地下管線探測三維數(shù)據(jù)聯(lián)合平差模型

張劍峰

(蘭州市勘察測繪研究院,甘肅 蘭州 730030)

0 引 言

城市地下管網(wǎng)是城市生存和發(fā)展的生命線,高質(zhì)量地下管線數(shù)據(jù)對維系城市日常功能、提升防災(zāi)救災(zāi)能力至關(guān)重要,各地對地下管線精細(xì)化管理和竣工測量工作日益重視。而對已覆土的城市管線實(shí)施竣工測量時(shí),由于干擾因素和探測方法限制,數(shù)據(jù)誤差較大,往往會出現(xiàn)燃?xì)狻崃?、給水、工業(yè)等硬管的探測結(jié)果和實(shí)際形態(tài)偏差明顯,如管線轉(zhuǎn)角、半徑與實(shí)際不符,直線上點(diǎn)不共線,圓弧上點(diǎn)不共弧等。在實(shí)際應(yīng)用中,不得不參照轉(zhuǎn)角、半徑等參數(shù)做一些近似性強(qiáng)制歸化工作,導(dǎo)致成果精度較低,而且由于只考慮水平方向的約束,而忽略豎向分量,致使管線在三維框架下仍存在轉(zhuǎn)角和半徑失真,同一直線的豎向坡度不一致等情況。

由于以往管線探測項(xiàng)目以常規(guī)普查為主,主要目標(biāo)是解決資料有無問題,加上歷史資料較少,普查成果龐雜,對管線固有屬性表達(dá)的精準(zhǔn)性需求并不嚴(yán)格。但目前,管線測量工作的重心逐步轉(zhuǎn)向竣工測量和已有成果質(zhì)量的提升,各種失真情況會直接影響對設(shè)計(jì)、施工、測驗(yàn)等各環(huán)節(jié)的質(zhì)量評價(jià)和績效考核,原有作業(yè)模式嚴(yán)重影響了成果質(zhì)量。目前,尚無面向三維框架的管線探測數(shù)據(jù)平差方案以供探測工作者使用,甚至相關(guān)研究也比較少。

文獻(xiàn)[1]基于管線設(shè)計(jì)資料,通過計(jì)算管網(wǎng)水平和豎向閉合差以及相鄰邊形成面片閉合差的方法,對管線空間數(shù)據(jù)進(jìn)行平差處理,但對探測數(shù)據(jù)的質(zhì)量檢測和優(yōu)化并沒有涉及。文獻(xiàn)[2]基于管線屬性邏輯、拓?fù)潢P(guān)系、空間碰撞等提出了通過建立管線檢查知識規(guī)則庫及其推理機(jī),利用GIS對管線數(shù)據(jù)進(jìn)行智能化檢查的理論與方法。文獻(xiàn)[3-6]研究管線可視化以及對管線數(shù)據(jù)如何利用GIS手段管理和應(yīng)用。文獻(xiàn)[7-9]闡述了大規(guī)模管線普查完成后,竣工測量和管線數(shù)據(jù)質(zhì)量提升工作在管線管理中的地位,并為管線信息系統(tǒng)維護(hù)和應(yīng)用提出了展望和要求。文獻(xiàn)[10]在討論道路曲線基本單元數(shù)字化數(shù)據(jù)處理模型的基礎(chǔ)上建立了道路曲線的聯(lián)合平差模型,探討了以線形為特征的道路數(shù)據(jù)的平差處理方法,提出了道路曲線數(shù)字化的精度評價(jià)方法,但未考慮特性線在三維空間的幾何特性。文獻(xiàn)[11]在研究經(jīng)典整體最小二乘法的基礎(chǔ)之上,推導(dǎo)了非線性整體最小二乘平差計(jì)算模型并設(shè)計(jì)了迭代算法。文獻(xiàn)[12,13]基于空間向量,提出了空間圓形要素的擬合檢測方法,但需要觀測點(diǎn)位均勻分布于圓周,對地下管線而言,圓弧段只占整個(gè)圓周的局部,采用這種模型解算時(shí)存在較大不確定性。目前鮮有文獻(xiàn)針對管線探測數(shù)據(jù)的質(zhì)量提升和評價(jià)做專門研究。本文在三維框架下,基于地下管線的固有線性幾何屬性,系統(tǒng)地探討了三維地下管線的數(shù)學(xué)模型,并提出了探測數(shù)據(jù)聯(lián)合平差模型和精度評價(jià)方法。

1 地下管線空間幾何特點(diǎn)

給水、熱力、燃?xì)?、輸油和工業(yè)等地下管線一般為硬質(zhì)管道,可以抽象為線段和圓弧兩類基本組成單元,不同單元之間通過三通、四通、分支點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、變材點(diǎn)、變坡點(diǎn)、變徑點(diǎn)、起訖點(diǎn)等節(jié)點(diǎn)連接。

在轉(zhuǎn)折點(diǎn)、變坡點(diǎn),管線一般通過彎頭調(diào)整水平走向和豎向坡度,探測成果中三維管線夾角應(yīng)與預(yù)制彎頭轉(zhuǎn)角參數(shù)值一致;管線段在交匯于三通、四通、變徑點(diǎn)、變材點(diǎn)時(shí),一般具有相互垂直、共線、共面等幾何屬性;相鄰管線段(直線段間、直線與圓弧)存在共面關(guān)系;直、園相接時(shí),二者在三維空間相切;新建管線和既有管線連接時(shí),節(jié)點(diǎn)一般為檢查井內(nèi)明顯點(diǎn),其坐標(biāo)較一般探測點(diǎn)量測精度更高,又因既有管線數(shù)據(jù)往往已做入庫管理,在精度滿足要求時(shí),一般視其坐標(biāo)值為已知量。

綜上所述,地下管線間存在以下幾何特性:①同一段管線上的點(diǎn)之間在三維框架下有共線、共弧關(guān)系,②相鄰的直線和圓弧應(yīng)相切,相鄰直線段共面且夾角與設(shè)計(jì)參數(shù)一致,③在三通、四通、分支等聚合點(diǎn)上,相關(guān)管線具有共面、共線、垂直等幾何特性,④新增管線應(yīng)附合到既有管線點(diǎn)上。

2 地下管線數(shù)學(xué)模型

由于管線由直線和圓弧組成,管線各點(diǎn)位坐標(biāo)均可表示為空間直線和圓弧的相關(guān)參數(shù)的函數(shù),因此可以將管線點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測值,采用間接平差方法建立平差模型,并將管線相切、夾角、匯聚、共面等作為限制條件。

按《工程測量通用規(guī)范》精度要求,地下管線測量精度為厘米級,對誤差方程和條件方程取泰勒展開式時(shí),均可只取到一次項(xiàng)。本文對所有涉及角度均取弧度,故文中相關(guān)公式不涉及角度轉(zhuǎn)換。

2.1 直線段誤差方程

如圖1所示,k1、k3分別為直線l投影在xoy面和xoz面直線l′的斜率(k1=tga),k2、k4則分別為相應(yīng)的截距。則直線l的參數(shù)方程為:

圖1

(1)

xi,k1,k,k3,k為未知參數(shù),則相應(yīng)誤差方程為:

(2)

2.2 圓弧段誤差方程

空間圓弧可視為xoy平面上的圓弧繞各個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)并做平移后所得,由于圓弧上點(diǎn)和各旋轉(zhuǎn)角之間存在相關(guān)性,故只選用繞x軸的轉(zhuǎn)角φ和繞z軸的轉(zhuǎn)角k。則有圓弧參數(shù)方程:

(3)

(xc,yc,zc)T為圓心坐標(biāo),θi為弧段上諸點(diǎn)在原始狀態(tài)所對應(yīng)半徑與x軸夾角。

取xc、yc、zc、k、φ、θi作為未知參數(shù),當(dāng)半徑不確定時(shí),r也應(yīng)作為未知參數(shù)。

因式(3)是一個(gè)非線性函數(shù),采用泰勒公式展開,只保留一次項(xiàng),可建立線性誤差方程(4):

(4)

對圓弧上每個(gè)點(diǎn)i,B為3×4的系數(shù)矩陣,各系數(shù)取值分別如下:

b32=0

2.3 條件方程

在以上誤差方程基礎(chǔ)上,考慮到管線段間的空間關(guān)系,還應(yīng)存在以下條件方程:

(1)圓心到直線距離條件方程

空間直線l和圓弧c相切的充要條件是二者共面且圓心Pc到直線l的距離等于半徑。

(5)

對式(5)做平方變換并線性化可得到以下線性條件方程:

(6)

其中:

(2)直線和圓弧共面條件方程1

對直線l和圓弧c共面的情況,選直線l上A|x=0、B|x=1兩點(diǎn)、圓心Pc和圓平面內(nèi)點(diǎn)P0|θ=0,r=1。依據(jù)式(3)可得,P0在空間的直角坐標(biāo)為:

變換可得:

(7)

對式(7)線性化,得到下式:

(8)

(3)直線和圓弧共面條件方程2

考慮到管線中的弧段一般只占圓周中一小段,而圓面和水平面夾角很小,只采用o-x一個(gè)方向約束線弧共面時(shí),往往造成o-y方向誤差較大,故引入點(diǎn)PT|θ=90,r=1,依據(jù)式(3)計(jì)算可得P0在空間的直角坐標(biāo)為:

變換可得:

(9)

線性化后可得到條件方程(10):

(10)

(4)直線相交(匯聚)條件方程

多條直線l1、l2…ln相交時(shí),即存在x,使y1=y2=…=yn,z1=z2=…=zn,設(shè)l2的直線方程為:

y=k5x+k6z=k7x+k8

即可得條件方程(11):

(11)

當(dāng)直線l2起止于Ps(xs,ys,zs)點(diǎn)時(shí),還應(yīng)存在條件方程(12):

(12)

(5)直線夾角條件方程

在線路通過預(yù)制彎頭轉(zhuǎn)折時(shí),相鄰直線l1、l2在三維空間框架的夾角等于彎頭的轉(zhuǎn)角ω。

l1、l2的方向向量分別為v1=(1,k1,k3)和v2=(1,k5,k7),可得下式:

(13)

對地下管線,ω為轉(zhuǎn)角時(shí),取cosω為正值,對式(13)線性化,得條件方程(14):

(14)

式中:u=cosω

對于管線垂直,可視為上式的特殊情況,即:

(15)

理論上也可將交點(diǎn)坐標(biāo)、切點(diǎn)坐標(biāo)或某個(gè)分量作為參數(shù),構(gòu)建誤差方程和條件方程,直接求解這些特征點(diǎn)的參數(shù)值,但由于直線段轉(zhuǎn)角往往為15°以下小角度,當(dāng)探測管線點(diǎn)誤差較大時(shí),交點(diǎn)、切點(diǎn)初始值偏差相應(yīng)增大,會影響平差效果,本文未予采用。

3 觀測值權(quán)的確定

如表1所示,對明顯管線點(diǎn),其X,Y坐標(biāo)所對應(yīng)權(quán)均為1,其高程所對應(yīng)權(quán)為25/32。對覆土前施測的管線點(diǎn),其X,Y坐標(biāo)所對應(yīng)權(quán)均為1,其高程所對應(yīng)權(quán)為25/18。對于隱蔽點(diǎn),其X,Y坐標(biāo)所對應(yīng)權(quán)為25/(52+(0.05h)2),其高程所對應(yīng)權(quán)為25/(2(32+(0.075h)2))。

表1 觀測值先驗(yàn)中誤差、權(quán)參考值

4 地下管線數(shù)據(jù)的聯(lián)合平差

從以上誤差方程(2)、(4)可以看到,在管線數(shù)據(jù)直線段參數(shù)有xi、k1、k2、k3和k4,必要觀測數(shù)為6(2點(diǎn)),圓弧段參數(shù)有xc、yc、zc、k、φ和θi,若弧段半徑未知時(shí)應(yīng)納入半徑r,必要觀測數(shù)為9(3點(diǎn)),對每個(gè)點(diǎn)可按式(2)或(4)構(gòu)造3個(gè)誤差方程。對直線-直線連接或匯聚,可按公式(11)構(gòu)造空間相交條件方程,若直線段相互垂直或轉(zhuǎn)角(或夾角)已知參數(shù),還應(yīng)按公式(15)或(14)構(gòu)造角度條件方程。對直線-圓弧連接,可按公式(6)、(8)和(10)分別按半徑和共面條件構(gòu)造條件方程,若管線起訖點(diǎn)為已知點(diǎn)時(shí),應(yīng)按式(12)構(gòu)造起訖點(diǎn)位附合條件方程。對于圓弧-圓弧連接的情況,在地下管線設(shè)計(jì)中一般采用直線段過渡,本文不予進(jìn)一步研究。

近似值按照點(diǎn)位間距由遠(yuǎn)及近原則,在各直線段和弧段選若干組點(diǎn),分組計(jì)算k1、k2、k3和k4,以及xc、yc、zc、r、k、φ和θi等參數(shù),采用中位數(shù)作為初始值。其中,φ為圓弧面和xoy面的夾角,k為圓弧面和xoy面的相交直線與x軸在xoy面的夾角。工作中,筆者采用該方法計(jì)算參數(shù)初始值1,構(gòu)造誤差方程,利用間接平差求解參數(shù)2,然后將參數(shù)2作為新一輪初始值,重新構(gòu)造誤差方程和條件方程,按附有限制條件的間接平差方法求解最終的改正數(shù)和參數(shù)值。

由于誤差方程和條件方程系數(shù)中有大量近似值,故采用迭代法解算。一般可采用單位權(quán)方差、觀測值殘差或相鄰兩次改正數(shù)之差等作為控制迭代循環(huán)的參考因子,如經(jīng)過多次迭代,單位權(quán)方差不再收斂時(shí),迭代運(yùn)算即可終止。

在運(yùn)算結(jié)束后,可逐一檢查各觀測值的殘差,當(dāng)殘差大于二倍中誤差時(shí),可視該點(diǎn)觀測值存在粗差,返回上一工序核查相關(guān)采集和計(jì)算資料,從而可有效實(shí)現(xiàn)粗差輔助定位。

完成平差后,利用直線和圓弧參數(shù),計(jì)算交點(diǎn)、切點(diǎn)、起訖點(diǎn)等管線特征點(diǎn)坐標(biāo),并結(jié)合地面高程反算各點(diǎn)的埋深等屬性。

利用公式(16)計(jì)算管線的單位權(quán)方差,作為評定管線探測成果的質(zhì)量和精度的指標(biāo):

(16)

式中:n-u+s為多余觀測數(shù)。

5 算 例

為方便計(jì)算,本文基于GIS系統(tǒng)環(huán)境,開發(fā)了管線平差模塊。作業(yè)時(shí)先將點(diǎn)位展繪到圖形系統(tǒng)中,再逐一選擇管線點(diǎn)并將點(diǎn)劃分到各個(gè)線(弧)段單元,完成分組后,指定各單元間的空間幾何關(guān)系,由模塊依次動態(tài)構(gòu)建平差模型,最后完成統(tǒng)一平差。

以某段輸氣管線為例(圖2),該管道由一段圓弧c和兩段線段l1、l2組成,l1、l2轉(zhuǎn)角為45°,直線段探測點(diǎn)均為8點(diǎn),弧段探測點(diǎn)為19點(diǎn),將各點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測值,構(gòu)造105個(gè)誤差方程,按各點(diǎn)探測深度計(jì)算觀測值的權(quán),分別按c-l1共面、相切以及l(fā)1-l2相交與夾角為條件構(gòu)造五個(gè)條件方程。利用中誤差作為迭代控制因子,經(jīng)過3次迭代后,單位權(quán)方差不再收斂,結(jié)束運(yùn)算。從表2數(shù)據(jù)可以看出,圓弧上存在一個(gè)粗差點(diǎn),在對該點(diǎn)修正后重新計(jì)算,最終得到了較好的平差結(jié)果。

表2 計(jì)算結(jié)果

圖2 某段輸氣管線

6 結(jié) 論

基于三維空間直線和圓弧的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),本文提出了用直線和圓弧序列擬合管線探測值的平差模型并提出了探測數(shù)據(jù)權(quán)的確定方法,通過開發(fā)管線平差系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了管線探測數(shù)據(jù)的粗差定位和平差處理,從而在提升管線探測數(shù)據(jù)精度的同時(shí),使成果數(shù)據(jù)更符合管線的空間幾何特性,實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量的有效提升。同時(shí),該方法也可應(yīng)用于異形建筑或其他由直線和圓弧構(gòu)成的空間線性要素的擬合。