數(shù)形結(jié)合百般好

文／江蘇省泰州市高港實驗初級中學(xué) 嚴予瑢

今天是平凡得不能再平凡的一天，我們上著一節(jié)與往日“無異”的數(shù)學(xué)課。

交流環(huán)節(jié)，老師布置了一道題：

在數(shù)軸上，點A、B分別表示a、b，計算下列情況下點A、B之間的距離：a=1，b=5；a=0，b=5；a=1，b=-5；a=-1，b=-5。你能發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離與數(shù)a、b之間的關(guān)系嗎？

我看到題目后，先把每組數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來，如下圖所示：

圖1中，AB=b-a=5-1=4；圖2中，AB=b-a=5-0=5；圖3 中，AB=a-b=1-（-5）=6；圖4中，AB=a-b=（-1）-（-5）=4。

圖1

圖2

圖3

圖4

通過觀察，我發(fā)現(xiàn)，AB=a-b或b-a。因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，AB的長度為非負數(shù)，所以AB=|a-b|。我知道了：已知數(shù)軸上兩點表示的數(shù)，利用這個公式可以求出這兩點之間的距離。

如數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-2，AB=3，若表示點B的數(shù)記為x，則|x-（-2）|=3。沒有學(xué)過含絕對值的方程，怎么求x的值呢？這時，我想到老師講過，絕對值表示距離，如到原點的距離等于3的點有兩個，一個在原點的左邊，另一個在原點的右邊，所以到點A的距離等于3 的點也有兩個，一個在表示-2 的點的左邊，即x=-5，另一個在表示-2 的點的右邊，即x=1（如圖5）。所以，我又發(fā)現(xiàn)：某點到一個定點的距離等于一個正數(shù)時，畫數(shù)軸能直觀地找到兩個這樣的點。

圖5

類比可知，|x- 1 |表示x到1 的距離，|x-（-2）|表示x到-2 的距離。若已知|x-（-2）|+|x- 1 |等于一個正數(shù)，怎么求x呢？我在數(shù)軸上標出分別表示-2、1 的兩個點，觀察數(shù)軸：這兩個點將數(shù)軸分成3 部分——表示-2 的點的左邊部分，表示-2 與表示1 的兩點之間的部分（包括表示-2、1 的兩個點），表示1 的點的右邊部分（如圖6）。我驚喜地發(fā)現(xiàn)：在x變化的過程中，|x-（-2）|+|x- 1 |有最小值，且最小值是3；當(dāng)|x-（-2）|+|x- 1 |取一個大于3 的數(shù)時，滿足條件的點也有兩個。

圖6

如果將3 個絕對值相加呢？如|x-（-2）|+|x- 1|+|x+ 1 |，小伙伴們不妨動手試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？

“數(shù)形結(jié)合百般好”。從1 個絕對值，到2 個絕對值，再到3 個絕對值……研究的問題越來越復(fù)雜，但只要我們抓住問題的本質(zhì)，利用好數(shù)軸，就能輕松地解決問題。

教師點評

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的有效思想，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。小作者借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，積極思考，主動類比探究，從數(shù)量特征聯(lián)想到幾何特征，把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題。同時，小作者還發(fā)現(xiàn)變化中不變的量，這是個了不起的發(fā)現(xiàn)！