關(guān)于“數(shù)字信號處理”課程“圍線積分法”求z 反變換思政教學(xué)的研究和探索

陳兆學(xué)，丁佳語，盧永祿

（上海理工大學(xué)健康科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200093）

1 引言

由于相關(guān)實踐探索和教研經(jīng)驗的缺失，目前在理工科實施“課程思政”教學(xué)，存在較大的難度，而對《數(shù)字信號處理》類課程而言，更是受限于計算機(jī)學(xué)科的基本特點以及高度抽象、晦澀的課程教學(xué)內(nèi)容，要有針對性地開展“課程思政”，實施起來難度更大和更富有挑戰(zhàn)性。

中華民族是一個具有深邃智慧的民族，在漫長的歷史發(fā)展過程中，積淀了豐厚的文化和科技土壤，諸多精華觀點和思想認(rèn)識具有穿透時空的生命力與前瞻性，即使在計算機(jī)信息技術(shù)和數(shù)字人工智能高度發(fā)達(dá)的今天，也毫不遜色。如吳文俊院士在中算學(xué)思想基礎(chǔ)上，跟現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)和原理相結(jié)合，在幾何定理自動證明和數(shù)學(xué)機(jī)械化研究方面所取得的相關(guān)成果就很說明問題［1］。實際上，在《數(shù)字信號處理》教學(xué)內(nèi)容和諸多知識點中，也隱含與中算學(xué)有關(guān)的內(nèi)容，從中可以挖掘出與本課程有關(guān)的思政元素，以便思政教學(xué)的實施。本文作者經(jīng)過仔細(xì)的思考和分析，發(fā)現(xiàn)可以在“圍線積分法”求z反變換教學(xué)過程中以例題的形式把跟賈憲三角形性質(zhì)有關(guān)的思政元素融入進(jìn)去，對增加課程教學(xué)的知識性和趣味性，提高學(xué)生的民族自豪感和科技人文相關(guān)的綜合素養(yǎng)極有幫助。

本文對在“圍線積分法”求z反變換教學(xué)過程中如何有效融入思政元素進(jìn)行了研究和探索。論文首先從中算學(xué)著名的賈憲三角形及其所隱含的斐波那契序列相關(guān)的代數(shù)學(xué)規(guī)律出發(fā)，介紹了該序列通項計算表達(dá)式的具體特點。然后，基于數(shù)字信號處理課程教學(xué)中z反變換求取的“圍線積分法”法，以例題形式分析了跟斐波那契序列通項公式求取相關(guān)的z變換表達(dá)式及收斂域的對應(yīng)關(guān)系。在教學(xué)中，以例題講解的形式可巧妙地把相關(guān)思政元素融入進(jìn)去。經(jīng)過3個學(xué)期的教學(xué)實踐和反饋表明，如此進(jìn)行思政教學(xué)，既可增強(qiáng)“圍線積分法”求z反變換教學(xué)的趣味性，又可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，具有良好的教學(xué)成效，值得在計算機(jī)學(xué)科相關(guān)教學(xué)過程中予以參考和借鑒。

2 賈憲三角形與斐波那契序列及其性質(zhì)簡介

我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中提出了如圖1（a）所示代數(shù)三角形，很多人稱之為“楊輝三角”。在上述著作中，楊輝首先介紹了表中除“一”之外的每一個數(shù)都等于其肩上兩個數(shù)之和的遞推規(guī)律，然后專門注明“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)”，強(qiáng)調(diào)指出該方法源出于《釋鎖》一書所載算術(shù)并且已經(jīng)被北宋數(shù)學(xué)家賈憲（公元1023—1050年）使用過。因此，更準(zhǔn)確地來說，該三角應(yīng)被稱為賈憲三角［2］。另外，如圖1（b）相關(guān)數(shù)碼分布規(guī)律在歐洲由法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623—1662年）首先發(fā)現(xiàn)，故有些書上也常被稱為帕斯卡三角，但已經(jīng)比賈憲三角的使用晚了500年左右。元初朱世杰把賈憲三角由七層推廣到九層，為高階等差級數(shù)求和高次招差法的發(fā)展，提供了有力的數(shù)學(xué)工具［3］。因此，賈憲三角的發(fā)現(xiàn)，對宋元時期中算學(xué)的發(fā)展有肇基之功，也是對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的杰出貢獻(xiàn)，值得每一個中國人自豪。

圖1 賈憲三角和斐波那契序列

賈憲三角隱含諸多有意思的代數(shù)學(xué)性質(zhì)，比如它每一行數(shù)字和皆對應(yīng)2 的整數(shù)次冪，而逐行冪次加1，而其斜線上數(shù)字和逐層可對應(yīng)形成著名的斐波那契序列（Fibonacci sequence）即1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，如圖1（b））所示。

斐波那契序列由大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）于1202 年在《算盤書》中基于兔子問題得到［4］。其中，他給出的問題如下：“如果每對大兔每月能生育一對小兔，而每對小兔經(jīng)過兩個月后才能長成大兔，那么由一對小兔開始，一年后可繁殖成多少對兔子？”。 當(dāng)時斐波那契僅僅只是給出了該問題的結(jié)果，對斐波那契序列的性質(zhì)并沒有作進(jìn)一步的探討與分析，并且在19 世紀(jì)初以前，也沒有人認(rèn)真研究過該序列。但隨著科技的發(fā)展與進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列是一個非常特殊而有趣的序列，在自然科學(xué)的很多分支中都有應(yīng)用，如樹木的生長、花瓣的數(shù)目、植物排列種子的“優(yōu)化方式”研究、股市變化趨勢的預(yù)測等，尤其在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用，甚至還出現(xiàn)在影視作品中，典型如在風(fēng)靡一時的《達(dá)芬奇密碼》里它就作為一個重要的符號和情節(jié)線索出現(xiàn)。完全可以說，斐波那契序列是一個引起廣泛關(guān)注和社會興趣的明星序列，以致于美國數(shù)學(xué)會從 1963 年起專門出版了以《斐波納契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學(xué)雜志，用于專門刊載相關(guān)的研究成果，直至今天。

實際上，斐波那契數(shù)列的每一項可基于遞推過程生成，其公式非常簡單：

而其所對應(yīng)的通項公式為[5]：

需要強(qiáng)調(diào)指出的是，通項公式（2）與著名的黃金分割數(shù)φ直接相關(guān)，它比較有意思的特點是基于無理數(shù)整數(shù)次冪之差求出取值為整數(shù)的斐波那契序列相應(yīng)數(shù)據(jù)項，并且基于該通項公式容易驗證斐波那契序列跟黃金分割數(shù)的聯(lián)系［6］

3 基于“圍線積分法”求z 反變換方式獲得斐波那契序列通項

實際上，有很多方法可以實現(xiàn)斐波那契序列通項的求?。?-9］。有意思的是，可以基于《數(shù)字信號處理》課程中“圍線積分法”求z反變換的方式來實現(xiàn)通項公式的求取和收斂域的判定，可以通過一個如下例題的求解來實現(xiàn)，即：已知F（z）=z/（z2-z-1），求其z反變換。

基于“圍線積分法”實現(xiàn)該例題的求解并不困難（具體方法請參考文獻(xiàn)［10］），如下給出簡單的求解步驟：

先進(jìn)行F（z）的零點和極點的求?。毫泓c為z=0，極點為z1=，具體分布如圖2所示；

圖2 零極點分布圖

由于該表達(dá)式?jīng)]有給出具體收斂域，所以需要對其收斂域進(jìn)行討論，共有三種可能的收斂域，即：

假設(shè)所對應(yīng)z反變換序列為f（n），則：

（1）當(dāng)|z| ＞時，f（n）首先為右邊序列，且z→ω時，F(xiàn)（z）=0，故f（n）應(yīng)該為因果序列，故有：f（n）=0，n＜0；當(dāng)n＞=0 時，zn-1F（z）=zn/（z2-2-1），在收斂域圍線內(nèi)存在兩個一階極點z1和z2，可基于圍線積分法求z反變換得：f（n）=此恰為斐波那契序列之通項。此時，有F（z）=z/（z2-z-1）=

n＜=0時，zn-1F（z）=zn/（z2-z-1）分母階次比分子高2階或2 階以上且圍線外有一個一階極點z1，根據(jù)圍線積分法得：f（n）=-

當(dāng)n＞0 時，zn-1F（z）=zn/（z2-z-1）在收斂域圍線內(nèi)存在一個一階極點z2，可基于圍線積分法求z反變換得：f（n）=-

（3）當(dāng)|z|＜時，f（n）為左邊序列：

當(dāng)n＞=0 時，zn-1F（z）=zn/（z2-z-1）在收斂域內(nèi)無極點，故f（n）=0，當(dāng)n＜0時，zn-1F（z）=zn/（z2-z-1）分母階次比分子高2階以上且在收斂域圍線外有兩個一階極點z1和z2，基于圍線積分求z反變換得：

f（n）=-恰斐波那契序列每一項相反數(shù)。

綜上所述，基于“圍線積分法”求z反變換方法，該例題在第（1）種情況即收斂域|z|＞時不但可以把斐波那契序列的通項直接計算出來，還給出了其他2種收斂域的具體情況。

4 討論與分析

因φ=，則對于第2部分中所給出的F（z）=z/（z2-z-1）所對應(yīng)z反變換的上述三種情況而言，無論其z反變換表達(dá)式，還是其收斂域邊界，都與黃金分割數(shù)φ直接相關(guān)。而在第（1）種情況下，當(dāng)z=2 時又與常數(shù)2及其負(fù)整數(shù)冪次基于斐波那契序列各項的加權(quán)和直接相關(guān)。這與圖1（b）所示類似，實際上以級數(shù)展開式的形式進(jìn)一步揭示了賈憲三角結(jié)構(gòu)中所隱含2的整數(shù)次冪序列和斐波那契序列之間所存在的深刻數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)關(guān)系。

在具體實施“圍線積分法”求z反變換相關(guān)思政教學(xué)過程中，可在介紹完基于圍線積分法求取z反變換的基本方法和原理后，先將本部分中所給出的例題按正常求取步驟完成求解，隨后在分析最后結(jié)果時自然而然引出其中所關(guān)聯(lián)的黃金分割數(shù)和斐波那契序列，并順勢補(bǔ)充介紹一下黃金分割律在生命、科學(xué)、人文等社會各領(lǐng)域所存在的一些具體體現(xiàn)，讓學(xué)生基本了解黃金分割律的特殊性和普適性，以此吸引他們的注意力并增強(qiáng)課堂學(xué)習(xí)的知識性和趣味性。最后，基于第1 部分關(guān)于斐波那契序列的由來、黃金分割律的性質(zhì)及其跟賈憲三角形關(guān)系相關(guān)的歷史和背景知識進(jìn)行鋪墊基礎(chǔ)上，使得學(xué)生在獲得相關(guān)數(shù)學(xué)知識點的同時，基于對賈憲三角形相關(guān)中國古算學(xué)成就及其跟黃金分割律的聯(lián)系的了解在不知不覺中樹立民族自豪感，并對“圍線積分法”求z反變換原理和方法附帶產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和深入把握的沖動，從而能夠更能有動機(jī)和動力通過自主學(xué)習(xí)實現(xiàn)對相關(guān)知識點的掌握，最終有效改善對示例和相關(guān)知識點學(xué)習(xí)的效果，這對課程學(xué)習(xí)效率的提高以及進(jìn)一步增加對本課程整個知識體系學(xué)習(xí)的興趣無疑也有幫助。

5 結(jié)論

黃金分割作為數(shù)學(xué)上的一種比例關(guān)系，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值，它在建筑、雕塑、音樂、繪畫、運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)分析等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。同時，黃金分割也是一種生命科學(xué)現(xiàn)象和生物數(shù)學(xué)規(guī)律。具有科技和人文相交融的特點和優(yōu)勢。斐波那契序列跟黃金分割律關(guān)系密切，關(guān)于其通項公式的求取，存在多種不同的數(shù)學(xué)方法。本論文結(jié)合數(shù)字信號處理課程的相關(guān)知識，以斐波那契序列通項公式的獲取方法為切入點，給出了“圍線積分法”求取z反變換方法的具體示例，不但可以增加課程教學(xué)的知識性和趣味性，同時也有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)時能夠有效開拓視野和思路，培養(yǎng)多基于學(xué)科交叉融合實現(xiàn)守正創(chuàng)新的科學(xué)研究理念和素養(yǎng)。經(jīng)過3 個學(xué)期的教學(xué)實踐和反饋表明，如此進(jìn)行思政教學(xué)，具有良好的教學(xué)成效，值得在計算機(jī)學(xué)科相關(guān)教學(xué)過程中予以參考和借鑒。

致謝感謝上海理工大學(xué)健康科學(xué)與工程學(xué)院醫(yī)學(xué)影像工程研究所各位老師給本文提出的參考意見.