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    從“感悟”到“論證”再到“應(yīng)用”

    2023-11-07 00:35:42浦夢(mèng)婷
    初中生世界 2023年38期
    關(guān)鍵詞:高線頂角平分線

    文/浦夢(mèng)婷

    “軸對(duì)稱圖形”是蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章內(nèi)容。初中階段幾何圖形有三大基本變化:平移、旋轉(zhuǎn)、翻折。下面,我們一起來了解本章的具體內(nèi)容。

    一、動(dòng)手操作,感悟概念

    本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容從“軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形”出發(fā),理解“軸對(duì)稱的性質(zhì)”,從而“設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案”,再將軸對(duì)稱中的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到“線段與角的軸對(duì)稱性”和“等腰三角形的軸對(duì)稱性”。先從生活實(shí)際出發(fā),找出生活中的軸對(duì)稱,再抽象到數(shù)學(xué)模型,感悟從特殊到一般。

    同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí),往往先觀察,形成初步了解。比如,研究等腰三角形的軸對(duì)稱性時(shí),很多同學(xué)通過觀察能夠得到“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形、頂角平分線是對(duì)稱軸”以及“等腰三角形兩底角相等”,除此以外很難再發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論。但是,通過將等腰三角形兩腰進(jìn)行折疊重合,我們就能夠得到“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(三線合一)”這個(gè)性質(zhì)。

    二、論證推理,明確概念

    在動(dòng)手操作的過程中,同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)有了基礎(chǔ)的感悟,但這也只能是“猜想”。在數(shù)學(xué)上,我們稱之為“定理”的,都必須要經(jīng)過嚴(yán)密的論證推理過程。

    例1如圖1,在等腰三角形ABC中,證明:等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合(三線合一)。

    圖1

    證明:(方法一)作AD平分∠BAC,

    ∴∠BAD=∠CAD。

    由題可得,AB=AC,AD=AD。

    在△ABD和△ACD中,

    ∴△ABD≌△ACD(SAS)。

    ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°。

    ∴AD是△ABC底邊上的高線、中線及頂角平分線。

    (方法二)取BC中點(diǎn)D,連接AD。通過“SSS”可證△ABD≌△ACD,從而得到AD⊥BC,AD平分∠BAC。

    (方法三)作AD⊥BC,通過“HL”可證Rt△ABD≌Rt△ACD,從而得到AD平分∠BAC,BD=CD。

    通過上述論證的過程,我們利用全等三角形的證明,將數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)在一起,增加知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系,感受到數(shù)學(xué)的樂趣。

    三、應(yīng)用知識(shí),提升能力

    以一道典型題及解法作為根本,我們?cè)偕钊胙芯亢陀懻撈渌}。在應(yīng)用知識(shí)的過程中,我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)規(guī)律的揭示、解題策略的優(yōu)化、合情推理與演繹推理的融合,目的是利用圖式啟智,探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。

    例2如圖2,在△ABC中,AB=AC,D為線段BC上一點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,且DE=DF,求證:BD=CD。

    圖2

    證明:連接AD。

    ∵DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,

    ∴∠BAD=∠CAD。

    又∵AB=AC,

    ∴BD=CD。

    本題將“軸對(duì)稱圖形”中的知識(shí)點(diǎn)融合,包含了“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”和“等腰三角形三線合一”兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。同學(xué)們也可嘗試通過全等證明,對(duì)比兩種方法,選擇適合自己的方法。

    數(shù)學(xué)知識(shí)層層遞進(jìn),新老知識(shí)聯(lián)系緊密。因此,我們要學(xué)會(huì)推理,不斷思考,才能提升數(shù)學(xué)能力。

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