基于深度學習的FDA-MIMO雷達協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復方法

丁梓航 謝軍偉 王 博

①(空軍工程大學防空反導學院 西安 710051)

②(空軍工程大學空管領(lǐng)航學院 西安 710051)

1 引言

頻控陣(Frequency-Diverse Array,FDA)雷達因其在發(fā)射陣列中的各個陣元間增加了一個微小的頻偏而產(chǎn)生了距離-角度-時間三維相關(guān)的波束[1]，相較于常規(guī)的相控陣雷達，頻控陣雷達具有更加靈活的波束調(diào)控方式。因此，頻控陣雷達這一概念自2006年被提出后[2]，便受到了廣泛的關(guān)注和研究[3–6]。但頻控陣雷達的發(fā)射能量在空間中的分布隨時間變化，這一特性導致其發(fā)射波束能量無法長時間聚焦于某個空域位置。

為了解決頻控陣雷達波束的時變性問題，一種頻控陣與多輸入多輸出(Multi-Input and Multi-Output,MIMO)技術(shù)相結(jié)合的雷達體制被提出[7]，該體制不僅會消除波束的時間相關(guān)性還能夠?qū)崿F(xiàn)波束在角度和距離維度上的解耦合。因此，F(xiàn)DA-MIMO雷達具有角度-距離相關(guān)的波束性能，且通過MIMO技術(shù)擴展了該雷達系統(tǒng)的自由度，使其能夠在多個雷達應用領(lǐng)域發(fā)揮一定的優(yōu)勢，如包絡(luò)距離-角度聯(lián)合估計[8,9]、有源干擾壓制[10–13]、目標檢測與跟蹤[14–16]、空時自適應處理[17–20]等。

面對日益復雜的電磁環(huán)境，有源干擾信號給雷達系統(tǒng)帶來了巨大的挑戰(zhàn)?；贔DA-MIMO雷達的自適應波束形成算法能夠有效地壓制空域內(nèi)的有源干擾信號[10–12,21,22]。這些波束形成算法的實現(xiàn)都依賴于采集到的干擾信號協(xié)方差矩陣，因此協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)不完整或者缺失時，會嚴重削弱雷達系統(tǒng)的波束形成效果和抗有源干擾能力。而協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象主要原因來自以下兩個方面：

(1) 當雷達接收系統(tǒng)對回波信息進行采樣時，內(nèi)部的存儲設(shè)備容易受到工作條件、電磁干擾和內(nèi)部器件老化的影響，從而使得采集得到協(xié)方差矩陣內(nèi)的數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)存在偏差甚至造成數(shù)據(jù)的缺失；

(2) 接收陣元通道中的器件產(chǎn)生的噪聲信號，以及模數(shù)轉(zhuǎn)換器等發(fā)生故障，導致部分通道無法正常工作，從而造成采集協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的缺失。

針對矩陣數(shù)據(jù)缺失的補全問題，很多文獻采取添加合理性判斷條件的方式以保證數(shù)據(jù)恢復的可信性。一種基于最大期望(Expectation-Maximization,EM)算法的求解技術(shù)被廣泛應用于矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復中[23,24]。文獻[25]提出了一種利用雜波協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)特點，通過改進的EM算法實現(xiàn)對協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的恢復，并將這一技術(shù)應用于波束形成和目標信號檢測。文獻[26]提出了針對不同缺失條件矩陣的無偏協(xié)方差估計器，并推導了對應的誤差界限。一種基于不完整數(shù)據(jù)條件下穩(wěn)健的低秩協(xié)方差矩陣估計方法被提出[27]，該方法主要利用EM算法和矩陣特征值分解來實現(xiàn)低秩協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的恢復。Xu等人[28]利用遷移學習網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了步進頻雷達缺失信號數(shù)據(jù)的恢復。以上研究主要集中在利用合理性判斷條件和協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)特點來實現(xiàn)對缺失數(shù)據(jù)的補全。文獻[29]利用先驗數(shù)據(jù)及經(jīng)驗結(jié)合深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以實現(xiàn)數(shù)據(jù)的恢復。但利用深度學習來實現(xiàn)協(xié)方差矩陣缺失條件下的自適應波束形成的研究仍比較匱乏。

近年來，深度學習被應用于雷達的多個領(lǐng)域，與傳統(tǒng)算法相比，一定程度上提升了雷達的工作性能。文獻[30–32]提出了基于全連接網(wǎng)絡(luò)的波束形成算法，將協(xié)方差矩陣作為網(wǎng)絡(luò)的輸入，波束形成矢量作為網(wǎng)絡(luò)的輸出。此外，文獻[33]提出了一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波束形成算法，實驗表明該網(wǎng)絡(luò)形成波束的性能優(yōu)于常規(guī)的全連接網(wǎng)絡(luò)。但以上研究內(nèi)容均是在已知完整的協(xié)方差矩陣基礎(chǔ)上實現(xiàn)波束形成，并沒有考慮協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)缺失的情形。

基于以上分析，本文主要研究了基于隨機缺失的FDA-MIMO雷達干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的數(shù)據(jù)恢復問題，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了協(xié)方差矩陣恢復-自適應波束形成的抗有源干擾框架。首先建立雙通道生成對抗網(wǎng)絡(luò)(Generative Adversarial Network,GAN)，利用先驗協(xié)方差數(shù)據(jù)對該網(wǎng)絡(luò)進行訓練，以實現(xiàn)缺失協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)實部和虛部的同時恢復。在完成協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)恢復后，利用自適應波束形成算法對FDA-MIMO雷達波束進行優(yōu)化，以實現(xiàn)對有源干擾信號的壓制，提升雷達系統(tǒng)的抗干擾能力。本文的主要工作和創(chuàng)新點體現(xiàn)在以下3個方面：

(1) 提出了一種基于深度學習的FDA-MIMO雷達干擾加噪聲協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)恢復算法；

(2) 建立了雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)，通過構(gòu)建兩個相互獨立且結(jié)構(gòu)相同的網(wǎng)絡(luò)，分別對協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的實部和虛部進行恢復，從而實現(xiàn)了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)的恢復；

(3) 本文所提方法在不同的數(shù)據(jù)損失率條件下均能夠?qū)崿F(xiàn)矩陣數(shù)據(jù)的高精度恢復。

2 數(shù)據(jù)模型

2.1 FDA-MIMO雷達信號模型

考慮一個發(fā)射和接收陣列均為均勻線性陣列的收發(fā)共置FDA-MIMO雷達。其中，該雷達發(fā)射陣列含有M個發(fā)射陣元，接收陣列包含N個接收陣元，相鄰陣元間距為d=λ/2(λ為波長)。

在FDA-MIMO雷達的發(fā)射陣列中，設(shè)置相鄰發(fā)射陣元之間的頻率增量為?f，則第m個發(fā)射陣元的總頻率可以表示為

其中，f0表示發(fā)射陣元的載波頻率。若第m個發(fā)射陣元的基帶信號為φm(t)，則第m個陣元的發(fā)射信號表達式為

Et為陣列信號發(fā)射總能量，T表示雷達脈沖持續(xù)時間?；鶐盘枽誱(t)滿足正交條件：

其中，(·)?表示共軛操作。

假設(shè)空間中的遠場目標位于(θ,r)，經(jīng)過目標反射，第n個接收陣元接收到來自第m個發(fā)射陣元發(fā)射的信號表達式為

其中，α表示目標復反射系數(shù)(由信號發(fā)射幅度、相位、目標反射系數(shù)、傳播路徑衰減等組成)，τm,n表示從第m個發(fā)射陣元到第n個接收陣元之間往返信號的時延，其表達式為

其中，c 表示電磁波傳播速度，τ0=2r/c。

在窄帶信號假設(shè)下，存在近似關(guān)系φm(tτm,n)≈φm(t-τ0)?；谝陨戏治觯趎個接收陣元接收到目標回波信號的表達式為

當發(fā)射頻偏大小滿足M?f ?f0時，式(6)中的近似關(guān)系成立。

信號被雷達接收系統(tǒng)接收后，會經(jīng)過一系列的信號處理過程。本文采用文獻[34]提出的一種基于多匹配濾波器的FDA-MIMO雷達的接收處理系統(tǒng)。當接收陣元接收到目標反射信號后，首先需要經(jīng)過混頻處理，即將接收信號與e-j2πf0t混頻，得到：

其中，α0=αej2πf0τ0。接下來，將每一個接收通道的信號分別輸入M組匹配濾波器通道中進行處理。在第l個匹配濾波通道，接收信號首先在數(shù)字端與ej2π(l-1)?ft(l=1,2,...,M)進行混頻，然后將混頻后的信號與(t)進行匹配濾波，獲得第l個匹配濾波通道的輸出結(jié)果

將式(7)代入式(8)，得到：

將N個接收通道分別經(jīng)過M組匹配濾波器處理后得到的輸出信號排列成一個MN ×1維的列向量

其中，a(θ,r)=ar(θ)?a1(θ,r)

2.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣構(gòu)造及波束形成算法

本節(jié)主要介紹FDA-MIMO雷達接收干擾加噪聲信號協(xié)方差矩陣的構(gòu)造方法以及基于最小均方無畸變響應(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)的最優(yōu)接收濾波器的設(shè)計方法。最優(yōu)濾波器設(shè)計方法用來評估協(xié)方差矩陣的恢復。

假設(shè)空間中存在多個有源干擾信號，且分別位于空間位置(θp,rp) (p=1,2,...,P)，則FDA-MIMO雷達接收到的干擾加噪聲信號可以表示為

其中，αp表示第p個干擾信號的幅度，P為干擾信號總數(shù)。接收信號協(xié)方差矩陣可以表示為

其中，E{·}表示求取期望操作，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置操作。定義第p個干擾信號的干噪比(Interferenceto-Noise Ratio,INR)為/。

設(shè)置波束指向的期望方向和距離分別為(θ0,r0)，接收濾波器矢量為w ∈CMN，自適應波束優(yōu)化問題可以描述為

采用經(jīng)典的MVDR算法[35]，得到最優(yōu)接收濾波器矢量

其中，(·)-1表示矩陣求逆操作。

在式(19)的基礎(chǔ)上，雷達系統(tǒng)接收信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio,SINR)可以表示為

從式(20)可以看出，雷達接收SINR性能與干擾加噪聲協(xié)方差矩陣相關(guān)，若干擾加噪聲協(xié)方差矩陣出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失的情況，將極大程度影響接收SINR性能，引起雷達系統(tǒng)的抗干擾能力下降等諸多問題。因此，如何有效地對信號協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)進行精準的恢復對于雷達系統(tǒng)穩(wěn)定工作是至關(guān)重要的。

3 數(shù)據(jù)缺失機制及網(wǎng)絡(luò)框架構(gòu)建原理

本節(jié)主要介紹了數(shù)據(jù)隨機缺失機制下基于雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)的矩陣數(shù)據(jù)恢復方法。在網(wǎng)絡(luò)中引入生成器(G)和鑒別器(D)兩種網(wǎng)絡(luò)，通過兩個網(wǎng)絡(luò)之間的相互對抗來實現(xiàn)對矩陣缺失數(shù)據(jù)的恢復。特別地，在網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建中，考慮到協(xié)方差矩陣為復數(shù)矩陣，本文構(gòu)造了兩個具有相同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，分別實現(xiàn)矩陣缺失數(shù)據(jù)實部和虛部的有效恢復。

3.1 數(shù)據(jù)隨機缺失機制

考慮到雷達協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)丟失的隨機性，本文假設(shè)協(xié)方差矩陣滿足隨機缺失規(guī)則，即矩陣中的所有位置的元素都擁有同樣的缺失概率，該缺失機制的數(shù)學描述如下：

根據(jù)第2節(jié)對FDA-MIMO接收干擾信號協(xié)方差矩陣的建模，該協(xié)方差矩陣的維度為MN ×MN，并將協(xié)方差矩陣Rin拉伸排列成一個(MN)2維的向量，該向量表示為x=[x1,x2,...,。設(shè)置一個維度同為(MN)2的掩碼向量m=[m1,m2,...,，其中mk ∈{0,1},k=1,2,...,(MN)2服從0-1分布，且mk=0的概率為ε(ε即為數(shù)據(jù)損失概率)。若mk=0，表示xd處的數(shù)據(jù)出現(xiàn)缺失，反之則表示該處數(shù)據(jù)被完整保留。定義一個新的向量?x來表示x出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失后的數(shù)據(jù)向量，該向量中的元素可以被描述為

數(shù)據(jù)恢復的目的是找到數(shù)據(jù)缺失的位置并將該位置的數(shù)據(jù)恢復到和原始矩陣相一致，即將完全恢復成x。為了實現(xiàn)該目標，受到基于深度學習的圖像恢復方法的啟發(fā)，本文提出了一種雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)對協(xié)方差矩陣缺失復數(shù)數(shù)據(jù)的恢復。

3.2 雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)框架與原理

本節(jié)描述了雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)框架的組成部分，并對網(wǎng)絡(luò)中的各個組成部分的作用及原理進行了解釋和分析。FDA-MIMO雷達信號協(xié)方差矩陣中的數(shù)據(jù)均為復數(shù)類型，因此本文在GAN網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上增加了一個通道以實現(xiàn)對數(shù)據(jù)實部和虛部共同處理，整體網(wǎng)絡(luò)框架如圖1所示。

圖1 雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)的框架Fig.1 The framework of dual channel GAN network

通過網(wǎng)絡(luò)的整體框架可以觀察到，雙通道網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立在常規(guī)GAN網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，分別引入了兩個相同的生成器G和鑒別器D，其分別用于數(shù)據(jù)實部和虛部的產(chǎn)生。下面對網(wǎng)絡(luò)框架中的各個組成部分的功能和原理進行詳細的分析。

A.生成器(Generator)

生成器網(wǎng)絡(luò)的輸入由矩陣缺失后的數(shù)據(jù)，掩碼向量m，以及設(shè)置的擾動向量z∈C(MN)2這幾部分組成，輸出為一個(MN)2維的向量。令生成器網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為G，則生成器網(wǎng)絡(luò)的輸出xˉ可以表示為

在網(wǎng)絡(luò)完成訓練后，通過式(23)實現(xiàn)對缺失數(shù)據(jù)矩陣的恢復。

B.鑒別器(Discriminator)

在GAN網(wǎng)絡(luò)中，鑒別器是通過作為生成器的對手來實現(xiàn)對生成器網(wǎng)絡(luò)的訓練。而在所提網(wǎng)絡(luò)的框架中，D網(wǎng)絡(luò)并不是像常規(guī)的GAN網(wǎng)絡(luò)只需要判斷生成器的輸出結(jié)果是完全正確的或者是完全錯誤的，而是需要鑒別在輸出向量每個位置的真假，即輸出預測的掩碼向量。

設(shè)置鑒別器網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為D，整個網(wǎng)絡(luò)可以表示為如下形式

其中，h為一種提示機制(Hint)生成的向量，下一部分將對網(wǎng)絡(luò)中的提示機制進行介紹。

C.提示機制(Hint)

引入提示機制的目的是強化生成器和鑒別器的對抗過程。向量h是由m經(jīng)過人為設(shè)置的變換策略所得到的，將其作為鑒別器的一項擴展輸入，以實現(xiàn)對鑒別器的訓練。

h的選擇需要遵守一定的法則，文獻[36]提出了一種關(guān)于h的有效設(shè)計方法，該方法的數(shù)學描述為

D.網(wǎng)絡(luò)訓練目標

整個網(wǎng)絡(luò)框架中，通過最大化和最小化預測掩碼向量的正確率分別實現(xiàn)D網(wǎng)絡(luò)和G網(wǎng)絡(luò)的訓練。定義函數(shù)V(D,G)

其中，log(·)表示取以2為底的對數(shù)操作，是由G網(wǎng)絡(luò)輸出得到的。

GAN網(wǎng)絡(luò)的訓練目標可以被描述成一個minmax優(yōu)化問題

定義損失函數(shù)

ai,bi分別表示a和b中的第i個元素。式(27)可以重新表示為

4 矩陣數(shù)據(jù)恢復算法

對式(29)中描述的min-max優(yōu)化問題通過迭代的方法進行求解[36]。需要強調(diào)的是，生成器G和鑒別器D網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)均為全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。兩個網(wǎng)絡(luò)的迭代訓練過程如下：

首先固定生成器G，對鑒別器D采用小批量數(shù)據(jù)(一個批次的樣本數(shù)量為JD)進行訓練，定義損失函數(shù)

在一個訓練批量中，D網(wǎng)絡(luò)參數(shù)訓練過程可以被描述為求解以下優(yōu)化問題

m(j),(j),b(j)表示在一個批次中的第j個樣本，且(j)=D((j),h(j))。

當D完成一個批次的訓練時，固定D網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，隨機抽取樣本數(shù)量為JG的小批量數(shù)據(jù)對G網(wǎng)絡(luò)進行訓練。為了提高G網(wǎng)絡(luò)的訓練效率，定義兩種不同的損失函數(shù)，其中第1種的表達式為

第2種損失函數(shù)的表達式為

從兩種損失函數(shù)的定義表達式可以看出，LG是用來表征數(shù)據(jù)缺失部分，在mi=0的條件下，i的取值越接近于1，則LG的值越小。LM則是用于表征可觀測數(shù)據(jù)部分，G網(wǎng)絡(luò)的輸出越接近于矩陣觀測值，LM的值越小。因此，通過最小化兩種損失函數(shù)的線性組合以實現(xiàn)對G網(wǎng)絡(luò)的訓練，該優(yōu)化問題可以表示為

其中，β為一個取值大于0的系數(shù)。

雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)中的兩組鑒別器和生成器均采用以上步驟來完成網(wǎng)絡(luò)的訓練，且二者的訓練過程是相互獨立的，整個算法的偽代碼如算法1所示。

算法1 雙通道GAN偽代碼Alg.1 Pseudocode of dual channels GAN network

其中，Re(·),Im(·)分別表示取數(shù)據(jù)實部和虛部操作。

5 仿真分析

本節(jié)利用數(shù)值仿真驗證了所提FDA-MIMO雷達干擾加噪聲協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復方法的有效性。主要內(nèi)容包括數(shù)據(jù)集(訓練集和測試集)的構(gòu)建，雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)對信號協(xié)方差矩陣的恢復效果分析，不同數(shù)據(jù)損失率及網(wǎng)絡(luò)層數(shù)對所提算法性能的影響，以及協(xié)方差矩陣恢復前后的波束形成性能比較，不同缺失數(shù)據(jù)恢復方法性能比較等方面進行仿真實驗。在雙通道GAN中，兩個獨立通道的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)始終保持一致。其中，鑒別器和生成器網(wǎng)絡(luò)均為全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，上述兩種網(wǎng)絡(luò)的具體結(jié)構(gòu)如圖2所示，均為6層全連接網(wǎng)絡(luò)。本文使用深度學習環(huán)境Pytorch1.9對雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)進行搭建和訓練。

圖2 鑒別器和生成器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 The structure of D and G network

5.1 數(shù)據(jù)集(訓練集和測試集)構(gòu)建方法

本節(jié)介紹了網(wǎng)絡(luò)訓練所需數(shù)據(jù)集的構(gòu)建方法。在數(shù)值仿真中，F(xiàn)DA-MIMO雷達的參數(shù)設(shè)置情況如下：發(fā)射陣元和接收陣元數(shù)量分別為M=8和N=6，發(fā)射頻偏采用線性頻偏樣式，且相鄰陣元間頻偏為?f=6 kHz，發(fā)射和接收陣列中的陣元間距均等于半波長寬度。

設(shè)置干擾信號源個數(shù)1，干噪比(INR)為5 dB。干擾信號源在空間中的角度變化范圍為[20?,50?]，角度間隔為 5?。干擾信號距離變化范圍是[20 km,50 km]，間隔為5 km。利用2.2節(jié)提出的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的構(gòu)造方法，獲得來自不同角度和距離的干擾加噪聲信號的協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)(總計49個維度為MN ×MN的協(xié)方差矩陣)，并將每一個空間位置對應的協(xié)方差矩陣復制300份，得到由(49×300)個協(xié)方差矩陣構(gòu)成的數(shù)據(jù)集。為了適應網(wǎng)絡(luò)輸入，每一個協(xié)方差矩陣都將轉(zhuǎn)化為1×M2N2的向量。因此，整個數(shù)據(jù)集的維度變?yōu)?49×300)×M2N2。接下來按照訓練集:測試集等于4:1的配比，分別對訓練集和測試集進行劃分，完成數(shù)據(jù)集的構(gòu)建。需要說明的是，當該數(shù)據(jù)集用于網(wǎng)絡(luò)訓練時，需要對數(shù)據(jù)進行規(guī)范化處理，即將數(shù)據(jù)均映射到[0,1]取值區(qū)間內(nèi)。由于G網(wǎng)絡(luò)和D網(wǎng)絡(luò)均為全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此其網(wǎng)絡(luò)的計算復雜度可以分別表示為BG=O(NInputGN1+N1N2+N2N3+N3N4+N4NOutputG),BD=O(NInputDN1+N1N2+N2N3+N3N4+N4NOutputD)，則所提雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)總的計算復雜度為O(2BG+2BD)，其中NInputG,NOutputG表示G網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出數(shù)據(jù)維度，NInputD,NOutputD表示D網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出數(shù)據(jù)維度。Ni(i=1,2,3,4)表示第i層的神經(jīng)元個數(shù)。

5.2 協(xié)方差矩陣恢復效果分析

雙通道網(wǎng)絡(luò)訓練參數(shù)設(shè)置情況如下：矩陣數(shù)據(jù)丟失率ε=0.3，一個批次中的樣本數(shù)為JD=JG=128，訓練過程中的迭代次數(shù)為10000，兩個網(wǎng)絡(luò)的學習率均設(shè)置為0.001。

當雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)完成訓練后，為了驗證所提矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復方法的有效性，隨機選擇測試集中的一組協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)(該樣本對應干擾信號的距離和角度分別為35 km,45?)，利用經(jīng)過訓練的雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)對該協(xié)方差矩陣的缺失數(shù)據(jù)進行恢復。完整的協(xié)方差矩陣，缺失后的協(xié)方差矩陣，未經(jīng)過訓練網(wǎng)絡(luò)輸出的恢復矩陣，完成訓練后網(wǎng)絡(luò)輸出的恢復矩陣等4種矩陣的實部和虛部對應的灰度圖如圖3和圖4所示。

圖3 協(xié)方差矩陣實部灰度圖(單干擾源)Fig.3 The grayscale image of the real part of covariance matrix (single interference)

從圖3和圖4矩陣實部和虛部的灰度圖可以看出，矩陣數(shù)據(jù)的缺失破壞了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，對雷達系統(tǒng)后續(xù)的處理造成很大的麻煩，影響雷達系統(tǒng)的工作性能。經(jīng)過訓練后的雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)能夠有效地對FDA-MIMO雷達干擾加噪聲協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)進行恢復，且恢復程度較高，而未經(jīng)過訓練的網(wǎng)絡(luò)的恢復效果較差，仍包含較多缺失數(shù)據(jù)。

5.3 不同數(shù)據(jù)損失率及網(wǎng)絡(luò)層數(shù)對所提算法性能的影響

在所提矩陣數(shù)據(jù)恢復方法有效性被驗證的基礎(chǔ)上中，本節(jié)主要分析了不同數(shù)據(jù)損失率ε以及網(wǎng)絡(luò)層數(shù)k的變化對矩陣缺失數(shù)據(jù)恢復性能的影響。仿真參數(shù)與5.2節(jié)一致。為了定量地評估矩陣數(shù)據(jù)恢復性能，引入均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)，其表達式為

設(shè)置網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為6，圖5表示數(shù)據(jù)損失率分別在ε=0.2,0.3,0.4,0.5的4種情況下，網(wǎng)絡(luò)訓練過程中矩陣數(shù)據(jù)恢復的RMSE變化情況。從圖5可以看出，對于4種不同的損失率，所提算法均能夠有效地實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)訓練的收斂，且具有幾乎相同的收斂速度，當網(wǎng)絡(luò)訓練達到收斂時，ε=0.5對應的矩陣數(shù)據(jù)恢復的RMSE最大。

圖5 矩陣恢復數(shù)據(jù)的RMSE在訓練過程中的變化情況(不同損失率 ε)Fig.5 RMSE performance versus training process (different ε)

此外，為了定量地描述不同損失率對矩陣數(shù)據(jù)恢復算法性能的影響，將測試集中的所有樣本輸入到訓練完成后的雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)中，計算整個測試集對應矩陣恢復數(shù)據(jù)的平均RMSE。不同數(shù)據(jù)損失率對應的RMSE結(jié)果如表1所示。隨著數(shù)據(jù)損失率的提高，所提矩陣數(shù)據(jù)恢復算法的性能將會出現(xiàn)一定程度的下降。盡管如此，所提方法仍能夠?qū)f(xié)方差矩陣恢復數(shù)據(jù)的誤差控制在精度為1E–02的范圍內(nèi)，該結(jié)果同時也驗證了所提算法的魯棒性。

表1 測試集矩陣恢復數(shù)據(jù)的平均RMSE(不同損失率 ε)Tab.1 Average RMSE of the missing data recovery (different ε)

G和D網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在一定程度上將對矩陣數(shù)據(jù)恢復性能產(chǎn)生影響，因此考慮不同的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)(k=3,6,9)對網(wǎng)絡(luò)訓練過程和矩陣恢復表現(xiàn)的影響。矩陣恢復數(shù)據(jù)的RMSE在訓練過程中的變化情況如圖6所示。在訓練開始階段，相較于3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，6層和9層網(wǎng)絡(luò)可以在一定程度上提高訓練的收斂速度。

圖6 矩陣恢復數(shù)據(jù)的RMSE在訓練過程中的變化情況(不同網(wǎng)絡(luò)層數(shù)k)Fig.6 RMSE performance versus training process (different k)

3種結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)完成訓練后，通過測試集對網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)恢復性能進行評估，評估結(jié)果如表2所示。從3種網(wǎng)絡(luò)對應的測試集平均RMSE表現(xiàn)可以看出，相較于k=3,9，當k=6時，整個網(wǎng)絡(luò)能夠獲得最優(yōu)的恢復性能，而k=3對應網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)恢復性能最差。因此，需合理選取全連接網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)，以獲得較好的訓練性能。

表2 測試集矩陣恢復數(shù)據(jù)的平均RMSE(不同網(wǎng)絡(luò)層數(shù)k)Tab.2 Average RMSE of the missing data recovery (different k)

以上仿真結(jié)果表明，所提算法通過合理設(shè)置網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和結(jié)構(gòu)能夠高精度地完成協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)的恢復和補全。為了進一步闡明所提算法的優(yōu)勢，分別引入EM算法[25]、隨機森林[37]、降噪自編碼器[29]等3種已被提出的缺失數(shù)據(jù)恢復方法，比較4種不同方法對缺失數(shù)據(jù)的恢復精度。利用不同方法對測試集數(shù)據(jù)進行恢復得到的平均RMSE結(jié)果如表3所示。

表3 測試集矩陣恢復數(shù)據(jù)的平均RMSE(不同方法)Tab.3 Average RMSE of the missing data recovery(different methods)

從表3結(jié)果可以看出，本文所提算法相較于其他3種方法具有明顯的缺失數(shù)據(jù)補全精度優(yōu)勢，驗證了雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)對缺失數(shù)據(jù)恢復的有效性。

5.4 協(xié)方差矩陣恢復前后的波束形成性能比較

協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的缺失會對整個協(xié)方差的結(jié)構(gòu)造成很大程度的影響，直接導致自適應波束形成算法無法準確地形成期望的波束。為了驗證所提方法對協(xié)方差矩陣的恢復效果以及FDA-MIMO雷達波束形成的性能的影響，本節(jié)重點對利用恢復后的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣形成的波束性能進行仿真分析。仿真參數(shù)的設(shè)置與5.2節(jié)相同，設(shè)置目標信號在空間中的位置為(20?,30 km)，選取測試集中的一個樣本，該樣本對應干擾信號的空間位置為(45?,35 km)。利用2.2節(jié)所述的自適應波束形成算法，分別得到完整協(xié)方差矩陣、缺失協(xié)方差矩陣和恢復后協(xié)方差矩陣對應的FDA-MIMO雷達波束方向圖，上述3種波束方向圖如圖7所示。從仿真結(jié)果可以看出，完整協(xié)方差矩陣和恢復協(xié)方差矩陣對應形成的波束方向圖十分接近，且均能夠在干擾信號位置形成穩(wěn)定的零陷，而缺失協(xié)方差矩陣對應的波束方向圖相較于其他兩種協(xié)方差矩陣產(chǎn)生了巨大的畸變，且無法在干擾信號位置形成有效的零陷。此外，利用完整協(xié)方差矩陣和恢復協(xié)方差矩陣得到的SINR值分別為–39.67 dB,–39.06 dB，這一結(jié)果表明本文所提算法能夠?qū)DA-MIMO雷達缺失信號協(xié)方差矩陣進行高精度的恢復，且極大程度保留了FDAMIMO雷達的抗干擾性能。

圖7 基于不同協(xié)方差矩陣的FDA-MIMO雷達波束方向圖(多干擾源)Fig.7 FDA-MIMO radar beampattern based on different covariance matrices (single interference)

5.5 多干擾源信號協(xié)方差矩陣恢復性能分析

為了驗證所提雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)對多干擾信號協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)的恢復效果，本節(jié)引入兩個位于不同空域位置的干擾信號，利用所提網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)對兩干擾信號的協(xié)方差矩陣進行缺失數(shù)據(jù)恢復。

首先對數(shù)據(jù)集進行構(gòu)建，構(gòu)建方法與5.1節(jié)類似，設(shè)置兩個干擾源信號，干擾信號1在空間中的角度變化范圍為[20?,50?]，間隔為5°，距離變化范圍是[10 km,50 km]，間隔為5 km，干噪比變化范圍為[0 dB,10 dB]，間隔為2 dB。干擾信號2在空間中的角度變化范圍為[0?,15?]，間隔為5°，距離變化范圍是[60 km,80 km]，間隔為5 km，干噪比變化范圍為[0 dB,10 dB]，間隔為2 dB。

網(wǎng)絡(luò)完成訓練后，隨機選擇測試集中的一組協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)，其中干擾信號1在空間中的位置為(20?,10 km)，干擾信號2在空間中的位置為(10?,60 km)。完整的協(xié)方差矩陣，缺失后的協(xié)方差矩陣，未經(jīng)過訓練網(wǎng)絡(luò)輸出的恢復矩陣以及完成訓練后網(wǎng)絡(luò)輸出的恢復矩陣等4種矩陣的實部和虛部對應的灰度圖如圖8和圖9所示。

圖9 協(xié)方差矩陣虛部灰度圖(多干擾源)Fig.9 The grayscale image of the imaginary part of covariance matrix (multiple interferences)

以上仿真結(jié)果驗證了所提網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)Χ喔蓴_信號形成的協(xié)方差矩陣缺失數(shù)據(jù)進行有效的恢復。接下來，為了進一步評估所提方法對干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的恢復效果，設(shè)置目標信號的空間位置為(20?,30 km)。利用2.2節(jié)所述的自適應波束形成算法，分別得到完整協(xié)方差矩陣、缺失協(xié)方差矩陣和恢復后協(xié)方差矩陣對應的FDA-MIMO雷達波束方向圖，上述3種波束方向圖如圖10所示。從3個不同的波束方向圖可以看出，經(jīng)過所提方法對協(xié)方差矩陣補全后的波束性能與完整協(xié)方差矩陣基本一致，且對兩個干擾位置的幅度波動均在1 dB以內(nèi)，驗證了所提方法能夠有效保持在協(xié)方差矩陣出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失情況下的波束形成性能。

圖10 基于不同協(xié)方差矩陣的FDA-MIMO雷達波束方向圖(多干擾源)Fig.10 FDA-MIMO radar beampattern based on different covariance matrices (multiple interferences)

6 結(jié)語

本文提出了一種基于雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)的FDAMIMO干擾加噪聲協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)恢復方法。雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)能夠同時實現(xiàn)矩陣缺失數(shù)據(jù)實部和虛部的恢復。通過合理設(shè)計鑒別器和生成器網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)，實現(xiàn)兩個網(wǎng)絡(luò)之間在訓練過程中的相互對抗，從而完成整個網(wǎng)絡(luò)的訓練。在此基礎(chǔ)上，引入一種提示機制，用于提高鑒別器網(wǎng)絡(luò)的訓練效果。在數(shù)值仿真中，經(jīng)過訓練后的雙通道GAN網(wǎng)絡(luò)能夠有效地對缺失協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)的實部和虛部進行恢復。此外，該算法也適用于對不同數(shù)據(jù)損失率，且能夠?qū)⒕仃嚁?shù)據(jù)恢復精度控制在1E–02的量級內(nèi)。本文還研究了鑒別器和生成器網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)對網(wǎng)絡(luò)訓練結(jié)果的影響，通過比較網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為3層、6層和9層3種結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)選擇6層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)獲得的訓練效果和矩陣數(shù)據(jù)恢復效果最優(yōu)。在此基礎(chǔ)上還將已有缺失數(shù)據(jù)恢復方法與所提方法性能進行了比較。最后，利用自適應波束形成算法分別生成完整的協(xié)方差矩陣、缺失的協(xié)方差矩陣和恢復的協(xié)方差矩陣對應的二維波束圖，其中完整的協(xié)方差矩陣和恢復的協(xié)方差矩陣生成的波束方向圖幾乎相同，且SINR表現(xiàn)相差在1 dB的范圍內(nèi)，驗證了本文所提矩陣數(shù)據(jù)恢復算法的有效性。