基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制

王玉昊，孫銳鵬，時(shí)艷強(qiáng)，曹路，吳浩

(1.浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.國(guó)家電網(wǎng)有限公司華東分部，上海 200120)

0 引 言

電力系統(tǒng)中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的主要研究?jī)?nèi)容是持續(xù)時(shí)間在數(shù)十秒到數(shù)分鐘內(nèi)，電壓的慢動(dòng)態(tài)發(fā)展過(guò)程[1]。在此過(guò)程中，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)電壓下降或電壓崩潰的情況。為了避免上述情況的發(fā)生，需采取一些控制措施改善系統(tǒng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)水平。目前，已有學(xué)者對(duì)此展開(kāi)相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2]提出利用儲(chǔ)能裝置調(diào)節(jié)電網(wǎng)電壓的方法，在新能源機(jī)組供電能力不足的情況下，通過(guò)增加儲(chǔ)能裝置的輸出來(lái)提高電網(wǎng)的電壓支撐能力。文獻(xiàn)[3]基于有載調(diào)壓變壓器，通過(guò)改變變壓器變比來(lái)改善系統(tǒng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)水平。針對(duì)配電系統(tǒng)在故障發(fā)生后，系統(tǒng)電壓恢復(fù)的問(wèn)題，文獻(xiàn)[4]采用改變電容器/電抗器投切量的方法，來(lái)提高配電系統(tǒng)的電壓動(dòng)態(tài)水平。

僅靠上述這些措施的調(diào)節(jié)能力，在某些情況下，難以滿足中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的控制需求，而是需要對(duì)負(fù)荷施加控制?，F(xiàn)有的研究表明：負(fù)荷的控制方式主要分為兩種，直接切負(fù)荷控制與負(fù)荷的需求響應(yīng)[5]。相比于被動(dòng)的切負(fù)荷，需求響應(yīng)能讓負(fù)荷主動(dòng)地參與到電網(wǎng)的電壓控制之中[6]，把需求側(cè)的可控資源作為供給側(cè)的替代資源，以此滿足電網(wǎng)電壓動(dòng)態(tài)的控制需求。

需求響應(yīng)是指在一定補(bǔ)償機(jī)制下，電網(wǎng)公司與用戶簽訂經(jīng)濟(jì)合同或協(xié)議后，需求側(cè)負(fù)荷參與電網(wǎng)控制的一種方式[5]。由于負(fù)荷需求響應(yīng)的時(shí)間尺度為數(shù)秒到數(shù)分鐘之間，與中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)過(guò)程存在交集，因此，可以將負(fù)荷的需求響應(yīng)引入到中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的控制之中。在電力系統(tǒng)發(fā)生故障之后，電力用戶可通過(guò)需求響應(yīng)的方式，使負(fù)荷呈現(xiàn)出“柔性特征”，并以此方式調(diào)整一部分負(fù)荷的用電狀態(tài)，改善系統(tǒng)的電壓動(dòng)態(tài)水平[7]。對(duì)此，有必要綜合考慮中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)、需求響應(yīng)特性和負(fù)荷控制成本[8]，優(yōu)化求解出中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的最優(yōu)控制策略。

然而，構(gòu)成優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)方程中包含了描述中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)過(guò)程的微分方程。電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題的常見(jiàn)求解方法，例如混合規(guī)劃法、內(nèi)點(diǎn)法、粒子群算法等[9]，都難以對(duì)包含微分方程的優(yōu)化模型進(jìn)行求解。為了化簡(jiǎn)含有微分方程的優(yōu)化模型，考慮用一個(gè)顯式代數(shù)多項(xiàng)式近似表示出描述中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)過(guò)程的微分方程，并基于該多項(xiàng)式，將優(yōu)化模型化簡(jiǎn)成僅含代數(shù)方程的非線性規(guī)劃模型，最后用非線性規(guī)劃法求解。

多項(xiàng)式逼近方法是一種求解上述顯式代數(shù)多項(xiàng)式的常用方法。多項(xiàng)式逼近方法認(rèn)為，任意的連續(xù)函數(shù)均可被有限階次的多項(xiàng)式在誤差范圍內(nèi)近似地表示出來(lái)[10]。多項(xiàng)式逼近的基本思想是利用多項(xiàng)式基函數(shù)與多項(xiàng)式系數(shù)的線性組合來(lái)近似描述可控變量與系統(tǒng)變量之間的函數(shù)關(guān)系[10]。多項(xiàng)式基函數(shù)一般為一組正交多項(xiàng)式，如勒讓德多項(xiàng)式。多項(xiàng)式系數(shù)常見(jiàn)的計(jì)算方法包括最小二乘法、配點(diǎn)法和伽遼金法[11]。目前，多項(xiàng)式逼近方法已被成功應(yīng)用于電力系統(tǒng)靜態(tài)、暫態(tài)和中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定性分析中[12]。

本文提出了基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制方法。首先建立了基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化控制模型。之后，利用多項(xiàng)式逼近方法求解出描述負(fù)荷可控變量與中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡之間函數(shù)關(guān)系的顯式多項(xiàng)式，并基于此多項(xiàng)式將含有微分方程的優(yōu)化模型化簡(jiǎn)成了僅含代數(shù)方程的非線性規(guī)劃模型。最后，利用非線性規(guī)劃法求解出中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的最優(yōu)控制策略。

1 基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化控制模型

1.1 負(fù)荷的需求響應(yīng)特性

負(fù)荷的需求響應(yīng)特性主要表現(xiàn)為：負(fù)荷的需求響應(yīng)過(guò)程不會(huì)在一瞬間內(nèi)完成，而是從接受指令時(shí)刻起，響應(yīng)過(guò)程將持續(xù)數(shù)秒乃至數(shù)分鐘。在此過(guò)程期間，負(fù)荷的響應(yīng)量會(huì)隨著時(shí)間緩慢增長(zhǎng)，可近似用一階系統(tǒng)的響應(yīng)特性來(lái)描述。據(jù)此，需求響應(yīng)中的負(fù)荷響應(yīng)量隨時(shí)間變化的函數(shù)可被描述為[13]：

式中：ΔPL(t)為負(fù)荷的響應(yīng)量，PL0為負(fù)荷功率初始值，βL為參與需求響應(yīng)的負(fù)荷比例，ε(t)為階躍函數(shù)，TL為負(fù)荷需求響應(yīng)起始時(shí)刻，λ 為負(fù)荷需求響應(yīng)的一階時(shí)間常數(shù)。

圖1 展示了3 個(gè)λ 取值下，ΔPL(t)的變化情況。顯然，根據(jù)需求響應(yīng)特性所表示的函數(shù)，到TL后的λ 時(shí)刻，負(fù)荷的響應(yīng)量均為63.2%。

圖1 負(fù)荷的需求響應(yīng)特性

1.2 中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的多目標(biāo)優(yōu)化控制模型

1.2.1 目標(biāo)函數(shù)

在電力系統(tǒng)故障發(fā)生后，若通過(guò)增加無(wú)功補(bǔ)償或調(diào)節(jié)變壓器分接頭仍不能滿足中長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)的需求，則可采用需求響應(yīng)的方式控制系統(tǒng)中的負(fù)荷，提高系統(tǒng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)水平。因此，基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化控制模型的目標(biāo)是通過(guò)對(duì)需求側(cè)負(fù)荷的控制、最大化降低負(fù)荷的控制成本并最大化提高中長(zhǎng)期電壓質(zhì)量。據(jù)此，模型的目標(biāo)函數(shù)可描述為：

式中：n表示系統(tǒng)內(nèi)參與控制的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)總數(shù)；βL,i為節(jié)點(diǎn)i處的負(fù)荷響應(yīng)比例；Ui0為節(jié)點(diǎn)i處的參考電壓；tb為中長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)過(guò)程的終止時(shí)刻 ；Ui(t;p)為節(jié)點(diǎn)i在tb時(shí)刻處的實(shí)際電壓；p是負(fù)荷可控變量所組成的向量，包含TL與βL；w1與w2為權(quán)重系數(shù)值[14]。

由式(2)可見(jiàn)，目標(biāo)函數(shù)由兩個(gè)部分組成，前一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，現(xiàn)稱為目標(biāo)函數(shù)1，表示用負(fù)荷的響應(yīng)比例來(lái)衡量的控制成本；后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，現(xiàn)稱為目標(biāo)函數(shù)2，表示用負(fù)荷節(jié)點(diǎn)處的電壓偏差來(lái)衡量的中長(zhǎng)期電壓質(zhì)量。

1.2.2 約束條件

基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化控制模型的約束條件包括中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型所描述的等式約束、中長(zhǎng)期電壓安全穩(wěn)定約束以及可控變量的范圍約束[15]。

1)中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型所描述的等式約束

由文獻(xiàn)[16]提出電力系統(tǒng)中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型反映出的基本思想是，描述系統(tǒng)暫態(tài)快動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程用其平衡點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)方程所代替，同時(shí)保留與描述系統(tǒng)中長(zhǎng)期慢動(dòng)態(tài)過(guò)程相關(guān)的動(dòng)態(tài)方程[17]。因此，構(gòu)成中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型的方程是由描述快動(dòng)態(tài)過(guò)程的平衡方程與描述慢動(dòng)態(tài)過(guò)程的方程所組成的，如式(3)所示，可被表示成為一組微分-代數(shù)-離散方程[16-17]。

式中：x系統(tǒng)中與快動(dòng)態(tài)過(guò)程相關(guān)的狀態(tài)變量，如發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速、功角、勵(lì)磁電壓等；y為系統(tǒng)中的代數(shù)變量，如系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓、相角、節(jié)點(diǎn)注入功率等；zc為系統(tǒng)中與慢動(dòng)態(tài)過(guò)程相關(guān)的連續(xù)狀態(tài)變量，如自恢復(fù)負(fù)荷的負(fù)荷恢復(fù)量；zd為系統(tǒng)中與離散切換過(guò)程相關(guān)的離散狀態(tài)變量，如有載調(diào)壓變壓器動(dòng)作、過(guò)勵(lì)限制器動(dòng)作等；f表示描述快動(dòng)態(tài)過(guò)程微分方程的平衡形式；g表示以系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)方程為主的代數(shù)方程；hc表示描述慢動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程；hd表示描述慢動(dòng)態(tài)過(guò)程的離散方程。

電力系統(tǒng)中長(zhǎng)期準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型主要包括自恢復(fù)負(fù)荷、有載調(diào)壓變壓器、過(guò)勵(lì)限制器，各元件的詳細(xì)模型分述如下：

①自恢復(fù)負(fù)荷

負(fù)荷的自恢復(fù)特性是指，當(dāng)系統(tǒng)受到某種擾動(dòng)導(dǎo)致電壓下降時(shí)，負(fù)荷功率會(huì)隨著電壓的降低而瞬間減小，之后負(fù)荷將逐漸恢復(fù)到與該負(fù)荷節(jié)點(diǎn)處電壓相匹配的功率值。自恢復(fù)負(fù)荷的有功功率模型如式(4)所示[18]：

式中：P0、PL為負(fù)荷初始與實(shí)際的有功功率；Pr為負(fù)荷功率的恢復(fù)量；TP為有功的恢復(fù)時(shí)間常數(shù)；αs、αt分別為靜態(tài)電壓指數(shù)和動(dòng)態(tài)電壓指數(shù)；U為實(shí)際電壓；U0為參考電壓。自恢復(fù)負(fù)荷的無(wú)功功率模型與式(4)類(lèi)似。

②有載調(diào)壓變壓器(OLTC)

OLTC 的動(dòng)作邏輯可表示為[19]：

式中：rk和rk+1分別表示在k時(shí)刻和k+1 時(shí)刻O(píng)LTC 的檔位；Δr為單次調(diào)節(jié)檔位數(shù)；U2為變壓器二次側(cè)電壓，U20是變壓器二次側(cè)的目標(biāo)電壓，ΔU表示控制死區(qū)；tk為計(jì)時(shí)器的時(shí)間，Tk為延時(shí)時(shí)間。

③過(guò)勵(lì)限制器(OEL)

OEL 的動(dòng)作邏輯可表示為[20]：

式(6)中：b表示OEL 的狀態(tài)，1 為動(dòng)作，0 為不動(dòng)作；QG為勵(lì)磁的無(wú)功功率，QGlim為勵(lì)磁無(wú)功功率的限幅值；tl為計(jì)時(shí)器的時(shí)間，Tl為延時(shí)時(shí)間。式(7)為QGlim的計(jì)算公式，UG、θ、Efd、δ分別代表發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓的幅值與相角、勵(lì)磁電壓與功角；Cq為過(guò)勵(lì)倍數(shù)；Ra、xd、xq分別為發(fā)電機(jī)的定子電阻、d軸電抗和q軸電抗。

2)中長(zhǎng)期電壓安全穩(wěn)定約束

描述中長(zhǎng)期電壓安全穩(wěn)定的不等式約束如式(8)所示。第一個(gè)表示為保證中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定性，按照GB/T 40581—2021 規(guī)定，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)處的中長(zhǎng)期電壓應(yīng)保持或恢復(fù)到0.9p.u.以上；第二個(gè)表示中長(zhǎng)期終止時(shí)刻處的電壓應(yīng)滿足，電壓對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)不小于0，即系統(tǒng)不應(yīng)該處于電壓下降的狀態(tài)；第三個(gè)表示中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的約束范圍[15]。

式中：Ui(t;p)為中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡，Umax和Umin為中長(zhǎng)期電壓的上限和下限。

3)可控變量的范圍約束

式中：pmax和pmin為負(fù)荷可控變量向量的上限和下限。

1.3 優(yōu)化模型的特征

由式(3)可見(jiàn)，優(yōu)化模型的等式約束中包含微分方程，電力系統(tǒng)常見(jiàn)的優(yōu)化求解方法對(duì)此難以處理。顯然，式(3)刻畫(huà)了x、y、zc、zd與p的函數(shù)關(guān)系，若能獲得描述該關(guān)系的顯函數(shù)，則可直接刪除式(3)，將優(yōu)化模型化簡(jiǎn)為非線性規(guī)劃模型，進(jìn)而用非線性規(guī)劃法獲得中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的優(yōu)化控制策略。

進(jìn)一步，由于式(2)和式(8)中僅包含中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡Ui(t;p)，因此，僅需獲得Ui(t;p)與p的函數(shù)關(guān)系，即可完成對(duì)優(yōu)化模型的化簡(jiǎn)。

然而，Ui(t;p)由式(3)隱含地定義，而式(3)是一組微分-代數(shù)-離散方程。因此，想要直接求解出Ui(t;p)的解析表達(dá)式基本不可能，只能求出近似解析的(t;p)。

2 中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡的多項(xiàng)式逼近方法

2.1 中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡的多項(xiàng)式形式

式中：U(t;p)與 (t;p)分別代表不同p作用下的實(shí)際與逼近的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡；Nb代表多項(xiàng)式逼近的基函數(shù)個(gè)數(shù)；ck(t)為相應(yīng)基函數(shù)的系數(shù)；為一組正交多項(xiàng)式基函數(shù)[11]，滿足：

式中：m、n為多項(xiàng)式的階數(shù)且m≠n。ω(p)權(quán)函數(shù)，其形式與p的分布有關(guān)。特別地，當(dāng)p在區(qū)間[-1,1]中按照均勻分布時(shí)，ω(p)=1/2，正交多項(xiàng)式基函數(shù)為勒讓德多項(xiàng)式。確定了基函數(shù)以后，還需求解ck(t)。

2.2 多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算方式

配點(diǎn)法作為一種常見(jiàn)、高效的求解ck(t)的方法，它不需要改變式(3)的形式，只需要在p的變化范圍內(nèi)選取部分特殊點(diǎn)作為配點(diǎn)，并根據(jù)式(3)通過(guò)數(shù)值仿真的方式計(jì)算出各配點(diǎn)處相應(yīng)的U(t;p)。之后，便可利用式(12)求解出多項(xiàng)式基函數(shù)的系數(shù)ck(t)[11]。

式(12)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是積分計(jì)算，是被離散化為被積函數(shù) (pm)U(t,pm)在各個(gè)積分點(diǎn)(即配點(diǎn)pm)上的線性組合[11]。由于積分在整個(gè)p的區(qū)間內(nèi)展開(kāi)，故配點(diǎn)法求得的多項(xiàng)式在整個(gè)區(qū)間內(nèi)均具有較高的精度，是一種不同于Taylor 局部展開(kāi)的全局逼近方法。

2.3 配點(diǎn)的選取原則

常見(jiàn)的配點(diǎn)選取方法分為兩種，稀疏網(wǎng)格法和張量積法[11]。

稀疏網(wǎng)格法確定配點(diǎn)時(shí)，需對(duì)各個(gè)可控變量的各階積分點(diǎn)進(jìn)行張量運(yùn)算，并將積分點(diǎn)線性組合起來(lái)形成配點(diǎn)集合。其配點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式為[11]：

式中：M為配點(diǎn)總數(shù)，d表示可控變量個(gè)數(shù)；l表示多項(xiàng)式的逼近階數(shù)。

張量積法確定配點(diǎn)時(shí)，需對(duì)各個(gè)可控變量的l+1 階積分點(diǎn)進(jìn)行張量運(yùn)算，并形成配點(diǎn)集合。其配點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式為[11]：

從式(13)和式(14)可以看出，隨著逼近階數(shù)和可控變量個(gè)數(shù)的不斷增加，采用稀疏網(wǎng)格法生成配點(diǎn)時(shí)，配點(diǎn)個(gè)數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)慢于張量積法。因此，在高階或多變量的條件下，采用稀疏網(wǎng)格法生成配點(diǎn)可大大提高ck(t)的計(jì)算效率。

3 中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的最優(yōu)控制策略

利用多項(xiàng)式逼近方法，獲得式(10)所示的中長(zhǎng)期逼近電壓軌跡(t;p)之后，可基于(t;p)對(duì)由式(2)(3)(8)(9)所組成的優(yōu)化控制模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。

式中：Δt為計(jì)算式(3)時(shí)的仿真步長(zhǎng)。

式(2)和式(8)中的Ui(t;p)被(t;p)替換。由于本文基于式(3)并采用多項(xiàng)式逼近方法獲取了x、y、zc、zd與p的函數(shù)關(guān)系，同時(shí)優(yōu)化控制模型的求解僅需用到(t;p)，因此，式(3)可被(t;p)的多項(xiàng)式形式所代替。式(15)和式(16)為化簡(jiǎn)后的非線性規(guī)劃模型，可用內(nèi)點(diǎn)法求解出中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的最優(yōu)控制策略。

綜上，中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制策略的求解過(guò)程包含如下步驟：

1)輸入系統(tǒng)數(shù)據(jù)、多項(xiàng)式的逼近階數(shù)以及可控變量的約束范圍；

2)基于式(3)，利用多項(xiàng)式逼近方法，計(jì)算出逼近的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡(t;p)；

中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制策略求解流程圖如圖2 所示。

圖2 中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制策略的求解流程

4 算例分析

4.1 算例設(shè)置

采用Nordic74 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證所提方法的可行性，接線圖如圖3 所示[3]。系統(tǒng)中22 個(gè)負(fù)荷均為自恢復(fù)負(fù)荷[18]，TP=180s，αs=0，αt=2；與自恢復(fù)負(fù)荷相連的變壓器為OLTC[19]，Tk=15s；系統(tǒng)中20 臺(tái)發(fā)電機(jī)均裝設(shè)OEL[20]，Tl=15s，Cq=1.8。系統(tǒng)中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的起始擾動(dòng)為節(jié)點(diǎn)4032 與4044 之間的線路在0s 時(shí)被切除。

圖3 Nordic74 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線

上述擾動(dòng)下，系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)42 處的電壓曲線如圖4 所示。由圖可見(jiàn)，0～30s 時(shí)，隨著負(fù)荷的自恢復(fù)，兩節(jié)點(diǎn)處的電壓逐步由0.966p.u.和0.964p.u.降低至0.964p.u.和0.962p.u.；30～90s 時(shí)，OLTC 開(kāi)始動(dòng)作，逐步提高兩節(jié)點(diǎn)處的電壓；在126s 和168s 時(shí)，發(fā)電機(jī)G14 和G7 分別發(fā)生過(guò)勵(lì)，機(jī)端電壓失去無(wú)功支撐，造成節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)42 處的電壓明顯跌落；之后，負(fù)荷繼續(xù)恢復(fù)，兩節(jié)點(diǎn)電壓進(jìn)一步下降；300s 仿真結(jié)束時(shí)，兩節(jié)點(diǎn)電壓已低至0.948p.u.和0.933p.u.。

圖4 節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)42 處的電壓動(dòng)態(tài)曲線

在系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，22 個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)中，由于節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)42 處的中長(zhǎng)期電壓最低、300s 后的電壓偏差最大，因此選擇這兩節(jié)點(diǎn)處的負(fù)荷以需求響應(yīng)的方式參與系統(tǒng)電壓控制。

利用式(15)和式(16)所表示的非線性規(guī)劃模型，優(yōu)化控制中長(zhǎng)期電壓。其中，可控變量p包括節(jié)點(diǎn)5 和42 處的負(fù)荷需求響應(yīng)控制變量：響應(yīng)起始時(shí)刻TL、響應(yīng)量的比例系數(shù)βL和需求響應(yīng)時(shí)間常數(shù)λ，共計(jì)6 個(gè)。以下分別記為p1-p6，其變化范圍分別為p1,p4∈[90s,150s]，p2,p5∈[0,20%]，p3,p6∈[60s,180s]。

4.2 優(yōu)化控制模型的求解過(guò)程

4.2.1 中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡的逼近誤差

首先，采用第2 節(jié)的多項(xiàng)式逼近方法，計(jì)算出逼近的電壓軌跡(t;p)。其中，逼近階數(shù)為3階，配點(diǎn)采用張量積法選取。以節(jié)點(diǎn)5 處的電壓為例，圖5 展示了節(jié)點(diǎn)5 處的電壓隨p2和時(shí)間t變化時(shí)的Ui(t;p)與(t;p)。其他的可控變量分別取p1=150s、p3=p6=120s、p4=120s、p5=10%。

由圖5 可見(jiàn)，隨著p2的增大，電壓動(dòng)態(tài)水平不斷提高，說(shuō)明負(fù)荷響應(yīng)量越多，越有利于中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)水平的改善。之后，用圖5中的Ui(t;p)和 (t;p)計(jì)算電壓動(dòng)態(tài)軌跡的逼近誤差，圖6 展示了電壓動(dòng)態(tài)軌跡逼近誤差的絕對(duì)值。

圖6 電壓動(dòng)態(tài)軌跡的逼近誤差

4.2.2 模型的優(yōu)化結(jié)果

表1 和表2 分別給出了優(yōu)化控制模型的優(yōu)化結(jié)果及目標(biāo)函數(shù)值。由表1 可知，節(jié)點(diǎn)5 處的負(fù)荷從150s 起，按照時(shí)間常數(shù)為96.5s 的需求響應(yīng)速度響應(yīng)了15.8%；節(jié)點(diǎn)42 處的負(fù)荷從113.5s起，按照時(shí)間常數(shù)為101s 的需求響應(yīng)速度響應(yīng)了17.7%。

表1 負(fù)荷可控變量的優(yōu)化結(jié)果

表2 目標(biāo)函數(shù)值

圖7 給出了優(yōu)化控制后，節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)42 處的電壓動(dòng)態(tài)曲線。由圖7 可見(jiàn)，負(fù)荷的響應(yīng)起始時(shí)刻晚于OLTC 的動(dòng)作時(shí)刻。對(duì)比圖4 的結(jié)果可知，在負(fù)荷參與系統(tǒng)電壓控制之后，發(fā)電機(jī)G14和G7 不再發(fā)生過(guò)勵(lì)的情況；300s 時(shí)，節(jié)點(diǎn)5 和節(jié)點(diǎn)42 處的電壓由控制前的0.948p.u.和0.933p.u.，升高到了0.988p.u.和0.983p.u.。

圖7 優(yōu)化控制后的電壓動(dòng)態(tài)曲線

4.3 所提方法的有效性分析

為驗(yàn)證所提方法的有效性，通過(guò)改變權(quán)重系數(shù)的方式來(lái)改變優(yōu)化控制模型的目標(biāo)函數(shù)，分析目標(biāo)函數(shù)的變化對(duì)模型優(yōu)化結(jié)果的影響。

仿真算例條件不變，設(shè)置出四組在不同權(quán)重系數(shù)下的場(chǎng)景。

場(chǎng)景①：w1=0.2、w2=1；

場(chǎng)景②：w1=0.1、w2=2；

場(chǎng)景③：w1=0.1、w2=0；

場(chǎng)景④：w1=0、w2=1；

對(duì)于本文所提方法，由于算例系統(tǒng)(即式(3))并未進(jìn)行任何調(diào)整，因此基于配點(diǎn)法計(jì)算所得的電壓動(dòng)態(tài)軌跡(t;p)也未發(fā)生改變。那么對(duì)于式(15)和式(16)來(lái)說(shuō)，只需要修改目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重系數(shù)，之后利用內(nèi)點(diǎn)法重新求解改變后的非線性規(guī)劃模型即可。避免了對(duì)(t;p)的重復(fù)計(jì)算。

表3 展示了上述四個(gè)場(chǎng)景下可控變量的計(jì)算結(jié)果。以節(jié)點(diǎn)5 處的電壓為例，圖8 展示了四個(gè)場(chǎng)景及表1 中優(yōu)化結(jié)果作用下的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)曲線。

表3 不同目標(biāo)函數(shù)下的計(jì)算結(jié)果

圖8 五個(gè)場(chǎng)景下節(jié)點(diǎn)5 處的電壓動(dòng)態(tài)曲線

根據(jù)表3 和圖8 的結(jié)果進(jìn)行分析，相比于4.2.2節(jié)的場(chǎng)景，所得結(jié)論如下：

(1)在場(chǎng)景①中，由于增大了權(quán)重系數(shù)w1，因此，目標(biāo)函數(shù)1 在多目標(biāo)優(yōu)化中的權(quán)重變大。對(duì)比表1 中的優(yōu)化結(jié)果，負(fù)荷的響應(yīng)量減小，節(jié)點(diǎn)電壓偏差變大。

(2)在場(chǎng)景②中，由于增大了權(quán)重系數(shù)w2，因此，目標(biāo)函數(shù)2 在多目標(biāo)優(yōu)化中的權(quán)重變大。對(duì)比表1 中的優(yōu)化結(jié)果，負(fù)荷的響應(yīng)量增多，節(jié)點(diǎn)電壓偏差變小。

(3)在場(chǎng)景③中，將w2設(shè)置成0，目標(biāo)函數(shù)僅含控制成本，即優(yōu)化求解時(shí)，在滿足約束條件的情況下，盡可能地降低控制成本。對(duì)比表1 中的優(yōu)化結(jié)果，負(fù)荷的響應(yīng)量降低，節(jié)點(diǎn)電壓偏差變大。

(4)在場(chǎng)景④中，將w1設(shè)置成0，目標(biāo)函數(shù)僅含中長(zhǎng)期電壓質(zhì)量，即優(yōu)化求解時(shí)，在滿足約束條件的情況下，盡可能地提高電壓質(zhì)量。對(duì)比表1 中的優(yōu)化結(jié)果，負(fù)荷的響應(yīng)量達(dá)到上限，節(jié)點(diǎn)電壓偏差變小。

通過(guò)分析目標(biāo)函數(shù)的改變對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

5 結(jié)論

針對(duì)中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的優(yōu)化控制問(wèn)題，本文建立了基于需求響應(yīng)的中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化控制模型，并采用中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)軌跡的逼近多項(xiàng)式，將含有微分方程的優(yōu)化控制模型化簡(jiǎn)成僅含代數(shù)方程的非線性規(guī)劃模型，最后利用內(nèi)點(diǎn)法求解出中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的最優(yōu)控制策略。

算例結(jié)果表明，所提方法能夠有效地獲取模型的最優(yōu)控制結(jié)果。相比于常見(jiàn)的優(yōu)化求解方法，本文所提方法能夠利用顯式多項(xiàng)式替換優(yōu)化模型中的微分方程，對(duì)電力系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)的優(yōu)化控制模型進(jìn)行求解。

所提方法的不足之處在于，未能同時(shí)考慮改變電容器/電抗器的投切量、調(diào)節(jié)OLTC的分接頭、負(fù)荷的需求響應(yīng)等多種中長(zhǎng)期電壓動(dòng)態(tài)的控制措施，后續(xù)將針對(duì)各種措施的協(xié)調(diào)優(yōu)化進(jìn)行研究分析。