基于預(yù)防維修的可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計

薛 麗, 曹逗逗, 王秋語

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 管理工程學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

隨著現(xiàn)代高新企業(yè)智能制造技術(shù)的廣泛運(yùn)用以及大量過程數(shù)據(jù)獲取的便捷性,產(chǎn)品制造過程監(jiān)控日益受到關(guān)注。由于人、機(jī)、料、法、環(huán)、測的影響,產(chǎn)品相關(guān)的質(zhì)量特性值將會偏離目標(biāo)值,即過程波動經(jīng)常存在。統(tǒng)計過程控制是應(yīng)用統(tǒng)計技術(shù)對過程各個階段進(jìn)行評估和提升質(zhì)量的一種有效技術(shù)和方法,通過其重要的工具——控制圖對過程進(jìn)行監(jiān)控可以快速識別異常波動,達(dá)到提高過程質(zhì)量的目的。為了監(jiān)控產(chǎn)品缺陷數(shù)的異常波動,休哈特提出泊松分布下缺陷數(shù)c控制圖,由于僅僅考慮現(xiàn)時樣本點(diǎn)的影響,只有當(dāng)過程中的波動達(dá)到一定程度大時其監(jiān)控效果才比較明顯。1959年ROBERTS[1]基于指數(shù)加權(quán)形式放大單個樣本點(diǎn)的信息,提出對過程中較小波動監(jiān)控靈敏的EWMA控制圖。

為了降低過程控制成本,DUNCAN[9]提出了控制圖的經(jīng)濟(jì)模型,以確定均值控制圖的參數(shù)最優(yōu)值。FRANCO等[10]用變采樣策略監(jiān)測自相關(guān)數(shù)據(jù),構(gòu)建了休哈特控制圖的經(jīng)濟(jì)模型。NADERKHANI和MAKIS[11]研究了具有兩個采樣區(qū)間的多元貝葉斯控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計。COSTA和FICHERA[12]運(yùn)用一種改進(jìn)的自適應(yīng)差分進(jìn)化方法,研究了ARMA控制圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計設(shè)計。CHOU等[13]對VSI EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計進(jìn)行研究。SEIF等[14]提出一種運(yùn)用馬爾可夫鏈方法對VSST2控制圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計研究。王海宇等[15]基于平均產(chǎn)品長度,構(gòu)建EWMA控制圖的多目標(biāo)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計優(yōu)化模型。薛麗[16,17]針對標(biāo)準(zhǔn)差變化和產(chǎn)品缺陷數(shù)變化的兩種情形,研究抽樣區(qū)間變化的EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計問題。

隨著生產(chǎn)過程機(jī)器化和自動化的日益普及,產(chǎn)品制造流程也從人工時代向機(jī)器化時代轉(zhuǎn)變。此時,設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)是否正常越來越重要,密切影響到產(chǎn)品的質(zhì)量、過程控制的效果以及控制成本。學(xué)界和業(yè)界均認(rèn)為設(shè)備運(yùn)行狀況與過程質(zhì)量存在密切聯(lián)系,許多學(xué)者持續(xù)關(guān)注設(shè)備維修管理與過程質(zhì)量控制的聯(lián)合決策研究[18-21]。另一方面,由于高精度產(chǎn)品測量成本日益增高,強(qiáng)調(diào)產(chǎn)品質(zhì)量輸出偏離目標(biāo)值的質(zhì)量損失函數(shù)被廣泛使用在制造過程中。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)模型關(guān)注過程控制成本,較少考慮偏離目標(biāo)值造成的質(zhì)量損失[9-17]。因此,本文基于質(zhì)量損失函數(shù)和預(yù)防性維修策略,研究可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計問題,構(gòu)建其經(jīng)濟(jì)模型。對其進(jìn)行靈敏度分析,以指導(dǎo)在實際生產(chǎn)過程中如何選擇最優(yōu)的控制圖參數(shù)。

1 可變抽樣區(qū)間泊松EWMA控制圖

令X為生產(chǎn)過程中單個產(chǎn)品中的缺陷數(shù),一般情況下服從泊松分布:

P{X=x}=e-μμx/x!,x=0,1,2,…

(1)

其中,μ>0為已知參數(shù)。過程受控時,μ=μ0。過程失控時,μ=μ1=μ0+μ0δ,δ為均值波動。則容量為n的樣本中包含的總?cè)毕輸?shù)表示為Y=X1+X2+…+Xn,它服從參數(shù)為nμ的泊松分布:

P{Y=y}=e-nμ(nμ)y/y!,y=0,1,2,…

(2)

則受控狀態(tài)下Y的均值和方差為:

(3)

泊松EWMA控制圖的監(jiān)控統(tǒng)計量Z0為:

(4)

根據(jù)式(3)、式(4)可以得出:

(5)

當(dāng)t充分大時,得到Zt方差的漸近形式:

Var(Zt)≈λnμ0/(2-λ),0<λ≤1

(6)

其中,λ為平滑系數(shù)。泊松EWMA控制圖的上下控制限為:

(7)

(8)

其中k1,k2為上下控制限系數(shù)。

由于式(4)得到的統(tǒng)計量Zt≥0,當(dāng)LCL≤0時,控制圖檢測不出均值的向下波動,此時的控制圖應(yīng)該為非對稱的,因此取k1≠k2。

泊松EWMA控制圖的上下警戒限為:

(9)

(10)

其中w1,w2(0

選取h1和h2為兩抽樣區(qū)間,且h1>h2>0,若LWL≤Zt≤UWL,則間隔h1抽取下一個樣本;若UWLUCL或Zt

2 經(jīng)濟(jì)模型建立

為了建立經(jīng)濟(jì)模型,有如下假設(shè):

(1)過程最初為受控,即μ=μ0;

(2)總?cè)毕輸?shù)服從參數(shù)為nμ的泊松分布;

(3)若過程失控時,總?cè)毕輸?shù)nμ=nμ1=nμ0+δnμ0;

(4)受控時間服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布;

(5)異常原因不發(fā)生在抽樣時,且最多有一個[10];

(6)一旦過程發(fā)生波動,不可能自動恢復(fù)到受控;

(7)當(dāng)UWL

2.1 過程循環(huán)周期T的確定

將從開始到失控,尋找并消除異常原因的時間稱為過程循環(huán)周期T。T可以分為:(1)受控時間;(2)失控到報警的時間;(3)分析樣本并記錄的時間;(4)異常原因找到以及過程糾正的時間。表1記錄經(jīng)濟(jì)模型的有關(guān)參數(shù),T的公式如下:

表1 相關(guān)參數(shù)定義

T=1/θ+(1-γ1)st0/ANSS0+ATS1-τ+t1+t2+ng

(11)

2.2 損失成本函數(shù)L的確定

一個循環(huán)周期的損失成本有:(1)錯誤警報、作圖和異常原因找到并糾正的損失成本L1;(2)預(yù)防維修損失成本L2;(3)受控?fù)p失成本L3;(4)失控?fù)p失成本L4。

(1)錯誤警報、作圖和異常原因找到并糾正的損失成本L1為:

L1=α×(1/θ+(1-γ1)st0/ANSS0)/h0×d+

(12)

(2)預(yù)防維修損失成本L2為:

L2=Cpm×[p01×(1/θ+(1-γ1)st0/ANSS0)/h0+

(13)

其中p01為受控時落在警戒域的概率,p11為失控時落在警戒域的概率。

(3)記m為目標(biāo)質(zhì)量特性值,Δ為容差,M/Δ2為損失函數(shù)系數(shù)。受控時,將均值和目標(biāo)值的絕對偏差記為dv,即dv=|μ-m|,則受控時期損失成本L3可表示為:

(14)

其中y為單位內(nèi)的產(chǎn)品生產(chǎn)量。

(4)當(dāng)異常原因發(fā)生時,損失成本L4可表示為:

(ATS1-τ+t1+t2+ng)y

(15)

因此得到損失成本函數(shù)L為:

L=L1+L2+L3+L4

(16)

2.3 單位時間的損失成本函數(shù)ETL

由式(11)和式(16)得到單位時間的損失成本函數(shù)ETL:

ETL=L/T

(17)

由前面討論可知ETL是與參數(shù)(n,k1,k2,h1,h2,w1,w2,λ)有關(guān)的函數(shù)。

3 數(shù)據(jù)案例

下面通過給出航空玻璃纖維布的例子說明求解參數(shù)(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)最優(yōu)解的過程。

為了提高過程質(zhì)量,某航空制造企業(yè)采用VSI泊松EWMA控制圖對玻璃纖維布上的瑕疵點(diǎn)監(jiān)控。受控時,服從參數(shù)為μ=μ0=4的泊松分布,失控μ=μ1=μ0+δμ0=6時。模型和成本相關(guān)參數(shù)如下:a=1.5,b=0.5,Δ=4,W=4,d=2,m=4,g=0.2hr,t1=0.6hr,t2=0.6hr,θ=0.01,γ1=γ2=1,y=12,Cpm=10,M=10。

matlab環(huán)境下對遺傳算法進(jìn)行編碼。要求n為整數(shù),參數(shù)(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)的取值范圍為:1≤n≤20,1≤h1≤3,0.01≤h2≤1,1≤k1≤4,1≤k2≤4,0.01≤w1≤3,0.01≤w2≤3,w1≤k1,w2≤k2,0.01≤λ≤1。人口規(guī)模N為30,變異率和交叉率為0.1和0.8,令ETL(式(17))的倒數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)。當(dāng)?shù)?00代時算法停止,得到VSI泊松EWMA控制圖的最優(yōu)值參數(shù):n=2,k1=3.518,k2=1.979,h1=2.758,h2=0.121,w1=1.73,w2=1.933,λ=0.062,ETL=262.1259。

4 靈敏度分析

為了研究(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)與(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)和ETL間的關(guān)系,對經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析。(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)為自變量,對應(yīng)的水平記在表2,(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)和ETL為因變量。這是兩水平十一因素的正交試驗,可以選用正交表L16(215)。令γ1=γ2=1,t0=1。由L16(215)得到的試驗方案以及結(jié)果記在表3和表4。

表2 十一個模型參數(shù)的兩種水平

表3 根據(jù)L16(215)安排的十六次試驗

令顯著性水平α=0.1,運(yùn)用SPSS軟件對因變量進(jìn)行回歸分析,得到參數(shù)之間的影響關(guān)系,具體見表5。

表5 設(shè)計參數(shù)或ETL與模型參數(shù)間的影響關(guān)系

5 最優(yōu)性分析

某一產(chǎn)品缺陷數(shù)服從泊松分布,受控時參數(shù)μ=μ0=4,失控時μ發(fā)生波動,可以采用VSI泊松EWMA控制圖監(jiān)控。下面對基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計和統(tǒng)計方法設(shè)計的兩種控制圖做比較研究。

(1)樣本容量n=2時,由統(tǒng)計方法設(shè)計VSI泊松EWMA控制圖。令受控ATS0為固定值,使失控ATS1達(dá)到最小得到(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)的最優(yōu)值。

(2)基于經(jīng)濟(jì)方法構(gòu)建的VSI泊松EWMA控制圖。根據(jù)所建立的經(jīng)濟(jì)模型(17)得到(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)的最優(yōu)值。

在表2給定參數(shù)值的前提下,計算單位時間損失成本并進(jìn)行比較。根據(jù)統(tǒng)計方法得到的單位時間損失成本記為ETL1;根據(jù)經(jīng)濟(jì)方法得到的單位時間損失成本記為ETL,相關(guān)結(jié)果記錄在表4。令n=2,k1=2,k2=3,w1=1,w2=2,分別計算λ=0.05,ATS0=250,300,350和λ=0.1,ATS0=150,200,250時,16次試驗得到的單位時間損失成本,并記在表6。

表6 最優(yōu)性分析結(jié)果

由表6可知:每種試驗下基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計得到的單位時間損失成本ETL均小于統(tǒng)計方法設(shè)計得到的單位時間損失成本ETL1,因此基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計的控制圖優(yōu)于統(tǒng)計方法設(shè)計的控制圖。

計算16次試驗得到的單位時間損失成本平均值,并記錄在表中倒數(shù)第二行。例如,基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計得到的單位時間損失成本ETL均值為230.367,而當(dāng)λ=0.05,ATS=300,時,用統(tǒng)計方法設(shè)計得到的單位時間損失成本ETL1的均值為256.244,得到ETL

最后平均值除以ETL均值230.367,得到標(biāo)準(zhǔn)化之后的比值并記在最后一行。例如:λ=0.1,ATS=200時標(biāo)準(zhǔn)化比值為1.1106,說明基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計的控制圖ETL優(yōu)于統(tǒng)計方法設(shè)計的控制圖1.1106倍。

綜上可知:基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計的VSI泊松EWMA控制圖優(yōu)于統(tǒng)計方法設(shè)計的控制圖。

6 結(jié)論

本文引入預(yù)防維修策略,構(gòu)建基于二項分布的VSI泊松EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)模型;采用遺傳算法令目標(biāo)函數(shù)最小化得到經(jīng)濟(jì)模型的最優(yōu)解;然后對經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行靈敏度分析,得出參數(shù)(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)與(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)間的關(guān)系,為實際中選取最優(yōu)參數(shù)提供參考建議,建議分別為:(1)過程均值波動δ增大時,建議降低控制圖的樣本容量n,增大上控制限系數(shù)k1、上警戒限系數(shù)w1、平滑系數(shù)λ;(2)異常原因發(fā)生的頻率θ增大時,建議降低上控制限系數(shù)k1、下控制限系數(shù)k2、上警戒限系數(shù)w1和下警戒限系數(shù)w2;(3)發(fā)現(xiàn)及修復(fù)一次異常原因的平均成本W(wǎng)增大時,建議增大上控制限系數(shù)k1,減小下控制限系數(shù)k2;(4)發(fā)現(xiàn)過程異常原因的時間t1增大時,建議增大上控制限系數(shù)k1,減小上警戒限系數(shù)w1;(5)糾正過程的平均時間t2增大時,建議增大上控制限系數(shù)k1;(6)抽取一個樣品并記錄它的時間g變大時,建議調(diào)大上控制限系數(shù)k1,上警戒限系數(shù)w1;(7)在使用控制圖對過程進(jìn)行監(jiān)控時,如果統(tǒng)計量落在警戒域內(nèi),應(yīng)即時進(jìn)行預(yù)防維修;如果樣本點(diǎn)超出了控制限,應(yīng)立即查找異常原因,采取相應(yīng)措施糾正過程,以減少不合格品的產(chǎn)生。

通過最優(yōu)性分析可知:基于經(jīng)濟(jì)方法設(shè)計的控制圖比統(tǒng)計方法設(shè)計的控制圖單位時間損失成本更小,其經(jīng)濟(jì)性能更優(yōu)越。