí)、有重點(diǎn)地對(duì)教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法作系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化的概括和整理。

課堂教學(xué)中，概括數(shù)學(xué)思想方法一般可有兩種教學(xué)方式。一是“生成式”，通過知識(shí)講解，生成數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容、規(guī)律，即將數(shù)學(xué)對(duì)象共同屬性或關(guān)系漸次抽取出來；二是“強(qiáng)化式”，把數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)間聯(lián)系貫穿教學(xué)始終，即將闡明表達(dá)出來的共性（思想方法）逐步推廣到同類的全部對(duì)象上去，從而實(shí)現(xiàn)從個(gè)別特殊化的感知與體驗(yàn)上升到一般性意義上的理性認(rèn)識(shí)或符號(hào)表示。以蘇教版選擇性必修一的“直線與方程”的復(fù)習(xí)課教學(xué)為例，教師可以設(shè)計(jì)“以數(shù)學(xué)思想串聯(lián)知識(shí)體系”的教學(xué)。一方面，以復(fù)習(xí)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)為主線，滲透數(shù)學(xué)抽象化結(jié)構(gòu)思想——串聯(lián)研究對(duì)象（直線）、基本性質(zhì)（相關(guān)角、點(diǎn)、位置關(guān)系、距離等）、研究結(jié)論及其應(yīng)用，引領(lǐng)學(xué)生通過知識(shí)梳理，感悟數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象化結(jié)構(gòu)思想。另一方面，加強(qiáng)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，滲透數(shù)形結(jié)合思想——用二元一次方程表示直線、利用方程研究與直線有關(guān)性質(zhì)、通過數(shù)與形的結(jié)合解決相應(yīng)問題。顯然，后一種教學(xué)是在不斷強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的滲透和應(yīng)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)體驗(yàn)中不斷獲得檢驗(yàn)，逐步加深理解。

（四）通過問題解決，助力學(xué)生活用數(shù)學(xué)思想方法

基于問題解決的教學(xué)，本質(zhì)上就是在已知條件與待求結(jié)論之間實(shí)現(xiàn)聯(lián)結(jié)，據(jù)此不斷變換、逐步逼近并最終得以“無縫銜接”的過程。在這其中，數(shù)學(xué)思想方法居于支配地位，是問題解決的觀念性成果。它引領(lǐng)著問題解決，并貫穿于數(shù)學(xué)問題解決的全過程。不妨以2021 年高考數(shù)學(xué)浙江卷第17題的教學(xué)為例加以說明。

設(shè)計(jì)本題教學(xué)，教師一方面可以利用向量的幾何特征，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)向量運(yùn)算法則和向量投影作圖分析，把問題所給條件在數(shù)與形之間進(jìn)行自然轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生從中感悟數(shù)形結(jié)合的思想；另一方面，可以將已知條件代數(shù)化，再局部放縮消元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)輕松得解，讓學(xué)生體會(huì)化歸的思想；再一方面，可以基于已知條件，引領(lǐng)學(xué)生利用整體思想，直接套用柯西不等式，化繁為簡，快速求解。

任何陌生問題的解決，或許都需要嘗試以及嘗試過后的經(jīng)驗(yàn)作為輔助。然而嘗試和經(jīng)驗(yàn)只能算是技巧，只有高屋建瓴的思想方法才能讓我們找到問題解決的突破口。有經(jīng)驗(yàn)的教師指導(dǎo)學(xué)生解題，不會(huì)停留在某一具體題目上，也不會(huì)限于一招一式，而會(huì)通過一道例題的講解，讓學(xué)生收獲一類問題的解法，即掌握問題解決的通性通法。這些通性通法，就是對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是對(duì)問題解決內(nèi)在規(guī)律性的把握。它們不僅是解題方法，更是貫穿于問題解決過程中的理性思維。它們是數(shù)學(xué)思想方法的呈現(xiàn)方式與具體表征，理應(yīng)活學(xué)活用。

數(shù)學(xué)思想方法根植于數(shù)學(xué)課堂是教學(xué)內(nèi)在規(guī)律的體現(xiàn)，更是新時(shí)代培養(yǎng)學(xué)生理性思維、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的需要。誠如物理學(xué)家愛因斯坦所說，教育是一個(gè)人忘光學(xué)校所學(xué)的一切之后剩下的東西。數(shù)學(xué)思想方法正是數(shù)學(xué)教學(xué)需要留下的、讓每個(gè)人銘記于心的好東西。而當(dāng)下讓數(shù)學(xué)思想方法根植于課堂教學(xué)，正是這樣一件富有意義、值得追求的創(chuàng)造性工作。