基于二維Park 模型的風(fēng)場尾流疊加方法

李乾，李華祥，朱敏，張日葵，周文韜

(1.南方科技大學(xué)嘉興研究院，浙江 嘉興 314000；2.深圳十灃科技有限公司，廣東 深圳 518000)

0 引 言

無論是能源資源儲量，還是生態(tài)環(huán)境承載力，我國已經(jīng)達(dá)到或者接近上限，加速改善能源結(jié)構(gòu)，提高清潔能源和可再生能源的使用比例已經(jīng)迫在眉睫[1]。風(fēng)能作為可再生清潔能源的一種，因其高效、可靠、可持續(xù)、可預(yù)測且具有成本競爭力的特性，而成為較有前途的化石能源替代能源之一。目前中國是世界風(fēng)力發(fā)電的領(lǐng)頭羊，風(fēng)電裝機(jī)容量已超過344 兆瓦[2]。

然而，隨著風(fēng)能領(lǐng)域的迅速發(fā)展，風(fēng)機(jī)尺寸、機(jī)組規(guī)模也日益增大，風(fēng)電機(jī)組尾流造成的嚴(yán)重后果日益凸顯，特別是在大型風(fēng)電場和風(fēng)電基地中，如丹麥 Horns Rev 風(fēng)電場內(nèi)某些機(jī)組因尾流造成的年發(fā)電量損失高達(dá)90%以上[3]。因此，風(fēng)力機(jī)尾流成為了風(fēng)電領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和前沿問題，受到了學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注。

尾流是指風(fēng)經(jīng)過風(fēng)輪后產(chǎn)生的連續(xù)切向旋渦。大部分風(fēng)電機(jī)組處于上游機(jī)組的尾流中，尾流區(qū)風(fēng)速降低，湍流度增加[4]。解析尾流模型計(jì)算效率高，操作簡易，從而被廣泛應(yīng)用，是風(fēng)資源仿真應(yīng)用中主要的尾流模型。然而，目前關(guān)于解析尾流的研究大多集中于尾流模型本身，重點(diǎn)關(guān)注單臺風(fēng)機(jī)的尾流影響，對于多臺風(fēng)機(jī)間尾流疊加效應(yīng)的綜合影響，風(fēng)機(jī)群對風(fēng)場的綜合影響，相關(guān)研究則較為薄弱。因此，本文將結(jié)合前人多風(fēng)機(jī)尾流疊加的經(jīng)驗(yàn)，基于風(fēng)機(jī)尾流對于風(fēng)場的影響，構(gòu)建適用于二維尾流模型的風(fēng)場尾流疊加方法，以為其他研究者提供參考。

1 Park 尾流模型

1.1 風(fēng)機(jī)尾流特性

在風(fēng)力機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，其上下游流動(dòng)可以大致劃分為三個(gè)區(qū)域：上游誘導(dǎo)區(qū)、近場尾流區(qū)、遠(yuǎn)場尾流區(qū)[5]。基于風(fēng)機(jī)上下游流動(dòng)特征，Jensen 于1983 年提出Park 尾流模型[6]。Park 尾流模型是最初的解析尾流模型，其提出的頂帽分布（top-hat distribution）假設(shè)是解析尾流模型的基礎(chǔ)。頂帽分布的示意圖如下。

圖1 頂帽分布示意圖

由于實(shí)際風(fēng)電場中機(jī)組之間一般相距7～8 倍風(fēng)輪直徑，且近場尾流的流動(dòng)細(xì)節(jié)對遠(yuǎn)場尾流影響不大，因此解析尾流模型中會忽略壓力恢復(fù)區(qū)的演化距離和膨脹，使用簡化后的頂帽分布模型。

1.2 1D-Park 尾流模型

1D-Park 尾流模型[6]基于風(fēng)輪軸向動(dòng)量守恒推導(dǎo)，其風(fēng)速虧損率表達(dá)式如下：

式中：Δu為虧損速度；U∞為來流速度；CT為風(fēng)機(jī)的推力系數(shù)；kw為尾流膨脹（衰減）系數(shù)；x為風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與風(fēng)機(jī)在來流風(fēng)向上的投影距離；rw為尾流半徑；r0為風(fēng)機(jī)半徑。

1.3 2D-Park 尾流模型

Park 尾流模型主要考慮了風(fēng)輪軸向上的動(dòng)量守恒，屬于1D 尾流模型。為滿足真實(shí)流場中，徑向尾流速度虧損率服從高斯分布的條件，2D-Park 尾流模型被提出，其表達(dá)式如下[1]。

式中：Δu為虧損速度；A為因風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與風(fēng)機(jī)在來流風(fēng)向上投影距離造成的風(fēng)速虧損；G為因風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與來流風(fēng)向方向上垂直距離產(chǎn)生的風(fēng)速恢復(fù)；x為風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與風(fēng)機(jī)在來流風(fēng)向上的投影距離；r為風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與來流風(fēng)向方向上的垂直距離；U∞為來流風(fēng)速；rw為尾流半徑；σ為高斯速度損失面的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 尾流疊加方法

2.1 經(jīng)典尾流疊加方法

在經(jīng)典尾流疊加方法中，通常假定在風(fēng)電場內(nèi)，相鄰風(fēng)力機(jī)之間的間距大、尾流干擾弱，因此在計(jì)算孤立風(fēng)力機(jī)尾流時(shí)，每個(gè)風(fēng)力機(jī)輪轂處的平均風(fēng)速都可以近似為自由來流速度。疊加時(shí)主要關(guān)注風(fēng)機(jī)間的尾流疊加，僅考慮兩種狀態(tài)，風(fēng)機(jī)群位于風(fēng)場前以及風(fēng)機(jī)群位于風(fēng)場后。風(fēng)場中的尾流效應(yīng)的疊加，可以視作單臺風(fēng)機(jī)位于風(fēng)場時(shí)產(chǎn)生尾流效應(yīng)的疊加，具體疊加方式主要有5 種，包括幾何疊加[7]、線性疊加[7]、能量平衡[8]、平方疊加[8]、取最小值[9]，5 種疊加方法的表達(dá)式如下：

a)幾何疊加

b)線性疊加

c)能量平衡

d)平方疊加

e)取最小值

式中：vj為j號風(fēng)機(jī)受到尾流前的風(fēng)速；vwj為j號風(fēng)機(jī)受到所有風(fēng)機(jī)尾流后的風(fēng)速；vi-wj為僅當(dāng)i號風(fēng)機(jī)存在時(shí)，j號風(fēng)機(jī)受到尾流后的風(fēng)速，該值由尾流模型計(jì)算。

目前，針對不同的風(fēng)場，各經(jīng)典尾流疊加方法的模擬結(jié)果往往各有優(yōu)劣，有時(shí)可能均無法正確表征現(xiàn)場實(shí)測功率衰減變化規(guī)律[8]。在經(jīng)典尾流疊加方法中，風(fēng)場任意點(diǎn)位的尾流損失，通?？梢杂擅總€(gè)風(fēng)機(jī)在該處的虧損進(jìn)行線性疊加來獲得，或者取虧損最大值。

2.2 風(fēng)場尾流疊加方法

基于二維Park 模型的風(fēng)場尾流疊加方法主要包含兩個(gè)部分：風(fēng)場尾流疊加方法和風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損模型。區(qū)別于關(guān)注風(fēng)機(jī)間的尾流疊加的經(jīng)典尾流疊加方法，風(fēng)場尾流疊加方法考慮了風(fēng)機(jī)群和風(fēng)場耦合作用。該方法將風(fēng)機(jī)群視作具有上下游關(guān)系的若干臺風(fēng)機(jī)，當(dāng)上游風(fēng)機(jī)置入風(fēng)場時(shí)，其會與風(fēng)場發(fā)生作用，風(fēng)場的風(fēng)資源條件會發(fā)生改變，下游風(fēng)機(jī)相當(dāng)于放置在考慮上游風(fēng)機(jī)尾流影響后的新風(fēng)場中。

風(fēng)場尾流疊加方法的計(jì)算大致可分為以下四個(gè)步驟：

a)上下游關(guān)系確定

以來流風(fēng)向α（測風(fēng)塔處的風(fēng)速方向或所有風(fēng)機(jī)平均的風(fēng)速方向）對風(fēng)機(jī)進(jìn)行排序，確定風(fēng)機(jī)間的上下游關(guān)系。

式中： 為風(fēng)機(jī)的坐標(biāo)方向，s越小表示越上游。

b)風(fēng)機(jī)尾流虧損計(jì)算

計(jì)算當(dāng)前風(fēng)場條件下，單臺風(fēng)機(jī)產(chǎn)生的尾流虧損。

式中：Δvw為風(fēng)機(jī)尾流產(chǎn)生的速度虧損；F2D-Park為2D-Park 尾流模型的作用，該作用與風(fēng)機(jī)輸入的風(fēng)速 以及目標(biāo)點(diǎn)位置和風(fēng)機(jī)位置 的坐標(biāo)差有關(guān)。

c)尾流虧損疊加，將風(fēng)速虧損Δvw與風(fēng)場風(fēng)速 進(jìn)行疊加，計(jì)算上游風(fēng)機(jī)影響后的新風(fēng)場風(fēng)速。

d)循環(huán)步驟b)至步驟c)，直至所有風(fēng)機(jī)產(chǎn)生的尾流虧損疊加完成。

2.3 風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損模型

經(jīng)典尾流疊加方法主要基于早期的一維尾流模型提出，通常使用下游風(fēng)機(jī)輪轂高度處的風(fēng)速虧損，代替整個(gè)盤面的風(fēng)速虧損。雖然這種方式在計(jì)算上會比較簡易，但是，最新大量研究表明風(fēng)機(jī)的尾流虧損基本滿足高斯分布，僅使用輪轂高度處的風(fēng)速作為虧損的平均值進(jìn)行計(jì)算可能存在誤差。因此，本文綜合考慮有無尾流時(shí)下游風(fēng)機(jī)盤面上的風(fēng)速分布特征，提出了風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損模型。該模型以風(fēng)機(jī)盤面的平均風(fēng)速虧損代替風(fēng)機(jī)輪轂高度處的風(fēng)速虧損。

在自然條件下，風(fēng)速分布大多可以用風(fēng)廓線模型[10]進(jìn)行近似。因此，在受到尾流之前，風(fēng)機(jī)盤面平均風(fēng)速vM和輪轂高度處風(fēng)速vH的比值η1如下：

式中：S為盤面的面積；h為盤面上任意一點(diǎn)的高度；hH為輪轂的高度；α為風(fēng)切變；R為風(fēng)機(jī)半徑；ρ為極坐標(biāo)的長度值；θ為極坐標(biāo)的弧度值，π為圓周率。

參考麥克勞林公式[11]，保留3 階無窮小，記

可得

由于α通常小于1，因此vM小于vH，以半徑50m，輪轂高度80m 的風(fēng)機(jī)為例，當(dāng)風(fēng)切變α為0.1時(shí)，vM≈ 0.9956vH。因此，對于自然來流的風(fēng)速，可以直接用輪轂高度處的風(fēng)速近似，或使用η1進(jìn)行校正。

當(dāng)上游風(fēng)機(jī)產(chǎn)生尾流時(shí)，如果下游風(fēng)機(jī)位于上游風(fēng)機(jī)的尾流區(qū)域，下游風(fēng)機(jī)會受到尾流影響，尾流交界面如下圖所示。

記風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損比例為ηW。在經(jīng)典疊加方法中，通常使用輪轂高度處的尾流虧損，或者該虧損與上游風(fēng)機(jī)造成的尾流盤面與下游風(fēng)機(jī)盤面的交界面面積與下游風(fēng)機(jī)盤面面積比值的乘積作為風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損比例。記該經(jīng)典疊加方法的尾流虧損比例為ηWH：

式中：ΩI為上游風(fēng)機(jī)造成的尾流盤面與下游風(fēng)機(jī)盤面的交界面；S1為上游風(fēng)機(jī)尾流盤面的面積；S2為下游風(fēng)機(jī)盤面的面積；A為因風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與風(fēng)機(jī)在來流風(fēng)向上投影距離造成的風(fēng)速虧損；G為因風(fēng)機(jī)下游點(diǎn)與來流風(fēng)向方向上垂直距離產(chǎn)生的風(fēng)速恢復(fù)；x1-2為下游風(fēng)機(jī)輪轂與上游風(fēng)機(jī)輪轂在上游風(fēng)機(jī)風(fēng)速方向上的投影距離；sr為下游風(fēng)機(jī)輪轂與上游風(fēng)機(jī)輪轂在上游風(fēng)機(jī)風(fēng)速方向上的垂直距離。

本文提出了一種風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損模型，該模型以盤面上的平均尾流虧損比例ηWM作為風(fēng)機(jī)盤面虧損。在2D-Park 尾流模型中，對于下游風(fēng)機(jī)，其受到上游風(fēng)機(jī)作用下的尾流虧損比例ηWM的計(jì)算公式如下：

式中：y為以O(shè)1為原點(diǎn)；O1O2為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)值；z為以O(shè)1為原點(diǎn)，垂直O(jiān)1O2為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)值，如圖2 所示；r1為上游風(fēng)機(jī)尾流盤面的半徑；r2為下游風(fēng)機(jī)盤面的半徑。

圖2 尾流交界面

由于該積分的計(jì)算過程較為復(fù)雜，在此，本文提出了一種簡化的計(jì)算方法，通過構(gòu)建Heaviside 函數(shù)[12]，以離散化的方式計(jì)算尾流虧損比例ηWM，該計(jì)算公式如下。

式中： 為空間點(diǎn)與上游風(fēng)機(jī)尾流盤面的符號距離（內(nèi)正外負(fù)）； 為空間點(diǎn)與下游風(fēng)機(jī)盤面的符號距離（內(nèi)正外負(fù)）。以A=1、r1=50、r2=40為例，不同sr時(shí)，三種方法的計(jì)算結(jié)果如下。

如圖3 所示，簡化方法能夠較為精確的求解ηWM，而經(jīng)典方法計(jì)算的求解則與精確解存在較大的偏差，且計(jì)算結(jié)果會在sr較小時(shí)偏大而在sr較大時(shí)偏小。

圖3 盤面虧損結(jié)果對比

圖4 雙風(fēng)機(jī)尾流干擾

圖5 A9-2 下游 2D 距離處的風(fēng)速

圖6 A9-2 下游 3D 距離處的風(fēng)速

圖7 Horns Rev 海上風(fēng)電場布局

3 案例分析

3.1 石人風(fēng)電場實(shí)驗(yàn)

石人風(fēng)電場位于河北省，其中風(fēng)力機(jī) A1-4和A9-2 串聯(lián)。劉智益等[13]采用多普勒激光測風(fēng)雷達(dá)對該兩臺風(fēng)機(jī)進(jìn)行了相關(guān)的測風(fēng)實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為充分，能夠直接反映尾流疊加效應(yīng)的機(jī)理。本文以石人風(fēng)電場實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[13]作為輸入，該實(shí)驗(yàn)中含有兩臺風(fēng)機(jī)A1-4 和A9-2，兩風(fēng)機(jī)的輪轂絕對高度均為1865.6m，風(fēng)機(jī)直徑D均為77m，湍流強(qiáng)度均為0.082311，風(fēng)速均為7.92m/s，推力系數(shù)分別為0.777、0.892，風(fēng)機(jī)間距離為6.419D，如下圖所示。

該案例3 種尾流疊加方法的計(jì)算結(jié)果如下（Park 模型中需要考慮湍流修正，kw取0.195）。

各疊加方法與實(shí)測數(shù)據(jù)的偏差ε計(jì)算公式如下。

式中：vCAL為模型計(jì)算結(jié)果；vM為實(shí)測結(jié)果；i為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的編號；m為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總數(shù)。各疊加方法與實(shí)測數(shù)據(jù)的偏差ε計(jì)算結(jié)果如下表所示。（計(jì)算時(shí)已剔除大于來流風(fēng)速的實(shí)測數(shù)據(jù)）

表1 偏差計(jì)算結(jié)果

由上述圖表可知，由于考慮了尾流疊加影響，本文模型計(jì)算的尾流損失比經(jīng)典模型取最大值方式計(jì)算的尾流損失要高。同時(shí)，由于考慮風(fēng)機(jī)盤面與尾流盤面的關(guān)系影響，本文模型計(jì)算的尾流損失要比經(jīng)典模型線性疊加方式計(jì)算的尾流損失要低。整體上，本文模型的尾流計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量的尾流結(jié)果更為吻合。

3.2 Horns Rev 海上風(fēng)電場

Horns Rev 海上風(fēng)電場位于丹麥東北海域，離岸距離約15 km，由 80 臺維斯塔斯公司V-80-2MW 型風(fēng)機(jī)組成，水平方向風(fēng)機(jī)的間距為7D，風(fēng)機(jī)的輪轂高度為70m，風(fēng)機(jī)直徑為80m。該風(fēng)電場風(fēng)機(jī)布局[14]如下。

在此本文主要分析了270°來流風(fēng)向，來流風(fēng)速為8m/s，推力系數(shù)為0.8 條件下，G 行前8 臺風(fēng)機(jī)尾流前后的功率比值ηi。

式中：i為風(fēng)機(jī)的編號；PW為考慮尾流后的風(fēng)機(jī)功率，P為考慮尾流前的風(fēng)機(jī)功率，各方法功率預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果對比如下。（圖中實(shí)測數(shù)據(jù)和LES 模擬結(jié)果均來自Shayan 等[15]的論文。）

如圖8 所示，本文提出的風(fēng)場尾流疊加方法結(jié)果更為準(zhǔn)確，能夠較為準(zhǔn)確地反映多臺風(fēng)機(jī)并存時(shí)不同風(fēng)機(jī)間的干擾作用。通過提出風(fēng)機(jī)盤面尾流疊加方法，減少了下游風(fēng)機(jī)在上游風(fēng)機(jī)中心時(shí)，可能存在的尾流損失過度估計(jì)，進(jìn)一步提高了預(yù)測精度。

圖8 功率預(yù)測比較

6 結(jié)論

為充分考慮風(fēng)機(jī)群中多臺風(fēng)機(jī)間的干擾作用，構(gòu)造出精確的尾流疊加方法，本文基于風(fēng)機(jī)上下游關(guān)系，綜合考慮風(fēng)場與風(fēng)機(jī)間的相互影響，提出了風(fēng)場尾流疊加方法?；诙S尾流模型高斯分布的特征，提出了風(fēng)機(jī)盤面尾流虧損模型以及相應(yīng)的盤面風(fēng)速虧損簡化計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上提出了基于二維Park 模型的風(fēng)場尾流疊加方法。使用該方法對河北石人風(fēng)電場和HornsRev丹麥海上風(fēng)電場進(jìn)行尾流預(yù)測，結(jié)果表明：

1)本文疊加方法可以較好地預(yù)測風(fēng)場中的尾流損失，且預(yù)測結(jié)果相較于經(jīng)典方法更為精確。

2)相較于直接使用風(fēng)機(jī)輪轂高度的風(fēng)速虧損，通過積分的方式計(jì)算風(fēng)機(jī)盤面上的風(fēng)速虧損更為精確。

3)考慮上游風(fēng)機(jī)對下游風(fēng)機(jī)尾流前輸入風(fēng)速的影響，可以更加精確地描述風(fēng)機(jī)群間多臺風(fēng)機(jī)的干涉作用。