利用Matlab軟件對一維薛定諤方程的動力學(xué)可視化教學(xué)*

劉 通 胡蓉蓉

(南京郵電大學(xué)理學(xué)院 江蘇 南京 210003)

1 引言

薛定諤方程是描述量子力學(xué)中粒子行為的基本方程之一,它描述了粒子的波函數(shù)隨時間的演化[1].盡管薛定諤方程本身并沒有直接給出粒子的位置或動量,但它提供了一個重要的數(shù)學(xué)框架,通過求解薛定諤方程可以獲得波函數(shù),從而獲得系統(tǒng)在時間和空間上的性質(zhì).

通過可視化方法,我們可以更直觀地了解薛定諤方程的含義和解法.對于簡單的系統(tǒng),如自由粒子、無限深勢阱或簡諧振子,薛定諤方程的解可以用數(shù)學(xué)上的函數(shù)表示[2].然而,對于更復(fù)雜的系統(tǒng),薛定諤方程通常需要通過數(shù)值方法來求解.薛定諤方程的可視化研究經(jīng)歷了從理論推導(dǎo)到數(shù)值計算再到計算機可視化的演進過程.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步,薛定諤方程的可視化方法也變得越來越多樣化和精確化,為研究人員提供了更好的工具和視覺化手段來探索和理解量子世界.

本文結(jié)合一維方勢壘模型的具體示例[3],利用Matlab仿真軟件提供的強大模擬功能,旨在通過圖像式直觀教學(xué)拓展課程的深度和廣度,并攻克知識難點和課程難點,以獲得正確的量子力學(xué)圖景.通過仿真軟件的支持,我們可以更加直觀地觀察和分析一維方勢壘模型的量子化行為[4].其次,通過Matlab仿真軟件,我們可以更新方勢壘模型的表達方式.學(xué)生可以靈活調(diào)整勢壘高度、寬度和形狀等參數(shù),并實時觀察波函數(shù)的變化.這種交互式的學(xué)習(xí)方式有助于學(xué)生深入理解勢壘對波函數(shù)的影響,加深對量子力學(xué)基本概念的理解.

在教學(xué)實踐中,基于Matlab仿真軟件的圖像式直觀教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極參與.通過展示具體的數(shù)值結(jié)果和動態(tài)演示,學(xué)生可以更好地理解量子力學(xué)的概念和原理,并將其應(yīng)用于實際問題的求解.此外,基于問題驅(qū)動的混合式課堂教學(xué)實踐可以進一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度.通過提出問題、討論分析和引導(dǎo)學(xué)生自主探索,可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和解決問題的能力.Matlab仿真軟件的使用為學(xué)生提供了實踐的機會,使他們能夠應(yīng)用所學(xué)的知識解決實際問題.

2 一維方勢壘

在一維方勢壘模型中,勢能函數(shù)為

(1)

這是一個粒子入射的模型,粒子從無限遠處入射來,遇到一個勢壘會發(fā)生透射或者反射,所以粒子的動量在右半空間處為+x方向,在左半空間既有-x方向,又有+x方向.粒子在兩邊空間的運動方程均為

(2)

所以波函數(shù)的解的形式均為

Ψ(x)=Aeik1x+Be-ik1x

(3)

其中

考慮到粒子動量的取向問題,可以直接給出波函數(shù)在兩側(cè)的解為

(4)

在勢壘區(qū)域-a

(5)

可以得到波函數(shù)的解為

Ψ(x)=Eek2x+Fe-k2x

(6)

其中

帶入邊界條件得

(7)

帶入k1、k2可得

(8)

可以發(fā)現(xiàn):R+T=1符合預(yù)期.

當E>V0時量子情況下運動方程為

(9)

則波函數(shù)的解為

Ψ(x)=Eeik2x+Fe-ik2x

(10)

其中

接下來帶入關(guān)系式sh(ik2a)=sin(ik2a),可得

(11)

3 Crank-Nicolson算法解一維薛定諤方程

3.1 Crank-Nicolson算法

Crank-Nicolson差分格式是由John Crank和Phyllis Nicolson于1947年提出的.他們發(fā)展了這種差分格式作為數(shù)值方法,用于解決拋物型偏微分方程.Crank-Nicolson差分格式結(jié)合了前向差分和后向差分兩種方法,以提供更好的數(shù)值穩(wěn)定性和精確性.這種差分格式在數(shù)值計算和科學(xué)工程領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用.

該算法基于隱式差分格式,使用了當前時間步和下一個時間步的平均值來估計方程的導(dǎo)數(shù).Crank-Nicolson算法的優(yōu)點是它是一個無條件穩(wěn)定的算法,可以處理一些數(shù)值上的穩(wěn)定性問題,并且在精度方面通常比顯式差分方法更好.它適用于各種線性和非線性偏微分方程.

3.2 Crank-Nicolson算法解一維薛定諤方程

在量子力學(xué)的許多理論或數(shù)值計算中,選用原子單位會更方便.因此在原子單位制下,薛定諤方程為

(12)

傳播子作用于波函數(shù)為

ψ(x,t+Δt)=exp(-iHΔt)ψ

(13)

用Crank-Nicolson得到的結(jié)果是

(14)

其中ψn是時刻tn的波函數(shù)列矢量(已知),ψn+1為時刻tn+1的波函數(shù)列矢量(未知),Hn是tn時刻的哈密頓矩陣.

但事實上,還可以繼續(xù)減少計算量,若近似認為Hn+1≈Hn,將上式整理后得

(15)

解這個方程,再減去ψn即可.對于等間距坐標網(wǎng)格x1,x2,…,可以用差分法計算二階導(dǎo)數(shù),表示為矩陣

(16)

現(xiàn)在若要求基態(tài),我們可以用虛數(shù)時間,即t′=

-it,使用虛時間后,兩公式變?yōu)?/p>

(17)

4 Matlab仿真結(jié)果與分析

我們采用Matlab來進行仿真,結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)方勢壘的含時概率圖描述了在一維有限深方勢壘中[6],粒子的概率隨時間和空間的變化.橫軸表示空間位置,縱軸表示波函數(shù),曲線表示粒子的概率或波函數(shù)的模值.通過在二維坐標系上繪制概率密度隨空間和時間的變化,可以觀察到粒子在不同位置和時間的出現(xiàn)概率.

圖1～5依次展示出t=2 s,t=6 s,t=10 s,t=14 s,t=18 s時的波函數(shù)的絕對值.

圖1 當t=2 s時波函數(shù)的絕對值

圖3 當t=10 s時波函數(shù)的絕對值

圖4 當t=14 s時波函數(shù)的絕對值

圖5 當t=18 s時波函數(shù)的絕對值

在可視化方勢壘的過程中,我們可以觀察到入射粒子的一部分以反射的方式返回原來的區(qū)域,從而形成反射現(xiàn)象.另一部分粒子則能夠穿越方勢壘,從勢壘的一側(cè)透射到另一側(cè)[7].在可視化方勢壘的過程中,我們還可以觀察到入射粒子的一部分即使能量低于勢壘的高度,仍然以某種概率穿過勢壘并出現(xiàn)在勢壘的另一側(cè)[8].

方勢壘可視化可以通過圖形方式將抽象的概念轉(zhuǎn)化為直觀的形象,使學(xué)生能夠更加清晰地理解粒子之間相互作用的過程和特征.這種直觀理解有助于學(xué)生建立起對概念的準確認知,提高學(xué)習(xí)效果.學(xué)生可以深入了解相互作用的本質(zhì)和機制.他們可以觀察粒子在方勢壘中的運動.這種深化的認識可以加深學(xué)生對科學(xué)原理的理解,并激發(fā)他們對科學(xué)研究的興趣.

方勢壘可視化呈現(xiàn)科學(xué)現(xiàn)象的過程和變化能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣.通過觀察和探索方勢壘的變化,學(xué)生可以體驗到科學(xué)的魅力,激發(fā)他們對進一步學(xué)習(xí)和探索的動力.

方勢壘可視化在教學(xué)中能夠提供直觀的學(xué)習(xí)工具,幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用科學(xué)概念,培養(yǎng)問題解決能力,激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情.這種可視化手段在科學(xué)教育中具有廣泛的應(yīng)用前景,并有助于提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

5 總結(jié)

本文利用Matlab仿真軟件的強大模擬功能,結(jié)合一維方勢壘模型的具體示例,通過圖像式直觀教學(xué)拓展課程深度和廣度,攻克知識難點和課程難點,從而獲得正確的量子力學(xué)圖景.基于問題驅(qū)動的混合式課堂教學(xué)實踐將進一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度,實現(xiàn)多元化教學(xué)目標.