基于分數階全局滑模與Elman 神經網絡磁鏈觀測的PMSM 轉矩脈動抑制研究*

張榮蕓 王 朕 時培成 趙林峰 劉亞銘 張 斌

(1.安徽工程大學機械工程學院 蕪湖 241000；2.安徽工程大學汽車新技術安徽省工程技術中心 蕪湖 241000；3.合肥工業(yè)大學汽車與交通工程學院 合肥 230009)

1 引言

永磁同步電機(Permanent magnet synchronous motor, PMSM)因功率因數高、結構簡單、可靠性好等優(yōu)點，在汽車驅動領域、辦公自動化設備以及高精度加工等方面獲得了廣泛應用。傳統直接轉矩控制通過滯環(huán)控制器和逆變器完成轉矩控制，但逆變器的開關頻率不高以及滯環(huán)控制的不精確性會導致轉矩的脈動[1-3]，這使得永磁同步電機的應用受到了較大限制，因此，轉矩脈動的抑制成為了倍受關注的問題。

目前，許多學者主要通過以下控制方法來實現轉矩脈動抑制，如PI 控制[4-6]、模糊控制[7-8]以及滑?？刂芠9-12]等。PI 控制可以一定程度上降低轉矩脈動，但傳統PI 控制器的參數確定較為復雜，可供選擇的參數整定方法較少，且PI 控制器對電機參數、轉速和負載變化都較為敏感，對電機的工作環(huán)境要求較高。為了克服PI 參數調節(jié)困難和魯棒性較差的問題，很多學者提出了模糊控制。例如文獻[13]設計了一種新型模糊控制器代替PI 控制器，一定程度上克服了PI 參數調節(jié)困難和魯棒性較差的問題，但模糊規(guī)則的建立較為困難，模糊規(guī)則制定不合理還可能會導致模糊控制效果變差。針對以上問題，有學者提出了滑?？刂撇呗浴；？刂瓶稍趦蓚€方面減小轉矩脈動。一方面是通過構造滑?？刂破鱽頊p小轉矩的脈動。文獻[14]提出一種雙滑模控制方案，通過分別設計磁鏈和轉矩控制器代替滯環(huán)控制器實現對PMSM 的控制，該方案可以克服傳統滯環(huán)控制器的脈動，但該滑?？刂破饕詓ign 函數作為切換函數，又給系統帶來了高頻抖振。文獻[15]提出了基于新型趨近率的滑模控制器，在設計趨近律的過程中，將sign 函數替換為sat 函數，一定程度上減小了抖陣。然而上述文獻中提出的都是整數階滑模，且僅在滑模的滑動階段具有魯棒性，不具備全局魯棒性，導致趨近階段的控制效果較差。另一方面是通過構造觀測器間接減小脈動。文獻[16]設計了電壓型定子磁鏈觀測器，由電壓型定子磁鏈觀測器表達式可知，定子電阻的變化是導致定子磁鏈觀測不準確的主要原因。在定子電阻可變的場合，電壓型定子磁鏈觀測器觀測到的磁鏈幅值有著較大的誤差。文獻[17]提出了基于電流模型的磁鏈觀測器，但沒有考慮電機參數對觀測結果的影響。文獻[18]提出一種擴展卡爾曼濾波與滑模觀測器結合的方法減小系統抖振，但是仍然沒有考慮定子電阻變化對結果的影響。

綜上所述，本文針對永磁同步電機轉矩脈動的問題，提出了一種基于構造分數階全局滑?？刂破骱突贓lman 神經網絡電阻辨識的磁鏈觀測器的PMSM 轉矩脈動抑制方法。首先，建立了PMSM 的數學模型，介紹了分數階微積分的定義，為了減小抖振且具有全局魯棒性，設計了以磁鏈和轉矩誤差為滑模面的分數階全局滑?？刂破?；另外，通過Elman 神經網絡完成定子電阻辨識，設計了一種考慮定子電阻變化的滑模磁鏈觀測器來改善磁鏈觀測精度，進一步達到抑制轉矩脈動的目的。最后，在Matlab/Simulink 軟件和電機試驗臺上對本文提出的PMSM 轉矩抑制方法進行了仿真和試驗驗證，結果表明，本文所提方法可以明顯減少PMSM 轉矩脈動。

2 系統數學模型與分數階微分定義

2.1 PMSM 數學模型

為了便于控制器設計，本文建立兩相旋轉坐標系下的數學模型，其電壓方程可以表示為

式中，ud、uq分別為d-q旋轉坐標系下的定子電壓分量；id、iq分別為d-q旋轉坐標系下的定子電流分量；dL、qL分別為d-q旋轉坐標系下的電感分量；eω為電角速度；fψ為永磁體轉子磁鏈；R為定子電阻。

本文以表貼式PMSM 為研究對象，其電感滿足Ld=Lq，電磁轉矩方程可以表示為

式中，eT為電磁轉矩；pn為PMSM 的磁極對數。

磁鏈方程可表示為

同時有

式中，θ為轉矩角；L為定子電感。

為了方便后面控制器的設計，分別對Te、sψ求導。

首先，對式(2)求導，并將式(1)代入可得

其次，由式(3)～(5)可得

2.2 分數階微分定義

自分數階微積分被提出以來，應用就越來越廣泛，同時也越來越受到學者們的關注。它的定義首先從連續(xù)函數的整數階導數開始，然后將整數階導數推廣到任意實數。也就是說整數階微積分僅僅是分數階微積分的一種特殊形式。毫無疑問，分數階微積分相比于整數階微積分更能準確表達確定系統的數學模型[19]。并且分數階系統具有記憶性，可以緩慢傳遞能量，防止抖振。利用分數階微積分設計的控制器相比于傳統整數階控制器，具有更好的控制性能[20-21]。下面介紹分數階微積分定義及運算性質，為下文分數階全局滑模控制器的設計提供知識準備。

由于應用范圍的不同，分數階微積分定義的形式主要有G-L 型、R-L 型和Ca-Puto 型三種[22]。由于Ca-Puto 型分數階微積分定義能很好地應用到現實模型中，運算相對簡單，且使得Laplace 變換式容易求解，故廣泛應用于工程背景下的物理問題中。因此，本文選擇Ca-Puto 型分數階微積分的定義形式，并以此為基礎設計分數階全局滑?？刂破?，其統一定義為

Γ(·) 為Gamma 函數，可表示為

由式(8)可知，當n- 1≤α≤n時，表示的是區(qū)間[a,t] 上的分數階微積分；當α=n時，表示的是區(qū)間[a,t] 上的整數階微積分。

分數階微積分有不同的定義形式，針對本文選擇的定義形式，其常見計算性質如式(11)所示，將在下文控制器設計中應用到。

3 分數階全局滑?？刂破髟O計

本文直接以磁鏈誤差和轉矩誤差為控制器的輸入，設計了分數階全局滑模控制器取代傳統DTC 中的滯環(huán)控制器。全局滑?？杀ＷC系統的初始狀態(tài)在滑模面上，故消除了滑?？刂频内吔A段，克服了傳統滑模趨近模態(tài)不具備魯棒性的問題，另外，分數階滑?？刂破鞯脑O計還能抑制磁鏈和轉矩脈動?；诜謹惦A全局滑模和磁鏈觀測器的PMSM DTC框圖如圖1 所示。

圖1 基于分數階全局滑模和磁鏈觀測器的PMSM DTC系統框圖

3.1 分數階全局滑模面設計

滑模面是滑?？刂破鞯闹匾M成部分，已知分數階控制器具有更好的控制性能。因此，可通過設計分數階滑模面來抑制磁鏈和轉矩脈動，提高控制性能。本文假設PMSM 的轉矩誤差為eT=-Te，磁鏈誤差為eψ=-ψs，其中分別為轉矩和磁鏈給定值。

首先，定義分數階轉矩和磁鏈滑模面為

式中，0 和t為分數階積分的上下限；1c、c2表示滑模增益。

為了保證初始時刻的狀態(tài)處于滑模面上，消除滑模控制的趨近模態(tài)，使系統的響應在全局都具有魯棒性，本文在式(12)和式(13)的基礎上，設計了轉矩和磁鏈全局滑模面分別為

式中，f(t) 為待設計函數。f(t) 是為了保證在初始時刻系統的任意狀態(tài)都處于滑模面上，即當t=0 時可以保證s=0。根據f(t) 需要滿足的條件，可以令

3.2 分數階滑?？刂破髟O計

已知直接轉矩控制中包括兩個滯環(huán)控制器和一個PI 控制器，本文將傳統直接轉矩控制中的滯環(huán)控制器替換為分數階全局滑?？刂破鳎赃_到減小轉矩脈動的目的。

首先，對Te求導并將式(6)代入可得

式中，φ=。

對 ψe求導并將式(7)代入可得

式中，μ=。

分別對式(14)和式(15)求導，并結合式(16)和式(17)可得

為了PMSM 能獲得較好的動態(tài)品質，采用等速趨近律

式中，sgn(s) 表示符號函數；ε＞0 。

為了保證系統的穩(wěn)定性，即滿足條件V˙≤0 可以設計控制律為

為了消除因引入符號函數而帶來的抖振，本文用雙曲正切函數H(x) 來代替符號函數。

3.3 滑?？刂破鞣€(wěn)定性分析

可利用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據證明全局滑模控制器的穩(wěn)定性，構造李雅普諾夫函數為

對李雅普諾夫函數求導可得

同理

根據李雅普諾夫穩(wěn)定性判據可知，滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性條件是構造一個李雅普諾夫函數V，且滿足≤0 。由以上分析可知當≤0 時，即基于轉矩誤差設計的分數階全局滑?？刂破鳚M足穩(wěn)定性條件。同理當≤ 0時，即基于磁鏈誤差設計的分數階全局滑?？刂破鳚M足穩(wěn)定性條件。

4 磁鏈觀測器設計

由PMSM 數學模型可知，定子磁鏈觀測精度會直接影響PMSM DTC 的控制性能。如果磁鏈的相位誤差過大，則會導致扇區(qū)選擇錯誤，輸出錯誤的電壓矢量，如果磁鏈幅值誤差過大，會使輸出轉矩不準確，最終會導致電機直接轉矩控制的轉矩脈動加劇，不利于電機使用性能的改善。

同時由電機磁鏈方程式(3)可知，電機定子電阻值變化也會對磁鏈觀測結果產生影響。因此，本文為避免電機定子電阻影響觀測精度，利用Elman 神經網絡算法對電機電阻進行了辨識，然后基于電阻辨識結果，設計了磁鏈滑模觀測器，從而實現定子磁鏈的精確觀測，以達到抑制轉矩脈動的目的。

4.1 電機狀態(tài)方程

假設三相PMSM 為理想電機，選擇在兩相靜止坐標系下建立數學模型，可以得到以si和sψ為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程

4.2 磁鏈滑模觀測器設計

在電機運行過程中，電阻會根據運行時間、外界溫度、電流和頻率的變化而變化，如果依然將電阻當作一個常量，則會嚴重影響磁鏈的觀測精度。因此，本文設計了基于Elman 神經網絡電阻辨識的磁鏈滑模觀測器，來進一步提高磁鏈的觀測精度。

基于Elman 神經網絡電阻辨識的磁鏈滑模觀測器設計思想是：首先，構造以電流和磁鏈為狀態(tài)變量的滑模觀測器，然后，用Elman 神經網絡完成電阻的辨識，最后，構造李雅普諾夫函數，證明本文設計觀測器的穩(wěn)定性。

若將電阻當作變量，則可構造如下觀測器

將式(27)減去式(28)可得觀測誤差方程為

為了消除符號函數引入帶來的抖振，用tanh(x)來代替符號函數sgn(s)。接下來用神經網絡來辨識出定子電阻的值。

以上回歸方程中，fairness代表社會公平感知，其中，fairness1代表整體社會公平感知，fairness2代表個人收入公平感知；pension代表社會養(yǎng)老保險參與，medical代表社會醫(yī)療保險參與；c-pension代表商業(yè)養(yǎng)老保險參與，c-medical代表商業(yè)醫(yī)療保險參與；pension* medical為社會養(yǎng)老保險與社會醫(yī)療保險的交互項，代表社會保險的整體參與情況，c-pension* c-medical為商業(yè)養(yǎng)老保險和商業(yè)醫(yī)療保險的交互項，代表商業(yè)保險的整體參與情況。α0為常數項，α1、α2、α3、α4、α5、α6分別為六個自變量的回歸系數。

4.3 基于Elman 神經網絡的電阻辨識

Elman 神經網絡是一種典型的局部回歸網絡，可將它看成一個具有局部記憶單元和局部反饋的前向神經網絡。Elman 神經網絡包括輸入層、隱含層、承接層和輸出層。其中，承接層與每一個隱含層節(jié)點都相連接，其作用是將上一時刻的隱含層狀態(tài)連同當前時刻的輸入一起作為隱含層的輸入。也就是說，它可從隱含層接收反饋信號，使Elman 神經網絡對歷史數據較為敏感，對系統的動態(tài)辨識具有重要意義。Elman 神經網絡結構如圖2 所示。

圖2 Elman 神經網絡結構圖

本文以定子電流參考值和定子電流實際值的差e(k) 以及它們的誤差變化 Δe(k)作為Elman 神經網絡的輸入。定子電阻變化為輸出。輸入輸出關系圖如圖3 所示。

圖3 Elman 神經網絡流程圖

其中

同時以電阻變化RΔ 為Elman 神經網絡的輸出。由圖3 可知將神經網絡的輸出加上電阻上一時刻的值，就可以得到辨識的電阻值，然后將其用于磁鏈滑模觀測器的設計。

為了實現對定子電阻的辨識，以下面的步驟完成對Elman 神經網絡的訓練[23]。

步驟2：根據仿真獲得Elman 神經網絡的輸入輸出數據。

步驟3：計算輸出層的輸出。輸出層輸出為

式中，f()· 表示激活函數，本文取其為tansig 函數。

步驟4：計算輸出誤差。

步驟5：權值更新。其中權值的變化為

對于輸出層的權值有

隱含層的權值有

承接層的權值有

如果得到的權值不小于給定的誤差，則返回步驟3，直到滿足小于給定誤差，就可得到訓練好的Elman 神經網絡。然后將神經網絡的輸出加上上一時刻的電阻值就可以得到辨識后的電阻。即有

以上為Elman 電阻辨識的過程。

為了證明定子電流觀測滑動模態(tài)的存在性，構造李雅普諾夫函數

對V求導，并結合式(30)可得

對李雅普諾夫函數求導可得

5 試驗驗證

為了進一步驗證本文所提方法的有效性，搭建了電機試驗臺架。試驗臺架由PMSM、電機試驗箱和上位機組成。將Simulink 中的仿真模型通過CCS6.2 生成可以在DSP 中運行的代碼，再將代碼下載到TMS320F28335 之中，然后由逆變器輸出信號，完成對PMSM 的控制。試驗中，利用串聯可變電阻來模擬定子電阻的變化。為了獲得更好的控制效果選擇ε=90 、c1=30 、c2=33 ，本文中PMSM的電機參數與仿真相同，電機試驗臺架實物如圖4所示，電機參數如表1 所示。

表1 永磁同步電機參數

圖4 試驗臺架

5.1 分數階階次確定及電阻辨識分析

首先，仿真確定分數階全局滑?？刂破鞯碾A次。將分數階全局滑?？刂破鞯碾A次分別選擇α=0.1、α=0.2、α=0.3、α=0.4、α=0.5、α=0.6、α=0.7、α=0.8、α=0.9 來進行仿真分析。通過仿真得到不同階次全局滑?？刂破骺刂葡碌拇沛満娃D矩值，然后確定最優(yōu)的階次。為了確保磁鏈觀測效果僅與α的取值有關，設置分數階全局滑?？刂破骱痛沛溣^測器的其他參數相同，仿真結果如圖5 和圖6 所示。

圖5 不同分數階階次的磁鏈曲線

圖6 不同分數階階次的轉矩曲線

圖7 和圖8 分別為不同階次下分數階全局滑?？刂破鞯拇沛満娃D矩的最大波動值曲線。

圖7 不同分數階階次的最大磁鏈波動值

圖8 不同分數階階次的最大轉矩波動值

由圖7 和圖8 可知，當分數階階次為0.4 時，磁鏈和轉矩的波動值均較小。因此，本文后續(xù)仿真與試驗分析中，采用分數階階次為0.4 的分數階全局滑?？刂破鱽韺MSM 轉矩波動抑制進行研究。

其次，通過仿真分析證明本文所提電阻辨識方法的有效性，并將本文提出的Elman 神經網絡方法和傳統BP 神經網絡方法進行對比，仿真時設定電阻值由1.2 Ω 變化到1.75 Ω，其仿真結果如圖9所示。

圖9 電阻辨識圖

由圖9 可知，本文提出的Elman 神經網絡辨識的電阻值在電阻變化值附近變化，而傳統的BP 神經網絡的電阻辨識值波動較大。因此，仿真結果表明相比于傳統BP 神經網絡，Elman 神經網絡可以更好地完成定子電阻的辨識。

5.2 試驗分析

根據確定的分數階階次和本文提出的電阻辨識方法，利用Matlab/Simulink 建立如圖1 所示的基于分數階全局滑模和磁鏈觀測器的PMSM DTC 系統，并生成代碼，通過CCS6.2 編譯后利用仿真器將C代碼下載到DSP 控制箱中，完成對PMSM 的轉矩脈動抑制試驗。

圖10 和圖11 為傳統DTC 中的磁鏈和轉矩圖。傳統DTC 中采用了滯環(huán)控制器，由于滯環(huán)容差值的存在，導致較大的轉矩脈動。由圖10 可知其磁鏈觀測誤差為0.06 Wb 左右，對于圖11，本文在0.2 s時施加4 N·m 的負載轉矩。此時轉矩脈動范圍最大為2 N·m，通過與下面試驗的對比可知，采用分數階全局滑?？刂破骺梢詷O大減少傳統滯環(huán)控制中的轉矩脈動。

圖10 滯環(huán)控制磁鏈圖

圖11 滯環(huán)控制轉矩圖

圖12 和圖13 分別為基于電阻不辨識磁鏈滑模觀測的整數階、分數階全局滑模和基于電阻辨識磁鏈滑模觀測的分數階、整數階全局滑模的磁鏈試驗對比結果。其中，圖12 為給定轉速為80 r/min 的磁鏈對比圖，由結果可知，基于Elman 神經網絡電阻辨識磁鏈滑模觀測的分數階和整數階全局滑?？刂疲浯沛溍}動范圍最大為0.03 Wb 和0.04 Wb，其他電阻不辨識磁鏈觀測的分數階和整數階全局滑模控制的磁鏈脈動范圍最大分別為 0.04 Wb、0.05 Wb。圖13 為給定轉速為800 r/min 的磁鏈對比圖，由結果可知，基于Elman 神經網絡電阻辨識磁鏈滑模觀測的分數階和整數階全局滑?？刂疲浯沛溍}動范圍最大為0.025 Wb 和0.035 Wb，其他電阻不辨識磁鏈觀測的分數階和整數階全局滑?？刂频拇沛溍}動范圍最大為0.03 Wb、0.04 Wb。因此，試驗證明了分數階全局滑?？刂破骱突贓lman 神經網絡電阻辨識的磁鏈觀測器可以有效地降低磁鏈脈動，同時基于Elman 神經網絡電阻辨識的磁鏈觀測器在低速工況下對磁鏈脈動也有較好的抑制效果。

圖12 低速試驗磁鏈對比圖

圖13 高速試驗磁鏈對比圖

同理，圖14 和圖15 為四種方法的轉矩試驗對比結果。其中，圖14 為給定轉速為800 r/min 的轉矩對比圖，并且在0.2 s 時施加4 N·m 的負載。由圖14 可知，基于Elman 神經網絡電阻辨識磁鏈滑模觀測的分數階和整數階全局滑模控制，其轉矩脈動范圍最大為0.4 N·m 和1 N·m，其他電阻不辨識磁鏈觀測的分數階和整數階全局滑模控制的轉矩脈動范圍最大為0.6 N·m、1.2 N·m。圖15 為給定轉速為80 r/min 的轉矩對比圖，并且在0.2 s 時施加4 N·m 的負載。由圖15 可知，基于Elman 神經網絡電阻辨識磁鏈滑模觀測的分數階和整數階全局滑?？刂?，其轉矩脈動范圍最大為0.6 N·m 和1.2 N·m，其他電阻不辨識磁鏈觀測的分數階和整數階全局滑?？刂频霓D矩脈動最大為1.2 N·m、1.8 N·m。因此，試驗證明了分數階全局滑?？刂破骱突贓lman 神經網絡電阻辨識的磁鏈觀測器可以有效地降低轉矩脈動，同時基于Elman 神經網絡電阻辨識的磁鏈觀測器在低速工況下對轉矩脈動有更好的抑制效果。

圖14 高速試驗轉矩對比圖

圖15 低速試驗轉矩對比圖

6 結論

針對傳統DTC 的轉矩脈動大的問題，本文以PMSM 磁鏈和轉矩誤差來設計分數階滑模面，構建分數階全局滑模控制器代替?zhèn)鹘yDTC 中的滯環(huán)控制器。其次，提出了一種基于Elman 神經網絡電阻辨識的磁鏈滑模觀測器，實現對定子電阻值的精確辨識。最后，構建基于分數階全局滑模控制和Elman神經網絡電阻辨識的磁鏈觀測的PMSM 控制系統，并進行了仿真與試驗分析，得到如下結論。

(1) 本文提出的分數階全局滑模控制器可以有效地解決傳統滑?？刂频亩墩駟栴}，并且降低傳統DTC 的磁鏈和轉矩脈動。

(2) 本文提出的基于Elman 神經網絡電阻辨識的磁鏈滑模觀測器有更高的觀測精度，對定子電阻變化具有魯棒性，可以有效地降低磁鏈和轉矩脈動，同時在低速工況下，對磁鏈和轉矩的抑制效果更好。

(3) 將兩種方法相結合對電機直接轉矩控制中轉矩脈動抑制具有較好效果。