基于累積誤差補(bǔ)償?shù)挠来磐诫姍C(jī)低速插值控制策略*

張冰鑫 劉 侃 李 躍 胡 偉 黃 慶 陳泳丹

(1.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院 長沙 410082；2.株洲中車時代電氣股份有限公司 株洲 412001；3.中國北方車輛研究所 北京 100072)

1 引言

永磁同步電機(jī)(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)具備高功率密度、高能量轉(zhuǎn)換效率等優(yōu)點(diǎn)，近年來在高效能需求的場景，如電動汽車等，得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。PMSM 矢量控制系統(tǒng)的正常運(yùn)行需要獲取穩(wěn)定可靠的轉(zhuǎn)子位置信息，而無位置傳感器算法因可靠性等因素而無法徹底取代編碼器。但低分率編碼器與無位置傳感器算法相互配合的插值控制方案，既可以降低控制成本，又能保障控制系統(tǒng)的可靠性，因此極具應(yīng)用前景[4-7]。

目前主流的插值控制方案有平均速度法[8-11]、平均加速度法[12-13]、觀測器法[14-17]。文獻(xiàn)[8]提出了平均速度法，利用前一個霍爾位置區(qū)間計(jì)算出平均速度，利用計(jì)算結(jié)果對當(dāng)前霍爾位置區(qū)間實(shí)現(xiàn)位置插補(bǔ)，從而在當(dāng)前霍爾位置區(qū)間位置缺省的狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)矢量控制。文獻(xiàn)[12]提出了平均加速度法，利用前兩個霍爾位置區(qū)間計(jì)算出的平均加速度，利用位置-加速度公式，實(shí)現(xiàn)當(dāng)前霍爾位置區(qū)間的位置插補(bǔ)，在位置插補(bǔ)過程中引入平均加速度使得插值算法動態(tài)性能更好，能夠在電機(jī)加減速情況下實(shí)現(xiàn)位置插值。觀測器法中的主流方法是矢量觀測器法[14-17]，矢量觀測器法利用旋轉(zhuǎn)矢量觀測器理論，采用位置觀測器獲取的位置信息用作實(shí)時位置插值，但此方法需要解決觀測器相位滯后等問題。為了解決相位滯后對插值算法造成的不利影響，文獻(xiàn)[18]提出基于觀測器法的插值算法(Observer-based interpolation，OI)，采用位置增量差值信息實(shí)現(xiàn)插值算法。該方法不受觀測器相位滯后的影響，消除了觀測器相位滯后導(dǎo)致的位置誤差，但在每個位置脈沖內(nèi)，電機(jī)參數(shù)不精確等因素導(dǎo)致該算法出現(xiàn)累計(jì)誤差，降低了控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性。

為了降低基于觀測器法的插值算法中誤差累積現(xiàn)象帶來的不利影響，本文提出一種基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴?Accumulative error compensation based position interpolation control，AECPIC)。該方法利用誤差累積方向的一致性，通過計(jì)算獲知上一位置脈沖的累計(jì)誤差，利用此信息構(gòu)造誤差補(bǔ)償項(xiàng)，以降低當(dāng)前位置脈沖的累計(jì)誤差。最后，在750 W 對拖控制系統(tǒng)進(jìn)行了試驗(yàn)，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

2 算法理論

2.1 位置觀測器設(shè)計(jì)

在運(yùn)動坐標(biāo)系中，PMSM 電壓方程為[19]

式中，ud、uq為dq軸電壓；id、iq為dq軸電流；Ld、Lq為dq軸電感；ωe為轉(zhuǎn)子電氣角速度；R為電機(jī)定子繞組；ψf為永磁體磁鏈；p為微分算子。

在兩相靜止坐標(biāo)系中，PMSM 電壓方程為[19]

式中，等式右邊第二項(xiàng)為擴(kuò)展反電勢，其定義如下

將式(2)變更為電流狀態(tài)方程，可得

預(yù)測模型與參數(shù)模型做差后可獲取誤差方程

本文使用Lyapunov 理論證明滑模觀測器的穩(wěn)定性[21]，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)如下

由式(6)可知，V在非零且為正的時刻，因參數(shù)不精確等因素導(dǎo)致誤差永遠(yuǎn)存續(xù)，故V永遠(yuǎn)為正。對構(gòu)造的函數(shù)式(6)求導(dǎo)，可得

在k滿足式(11)約束條件時，滑模增益可取任意數(shù)。在此前提下，可保證設(shè)計(jì)的擴(kuò)展反電勢觀測器在有限的時間內(nèi)收斂，從而保證了觀測器的可觀性存在。為了降低剛性切換函數(shù)sign引入的抖振，在后文試驗(yàn)過程中，使用sigmoid函數(shù)替代sign函數(shù)，替換后不影響上文的可觀性證明[22]。本文使用的sigmoid函數(shù)定義如下

在上述滑模觀測器得到擴(kuò)展反電勢信息后，可結(jié)合鎖相環(huán)技術(shù)完成相位鎖定，進(jìn)而得到轉(zhuǎn)子的位置信息，但滑模觀測器獲取的信息需要經(jīng)過低通濾波器濾波后方可輸入鎖相環(huán)使用。鎖相環(huán)的原理如圖1 所示，PI 表示比例積分控制器，滑模觀測器與鎖相環(huán)共同構(gòu)成了位置觀測器。

圖1 鎖相環(huán)原理示意圖

2.2 傳統(tǒng)基于觀測器法的插值算法

通過插值算法可實(shí)現(xiàn)動態(tài)擬合轉(zhuǎn)子實(shí)時運(yùn)動軌跡，還可有效提高低線數(shù)編碼器閉環(huán)控制精度。從位置觀測器獲取位置信息后，利用插值算法可實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)子位置插補(bǔ)?；谟^測器法的插值算法實(shí)現(xiàn)表述如下[18]：在控制策略中，每個采樣時刻獲取實(shí)時編碼器位置信息。判斷當(dāng)前采樣時刻與上一個采樣時刻編碼器的位置是否相同。若相鄰采樣時刻的編碼器位置一致，則進(jìn)入插值算法模塊，在插值算法模塊中，對位置觀測器獲取的位置信息進(jìn)行做差運(yùn)算，以獲取當(dāng)前采樣時刻位置信息的增量，并將當(dāng)前時刻的位置增量賦給存儲增量值的靜態(tài)變量，將靜態(tài)變量值與當(dāng)前時刻的編碼器位置做和運(yùn)算，從而獲得當(dāng)前插值位置，并用插值位置參與坐標(biāo)變換運(yùn)算，完成矢量控制閉環(huán)動作。在每個位置脈沖內(nèi)，該靜態(tài)變量可以記住上一時刻的累計(jì)位置增量。若相鄰采樣時刻的編碼器位置信息發(fā)生跳動，表明此時編碼器的位置信息發(fā)生變更，應(yīng)將編碼器位置信息賦給當(dāng)前插值位置，進(jìn)而參與矢量控制閉環(huán)，同時，此刻將靜態(tài)變量清零，以便在下一個位置脈沖重新計(jì)數(shù)，此操作可以消除位置觀測器相位滯后引入的不利影響?；谟^測器法的插值算法的執(zhí)行步驟表述如下，其中，下標(biāo)enc表示從編碼器中獲取的離散位置信息，下標(biāo)comp表示補(bǔ)償值，即累積增量值，int表示插值位置，k表示不同的時序。

插值程序執(zhí)行步驟如下所示。

步驟 1：程序啟動，獲取當(dāng)前編碼器位置θenc[k+1]。

步驟2：判斷θenc[k+1]與θenc[k]是否相等，若兩者相等，進(jìn)入步驟3；否則，將θenc[k+1]賦給θint[k+1]，進(jìn)入步驟5，同時將θcomp清零。

步驟3：計(jì)算當(dāng)前時刻位置觀測器的增量，并于上一時刻的累積增量θcomp[k]相加，得到當(dāng)前時刻的累積增量θcomp[k+1]。

步驟4：將當(dāng)前時刻的累積增量與θenc[k+1]相加，將結(jié)果賦值給θint[k+1]。

步驟5：輸出θint[k+1]，程序結(jié)束。

分析基于觀測器法的插值算法可知，插值位置存在以下可能。出于簡化分析的目的，取相鄰兩個位置脈沖的插值結(jié)果進(jìn)行演示，可能情況如圖2 所示。從圖2 可看到相鄰兩個位置脈沖所有可能的插值情況。在理想情況下，即誤差允許的范圍內(nèi)，認(rèn)為存在B1、B2兩種插值結(jié)果。實(shí)際上由于離散化誤差的影響，完美擬合的情況并不存在。為了進(jìn)一步簡化分析，可將B1、B2兩種插值結(jié)果去掉，通過排列組合可知，此時存在4 種組合方式，即A1A2、A1C2、C1A2、C1C2。在上述四種插值結(jié)果中，認(rèn)為A1、A2正向誤差累積過多，相應(yīng)地認(rèn)為C1、C2負(fù)向誤差累積過多，兩類誤差現(xiàn)象均可歸類至同向累積誤差，剩下的插值情況可分類至非同向累積誤差。經(jīng)過試驗(yàn)觀察，在相鄰位置脈沖中，A1A2、C1C2組合是最常見的兩種插值結(jié)果，即最常見的誤差累積現(xiàn)象表現(xiàn)出同向誤差累積特點(diǎn)。分析常見的兩個插值組合可知，插值誤差在大多數(shù)情況下，表現(xiàn)出同向累積特性，即在相鄰兩個位置脈沖，誤差累積方向同為正向累積或同為負(fù)向累積。

圖2 兩個相鄰位置脈沖的插值結(jié)果

2.3 基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴?/h3>

基于上述分析，為改善A1A2、C1C2兩種插值結(jié)果帶來的不利影響，本文引入累積誤差補(bǔ)償策略實(shí)現(xiàn)插值控制，即利用基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴▽?shí)現(xiàn)閉環(huán)控制。在每個位置脈沖的起始點(diǎn)，將前一個采樣時刻插值位置與當(dāng)前位置脈沖的起始位置做差，所得結(jié)果記為前一個位置脈沖的累積插值誤差?？紤]相鄰位置脈沖的累積誤差大致相當(dāng)，將上一位置脈沖的累積誤差視為當(dāng)前位置脈沖結(jié)束時的累積誤差，依據(jù)誤差反向相消原理，在當(dāng)前位置脈沖內(nèi)逐采樣周期做出位置補(bǔ)償。在具備誤差同向傳遞性的相鄰位置脈沖，因累積誤差相當(dāng)?shù)幌嗟?，上一位置脈沖的累積誤差不能直接作為當(dāng)前位置脈沖的累積誤差，需要引入縮放因子α構(gòu)造當(dāng)前位置脈沖的累積誤差。整個插值控制程序框圖如圖3 所示，圖3 中下標(biāo)與基于觀測器法的插值算法執(zhí)行步驟中含義一致。

圖3 基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴▓?zhí)行流程圖

基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴▓?zhí)行步驟如下所示。

步驟 1：程序啟動，獲取當(dāng)前編碼器位置

θenc[k+1]。

步驟2：進(jìn)入判斷模塊，比較θenc[k+1]與θenc[k]是否相等，若兩者相等，進(jìn)入步驟3；否則，將θenc[k+1]賦給θint[k+1]，進(jìn)入步驟5，同時，將θcomp清零。

步驟3：計(jì)算當(dāng)前時刻位置觀測器的增量，并與上一時刻的累積增量θcomp[k]相加，得到當(dāng)前時刻的累積增量θcomp[k+1]。

步驟4：若上一位置脈沖的累積誤差超過誤差限，進(jìn)入基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴?，累積增量θcomp[k+1]、誤差補(bǔ)償項(xiàng)i×α×errorlastsum、當(dāng)前編碼器位置θenc[k+1]三者相加，所得結(jié)果賦給θint[k+1]。在誤差補(bǔ)償項(xiàng)中，i為分式，初始值為0，分子在每個采樣周期加1，分母為當(dāng)前位置脈沖包含的采用周期總數(shù)，起到逐采樣周期抵消累積誤差的作用，α是縮放因子，在當(dāng)前位置脈沖結(jié)束時，i重置為零，errorlastsum是上一位置脈沖的累積誤差；否則進(jìn)入基于觀測器法的插值算法，累積增量θcomp[k+1]與θenc[k+1]相加，所得結(jié)果賦值給θint[k+1]。

步驟5：輸出θint[k+1]，程序結(jié)束。

3 試驗(yàn)設(shè)置

本文所有試驗(yàn)在750 W 的IPMSM 對拖控制系統(tǒng)完成，試驗(yàn)裝置如圖4 所示。裝置中IPMSM 的參數(shù)如表1 所示，負(fù)載電機(jī)是安川伺服電機(jī)，通過安川變頻器控制，負(fù)載電機(jī)工作于轉(zhuǎn)矩控制模式?？紤]文中試驗(yàn)最高速度為50 r/min，位置觀測器中的低通濾波器截至頻率設(shè)置為：50×5×3/60 Hz=12.5 Hz。sigmoid函數(shù)中的待定系數(shù)為a=5。鎖相環(huán)中PI 參數(shù)如下：kp=150，ki=250。文中利用光電編碼器模擬低線數(shù)編碼器，編碼器線數(shù)為2 500 線，依據(jù)降采樣模塊可得：2 500×250/10 000=62.5，此時模擬編碼器為62.5 線；同時，未經(jīng)降采樣模塊的位置信息作為對照以評判插值算法的優(yōu)劣，不參與閉環(huán)控制過程。誤差補(bǔ)償項(xiàng)中的縮放因子取α=0.9。誤差限設(shè)置為errorsetting=0.004 rad，當(dāng)累積插值誤差超過誤差限，啟動基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴ǎ駝t，啟動基于觀測器法的插值算法進(jìn)行插值控制。以下試驗(yàn)結(jié)果均是通過插值位置實(shí)現(xiàn)閉環(huán)矢量控制，依據(jù)速度-位置構(gòu)成的積分鏈，反饋速度由實(shí)時插值位置計(jì)算獲取。依前所述，總體控制框圖如圖5 所示，PI 表示比例積分控制器。

表1 電機(jī)參數(shù)表

圖4 試驗(yàn)裝置

圖5 總體控制框圖

4 試驗(yàn)分析

圖6 為參考轉(zhuǎn)速30 r/min、空載條件下的試驗(yàn)波形，圖6a、圖6b 表示基于觀測器法(OI)的插值算法插值位置與插值誤差，圖6c、圖6d 表示基于累積誤差補(bǔ)償?shù)牟逯悼刂扑惴?AECPIC)插值位置與插值誤差，插值誤差定義為位置降采樣之前的編碼器位置減去插值位置。RMSE 表示插值誤差的均方根誤差，ME 表示插值誤差的最大誤差，ME 中數(shù)值前方的“-”表示超前誤差，“+”表示滯后誤差。表2 為不同參考轉(zhuǎn)速空載條件下的OI 算法與AECPIC 算法性能對比。從圖6a、圖6c 可以分析出，在空載工況下，基于觀測器法的插值算法和所提插值控制算法在參考轉(zhuǎn)速30 r/min 時均能很好地跟蹤實(shí)際的轉(zhuǎn)子位置；從圖6b、圖6d 可以分析出，AECPIC 算法插值誤差減小，在低速域工況性能表現(xiàn)更好，其空載時插值位置誤差的誤差帶穩(wěn)定在 0.02 rad(1.15°)內(nèi)。

表2 空載條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比

圖6 給定轉(zhuǎn)速為30 r/min、空載條件下OI 算法與AECPIC 算法試驗(yàn)波形對比圖

圖7 為參考轉(zhuǎn)速30 r/min、恒定0.5 N 負(fù)載條件下的試驗(yàn)波形，圖片順序信息與圖6 相同。表3 為0.5 N 負(fù)載、不同參考轉(zhuǎn)速下OI 算法與AECPIC 算法性能對比。圖7 表明，在0.5 N 負(fù)載條件下，從圖7a 可看出，OI 算法表現(xiàn)出了位置諧波現(xiàn)象，從圖7c 則可看出，所提算法的插值位置中諧波更少，表明所提方法能有效改善位置諧波現(xiàn)象。綜合表3可得出如下結(jié)論：在恒定負(fù)載工況下，所提算法能有效提高位置插值精度，提升效果與參考速度正相關(guān)；OI 算法與AECPIC 算法的插值誤差的誤差帶與參考轉(zhuǎn)速正相關(guān)。

表3 0.5 N 負(fù)載條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比

圖8 為參考轉(zhuǎn)速30 r/min、恒定0.5 N 負(fù)載、1～2 s 施加0.5 N 外界擾動條件下的試驗(yàn)波形圖，順序信息與圖6 相同，表4 為恒定0.5 N 負(fù)載、1～2 s施加0.5 N 外界擾動、不同參考轉(zhuǎn)速條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比。分析圖8 可看出，OI 算法在該測試工況下同樣表現(xiàn)出位置諧波現(xiàn)象。從圖8b、圖8d 可看出，施加0.5 N 外界擾動后，轉(zhuǎn)子先減速，隨后加速至給定轉(zhuǎn)速。在此過程中，OI 算法的插值誤差峰值為 0.19 rad，穩(wěn)態(tài)誤差帶為±0.050 rad，AECPIC 算法的插值誤差峰值為0.053 rad，穩(wěn)態(tài)誤差帶為±0.03 rad。

表4 0.5 N 負(fù)載、0.5 N 階躍負(fù)載擾動條件下OI 算法與AECPIC 算法性能對比

圖8 0.5 N 負(fù)載、0.5 N 階躍負(fù)載、給定轉(zhuǎn)速30 r/min 條件下OI 算法與AECPIC 算法試驗(yàn)波形對比圖

5 結(jié)論

在每個編碼器位置脈沖內(nèi)，誤差累積導(dǎo)致插值算法的控制精度和穩(wěn)定性降低。針對此問題，本文基于誤差補(bǔ)償思想提出了一種插值控制策略，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性和可行性。主要結(jié)論如下所述。

(1) 在不同負(fù)載、不同參考轉(zhuǎn)速工況中對所提方法進(jìn)行了試驗(yàn)，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)方法相比，所提方法有效抑制了位置脈沖間的同向誤差傳播現(xiàn)象，其控制精度和抗外部擾動能力更優(yōu)。

(2) 所提方法不需要額外增加硬件，易于實(shí)現(xiàn)，具有一定的工程應(yīng)用價值。

(3) 所提方法未考慮逆變器非線性因素環(huán)節(jié)，研究考慮非線性因素補(bǔ)償?shù)牡退俨逯悼刂扑惴?，這是今后本文的改進(jìn)方向。