在解決問題的過程中生成數(shù)學(xué)概念
——《倍的認(rèn)識》教學(xué)實(shí)踐與反思

文| 陳 敏 王雪晴

【教學(xué)背景】

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要概念。通常的處理是在規(guī)定“把A 看成1 份”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解“B 有這樣的幾份，B 就是A的幾倍”（如圖1）。這樣雖然把“倍”的意思說得清晰、利落，但為什么要把A 看成1 份，又為什么按這樣1 份1 份去度量B，亦即，為什么要對A、B 做乘法性的比較缺少緣由。

圖1 人教版《數(shù)學(xué)》三年級上冊第50 頁

圖2

圖3

圖4

實(shí)際上，對兩個數(shù)量是進(jìn)行加法性比較還是進(jìn)行乘法性比較“既不是假設(shè)的，也不是規(guī)定的，而是根據(jù)個人想要知道什么、需要解決什么來建構(gòu)的”，即，這是一種“刻意的關(guān)系”。若創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷刻意的關(guān)系的建構(gòu)和交流過程，將有益于增進(jìn)學(xué)生的模型意識，發(fā)展他們的量化推理能力。

基于上述思考，本課嘗試引入喂魚及搭積木的日常情境，鼓勵學(xué)生探討其中的數(shù)量關(guān)系，促成“倍”概念的發(fā)生和發(fā)展，建構(gòu)乘法模型。經(jīng)實(shí)踐，效果良好。

【教學(xué)對象】

二年級學(xué)生，已經(jīng)學(xué)習(xí)了2～4的乘法口訣以及對應(yīng)的除法計算。

【教學(xué)內(nèi)容】

一、情境導(dǎo)入，引發(fā)比較

師：這個周末，老師去花鳥城買了兩條小魚?？矗~哥哥和魚弟弟朝我們游過來了！你能辨認(rèn)出誰是哥哥？誰是弟弟嗎？

師：老師打算每天給魚弟弟喂2 粒魚食。你覺得給魚哥哥喂幾粒合適呢？

生1：3 粒。因?yàn)轸~哥哥長得比魚弟弟大，所以吃得肯定也多一點(diǎn)。

生2：4 粒。因?yàn)楦绺缈雌饋碛? 個弟弟那么大，2+2=4（粒）。

【設(shè)計意圖：題材取自Kamii等（1996）使用的一道乘法思維檢測題。以學(xué)生熟悉的喂魚情境引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，探明學(xué)習(xí)起點(diǎn)：生1 采用定性分析，知道要“吃得多一點(diǎn)”，選擇算法“2+1=3”，體現(xiàn)為加法思維水平。生2 則基于圖像，定量判斷出“哥哥有2 個弟弟那么大”，初具乘法思維水平?！?/p>

二、深入討論，理解倍比

1.比較身長，確定魚食

師：兩位同學(xué)都認(rèn)為哥哥比弟弟“長得大”，所以要“吃得多”。那到底怎么把握哥哥和弟弟的大小，又怎樣根據(jù)大小比較合理地喂食呢？

師：我們先來說說，哥哥和弟弟的大小可以怎么比較？

生1：我覺得可以比較它們的長短。

生2：我覺得也可以比較它們的輕重。

（板書：身長、體重）

師：請一位同學(xué)來比比身長。

生1 操作課件呈現(xiàn)：

生2：哥哥比弟弟長。

生3：看起來魚哥哥的身長是魚弟弟的2 倍。我可以上來再量量看嗎？

（生3 操作，集體觀察：正好量了2 次）

生3：魚哥哥的身長就是魚弟弟的2 倍。

生4：也可以說，魚弟弟的身長是魚哥哥的一半。

師：很好，用上了我們昨天剛剛學(xué)習(xí)的 “2 倍” 和 “一半”。

【設(shè)計意圖：學(xué)生已具有2 倍和一半的比較及表達(dá)經(jīng)驗(yàn)。前一課中，特別安排借助復(fù)印水彩點(diǎn)的活動，學(xué)習(xí)了2 倍和一半關(guān)系（如圖5）。魚兄弟身長2 倍（一半）關(guān)系的視覺效果比較明顯。為完成合理喂食的任務(wù)，需要對魚的身長進(jìn)行更為精確的比較。以上多個因素疊加，學(xué)生主動對魚身長進(jìn)行了乘法性比較?！?/p>

圖5 自編的“2 倍和一半”課時方案

圖6

師：身長的關(guān)系清楚了，按照這樣的關(guān)系，你們覺得給哥哥喂幾粒魚食比較合適呢？

生1：魚哥哥的身長是魚弟弟的2 倍，食量也是魚弟弟的2 倍。

生2：弟弟吃2 粒，哥哥身長是它的2 倍，就是2 個2 粒，2+2=4（粒）。

生3：也可以用乘法計算：2×2=4（粒）。

師：如果魚哥哥的食量是魚弟弟的2 倍，也就是說——把魚弟弟吃的2 ?？闯? 份（貼1 條線段，并板書：1 份——2 粒），魚哥哥要吃這樣的2 份（貼2 條線段，并板書：2 份——？粒），魚哥哥要吃4 粒。［板書：2×2=4（粒）］

【設(shè)計意圖：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，初步梳理出倍比的分析框架：先確定1 份量，再確定有這樣的幾份是多少。線段圖、對應(yīng)式和乘法算式互相生成，互為參照，實(shí)現(xiàn)對“倍”概念的多元表征：線段圖是幾何直觀；對應(yīng)式揭示數(shù)量結(jié)構(gòu)；最后凝聚為乘法算式?！?/p>

2.比較體重，確定魚食

師：有同學(xué)說也可以按體重喂，體重是怎樣的關(guān)系呢？

生1：1 條魚哥哥等于3 條魚弟弟那么重。

師：可以試試用“倍”來說嗎？誰來試試？

生2：魚哥哥的體重是3 倍。

師：怎樣的3 倍？

生3：魚哥哥的體重是魚弟弟的3 倍。

師：為什么認(rèn)為“魚哥哥的體重是魚弟弟的3 倍”呢？

生4：可以學(xué)習(xí)2 倍的方法。1條魚弟弟的體重是1 份，3 條就是3 份，魚哥哥等于這樣的3 份，所以魚哥哥的體重是魚弟弟的3 倍。

生5：把魚弟弟的體重看作1份，魚哥哥的體重有這樣的3 份，魚哥哥的體重就是魚弟弟的3 倍。

強(qiáng)調(diào)：我們一起像生5 這樣說一說——把（ ）看成一份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的（ ）倍。

師：那按照這樣的體重關(guān)系，給魚哥哥喂幾粒魚食比較合適？

生1：給魚哥哥喂這樣的3倍：2×3=6（粒）。

生2：魚弟弟吃1 份是2 粒魚食，魚哥哥吃這樣的3 份，就是2×3=6（粒）。

【設(shè)計意圖：借助天平直觀，激勵學(xué)生將“2 倍”的分析經(jīng)驗(yàn)遷移到“3 倍”的情境中。強(qiáng)化倍比的分析框架、語言表述和數(shù)學(xué)表示。】

三、推廣舉例，豐富理解

師：好，我們給魚哥哥喂上魚食。按2 倍的話，要喂——4 粒（課件演示）；按3 倍的話，要喂——6粒（課件演示再添2 粒）。

生1：我感覺6 粒太多了，小魚要撐壞的。4 粒比較合適。

師：你提醒得好。我們按這樣的關(guān)系來計算魚食，其實(shí)只是一種設(shè)想。到底怎樣喂魚，可能我們還得去請教一下養(yǎng)魚專家。那同學(xué)們，你們在生活中遇到過像這樣“倍”的問題嗎？

生1：周末我有2 個培訓(xùn)班，我姐姐有4 個培訓(xùn)班，姐姐的培訓(xùn)班個數(shù)是我的2 倍。

生2：有一天，我想吃2 個冰淇淋，弟弟想吃6 個冰淇淋，弟弟想吃的是我的3 倍。

師：怎么知道是3 倍呢？

生2：2 個是1 份，6 個有這樣的3 份，6 個是2 個的3 倍。

師：你分析得真清楚。不過冰淇吃太多，對身體可不好，你可以勸勸弟弟。還有想說的同學(xué)嗎？

生3：我們有100 米和50 米兩種測試，100 米的長度是50 米的2 倍。

師：預(yù)測一下跑100 米和跑50米用的時間，可能是什么關(guān)系？

生4：可能也是2 倍。

生5：要同一個人跑，跑100米花的時間是跑50 米的2 倍。

生6：也不一定，可能路長了以后，會跑得慢下來。

師：想得很周到！你們想強(qiáng)調(diào)的是跑的速度不變，跑100 米花的時間是跑50 米的2 倍。對嗎？

生7：我知道生活中的倍數(shù)不一定正好是2 倍、3 倍，新聞里有時也說1.5 倍，1.2 倍。

生8：中國人口大約是14 億，美國人口大約是3 億，我們的人口比美國的4 倍還要多。

師：這里的一份數(shù)是？怎么知道是4 倍還要多？

生：3 億人。3×4=12 億，小于14 億……

師：一份也可以有3 億那么多，好大的一份呀！

生8：我把半個月餅看成1份，8 個月餅是半個月餅的……8個半個是……8 個是半個的……

師：自己有點(diǎn)說暈了。我們幫他理一理。（在黑板上畫半個圓和8 個圓）1 份是——半個，8 個可以分為這樣的（用手指引導(dǎo)學(xué)生觀察和計數(shù)）——16 份。現(xiàn)在可以自信地說出來了嗎？

生8：8 個是半個的16 倍。

師：掌聲送給他。一份可以很大，也可以很小，同學(xué)們真棒！

師：同學(xué)們，你們舉了這么多“倍”的例子，它們有什么共同的地方嗎？

生9：倍就是兩個數(shù)比，其中1 個看成1 份，另一個看看有這樣的幾份，就是它的幾倍。

生10：1 份可大可小，看我們自己選誰做1 份。

生11：1 份大了，倍數(shù)就?。?份小了，倍數(shù)就大。

生12：一半也是倍，不到1 倍。

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過類比、聯(lián)想其他生活經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步理解“倍”的意義。在舉例過程中，教師有針對地進(jìn)行追問，鞏固倍比的基本分析框架，適當(dāng)增加推理的復(fù)雜性。同時，教師經(jīng)由學(xué)生的回答診斷學(xué)生的概念掌握情況并概括和凸顯倍比的本質(zhì)。】

四、綜合運(yùn)用，發(fā)展推理

師：我們來看另外一項(xiàng)同學(xué)喜歡的活動——搭積木。

師：請你打開作業(yè)紙，先自己靜靜地寫一寫好嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)，綠積木的高度是橙積木的2 倍。藍(lán)積木的高度是橙積木的6 倍。

師：對嗎？也是這樣寫的同學(xué)舉手。關(guān)于這個發(fā)現(xiàn)，你們有什么想說的嗎？

生2：積木越高，比出來的倍數(shù)也越高。

生3：都和橙積木比，藍(lán)積木高，比出來的倍數(shù)也大；綠積木矮，比出來的倍數(shù)就小。

師：意思是，一份量不變，比較量越大，比出來的倍數(shù)也越大。是嗎？那如果比較量不變，倍數(shù)會變嗎？

生4：會變的。比如說，我比的都是藍(lán)積木。如果和橙積木比，藍(lán)積木是橙積木的6 倍；但是和綠積木比，藍(lán)積木只是綠積木的3 倍。

師：一份量變了，比較的結(jié)果也會變。

生5：一份量越大，比出來的倍數(shù)反而小了。

【設(shè)計意圖：直觀比較，檢查學(xué)生基礎(chǔ)目標(biāo)的達(dá)成。對比較結(jié)論進(jìn)行比較，滲透一份量、比較量和倍數(shù)三者之間的函數(shù)關(guān)系?！?/p>

師：要搭一座24 層的大積木塔，要用幾座小積木塔？你們算出來分別是多少呢？

生1：藍(lán)積木塔最高，算起來最快：12+12=24，用2 座就夠了。24÷4=6（座），綠積木塔的話，要用6 座。

師：橙色的呢？

生1：橙積木塔是24÷2，我們還沒有學(xué)過。

生2：先算12÷2=6，6 座橙色塔搭成1 座藍(lán)色塔。再用6×2=12，2 座藍(lán)色塔=12 座橙色塔。

師：大家聽懂了嗎？

生3：我想的和生2 有點(diǎn)像。因?yàn)榫G積木的高度是橙積木的2倍，那么需要綠積木的座數(shù)應(yīng)該是橙積木的一半，綠積木要：24÷4=6（座），橙積木要：6×2=12（座）。

師：生3 說到好幾組倍數(shù)關(guān)系，我們來捋一捋。綠積木的高度是橙積木的2 倍，有問題嗎？所以綠積木的座數(shù)只要橙積木的一半，同意嗎？為什么？

生4：一份量越大，倍數(shù)越小。把綠積木當(dāng)成比較量，這個一份量大，比出來倍數(shù)小；橙積木這個一份量小，比出來倍數(shù)多。

生5：1 塊綠積木=2 塊橙積木，6 塊綠積木=12 塊橙積木。大家都乘6 倍。

生6：其實(shí)就是想，越矮的積木，要用的塊數(shù)就越多。

師：大家真是太厲害了！從會比較倍數(shù)，到會用倍數(shù)推算，又上了一層樓。

【設(shè)計意圖：進(jìn)一步挑戰(zhàn)學(xué)生的推理。生1 使用大塔層數(shù)÷小塔層數(shù)求取需要的小塔座數(shù)，依賴于數(shù)值計算，可診斷為加法思維水平，在橙色塔問題上遇到了困難；生2 對此做了優(yōu)化和推進(jìn)，其推理過程可表達(dá)為24÷2=（12+12）÷2=12÷2×2，具備一定的乘法思維；生3 采用反比推理，基于小塔之間的高度關(guān)系推斷小塔座數(shù)之間的關(guān)系，簡潔高效，體現(xiàn)出較高的乘法思維水平。促進(jìn)不同水平學(xué)生之間的交流，在將他人思考與本人思考進(jìn)行比較與聯(lián)系的過程中，內(nèi)化、提高。】

【反思】

對于一些重要的數(shù)學(xué)概念、關(guān)系，教師往往把備課的重點(diǎn)放在怎樣幫助學(xué)生理解和掌握這些概念、關(guān)系上，卻疏忽了如何引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，即，為什么要學(xué)習(xí)這個內(nèi)容？如倍的認(rèn)識，有多次聽課的經(jīng)歷表明，當(dāng)課堂上呈現(xiàn)兔子和蘿卜圖（圖1）時，二、三年級的學(xué)生更傾向于從多少的角度而非倍數(shù)關(guān)系來提出分析?！氨丁弊兂闪私處煹倪x擇，當(dāng)堂的規(guī)定。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出要“注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)”。Savard 也建議 “任務(wù)的設(shè)計需要鑲嵌于社會文化情境中，從而學(xué)生能將自己看作是積極的代理人”。在本課中，我們沒有使用以往課堂中常見的、直接要求比較物品倍數(shù)關(guān)系的任務(wù)，而采用喂魚、搭積木等情境，先激活學(xué)生“大魚多吃，小魚少吃”“高積木用得少，矮積木用得多”之類的日常經(jīng)驗(yàn)，再推動他們逐漸量化，主動從“倍”的角度分析情境，建構(gòu)數(shù)量關(guān)系。我們期望經(jīng)由這樣的學(xué)習(xí)過程，可以幫助學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中有很多概念和關(guān)系都是人們出于分析和解決問題的需要，主動建構(gòu)和發(fā)明的，而這些建構(gòu)和發(fā)明的概念、法則能大大增進(jìn)人們對現(xiàn)實(shí)世界的理解和把握。我們相信，如果學(xué)生經(jīng)常有機(jī)會從自己熟悉的情境開始，自覺反思和加工自己的應(yīng)對經(jīng)驗(yàn)，逐步迭代成更為準(zhǔn)確和高效的概念、法則，進(jìn)而改善他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念，同時，也能降低概念和法則的學(xué)習(xí)難度，增進(jìn)學(xué)生的理解。

另外，需要提出，課堂上學(xué)生也討論到 “6 粒太多了”“喂魚不完全按照大小關(guān)系” 等等，這些評價恰恰體現(xiàn)了學(xué)生對任務(wù)真實(shí)性的感受，對數(shù)學(xué)模型的理解，是思維批判性的表現(xiàn)，有了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的可能。素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂不正應(yīng)該包容乃至追求這樣的彈性嗎！