整體把握明思路 系統(tǒng)整合提效率
——以“常見數(shù)量關(guān)系”板塊為例

文| 魏軍君

單元整體設(shè)計是提高課堂教學(xué)效率的重要方法。眾所周知，小學(xué)數(shù)學(xué)教材由一個個相對獨立的單元構(gòu)成，同一單元中的新知又是按照一定的邏輯順序編寫的。因此，教學(xué)中應(yīng)從單元整體設(shè)計的視角來審視單元內(nèi)的課時教學(xué)內(nèi)容，并通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與重組來更好地構(gòu)建起基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律與數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯的單元教學(xué)體系，從而促進(jìn)教學(xué)效率的提升。

一、單元結(jié)構(gòu)介紹與重組

《三位數(shù)乘兩位數(shù)》是在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，主要內(nèi)容包括：三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算、積的變化規(guī)律、常見數(shù)量關(guān)系。

第一個板塊是例1、例2，即“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算乘法，兩個例題按一般到特殊的形式編排，即例2一般是在例1“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)因數(shù)末尾有0 或第一個因數(shù)中間有0 的兩種特殊的乘法筆算；第二個板塊是例3，即積的變化規(guī)律，通過計算有聯(lián)系的乘法題組，觀察、分析、概括出規(guī)律；第三個板塊是例4、例5，即乘法中兩個常見的數(shù)量關(guān)系，通過舉例，概括得出更為一般的數(shù)量關(guān)系。

原編排序列與課時安排

對于教材的編排，在實際教學(xué)中我們有以下幾點思考：

1.這個單元是整數(shù)乘法的最后一個單元，要凸顯總結(jié)整數(shù)乘法筆算與估算的一般方法，例1 筆算和估算需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

2.例2，160×30 簡算的依據(jù)是例3 積的變化規(guī)律，而例3 被安排在例2 后面教學(xué)，算理依據(jù)滯后；建議例3 前移至例2 之前教學(xué)，更有利于例2 算理的總結(jié)與理解。

3.整個小學(xué)階段，對于“工作效率×工作時間=工作總量”沒有安排例題教學(xué)，但在實際應(yīng)用中卻很普遍，需要補(bǔ)充教學(xué)；而且“速度×?xí)r間=路程”這組數(shù)量關(guān)系安排單薄，需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

通過單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重組，增強(qiáng)板塊間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)單元的結(jié)構(gòu)性與邏輯性。

調(diào)整后的序列及課時安排：

三位數(shù)乘兩位數(shù)課時順序 內(nèi)容 課時數(shù)一積的變化規(guī)律與簡算（例3 例2）1二三位數(shù)乘兩數(shù)筆算與估算（例1）1練習(xí) 1三速度時間路程（例5）1四工作效率工作時間工作總量（補(bǔ)充）1五單價數(shù)量總價與三組數(shù)量關(guān)系梳理（例4+練習(xí)）1合計 6

調(diào)整后的單元序列是：積的變化規(guī)律→三位數(shù)乘兩位數(shù)→常見的數(shù)量關(guān)系?？傉n時沒變，例3 和例2整合為一節(jié)課，增加了工作效率一節(jié)課，把速度提到數(shù)量關(guān)系板塊的第一節(jié)課。通過單元板塊間邏輯關(guān)系的辨析，力爭使各個板塊之間的邏輯關(guān)系更加密切，讓原來相互獨立的板塊，通過合理調(diào)整，成為更有邏輯關(guān)系的單元學(xué)習(xí)序列。

二、學(xué)情實證，審視學(xué)生立場

1.常見的數(shù)量關(guān)系板塊介紹與重組

在日常生活中，“單價”“速度”“工作效率”的數(shù)量關(guān)系都很常見，但是教材里沒有工作效率的教學(xué)內(nèi)容，這里增加工作效率的教學(xué)很有必要，也為高段的工程問題進(jìn)行鋪墊。

速度×?xí)r間=路程這組數(shù)量關(guān)系需要進(jìn)一步加強(qiáng)。速度這節(jié)課在此板塊中是核心概念，學(xué)生理解了速度的含義，對于后面學(xué)習(xí)單價和工作效率具有指導(dǎo)意義，所以速度這節(jié)課放在了這一板塊的第一課。第二課時的工作效率，可以看成有關(guān)“速度”的數(shù)量關(guān)系的變式，在學(xué)生學(xué)習(xí)了有關(guān)“速度”的數(shù)量關(guān)系后，添加有關(guān)“工作效率”的關(guān)系式來解決問題，讓學(xué)生在比較中總結(jié)出有關(guān)“工作效率”的數(shù)量關(guān)系，通過知識的遷移，幫助學(xué)生建立工作效率的數(shù)學(xué)模型。

脫離了速度來研究工作效率是不完整的。速度和工作效率含義相近，學(xué)了速度，學(xué)生可以遷移到工作效率。我們對速度和工作效率分別進(jìn)行了前測，看看學(xué)生對于它們了解多少，以便準(zhǔn)確定位，同時指導(dǎo)工作效率這節(jié)課的教學(xué)。

2.前測分析與啟示

對四年級2 個班82 名學(xué)生進(jìn)行前測。

●第一題：關(guān)于速度，你聽說過嗎？

調(diào)查統(tǒng)計如下：

知道的有43.9%，有點知道的有45.1%，聽說過的有4.9%，不知道的有6.1%。

一共有93.9%的同學(xué)認(rèn)為知道速度，占了絕大部分。速度這個詞在生活中運(yùn)用得非常廣泛，學(xué)生很熟悉，家長可能每天都說做作業(yè)速度要快一點，生活中經(jīng)常比賽看誰的速度最快等等。

關(guān)于工作效率，你聽說過嗎？調(diào)查統(tǒng)計如下：

知道的有26.3%，有點知道的有34.2%，聽說過的有18.4%，不知道的有21%。

一共有79%的同學(xué)認(rèn)為知道工作效率。雖然工作效率在生活中也在用，但是沒有速度那么廣泛，而且這個概念明顯比速度更抽象。還是有大部分學(xué)生自認(rèn)為了解工作效率。那么學(xué)生對這兩個量的表述水平怎樣？于是有了第二題。

●第二題：想一想什么是速度？把你的想法寫下來。

調(diào)查統(tǒng)計如下：

我們把調(diào)查結(jié)果分成4 個水平：

水平0：表述錯誤，占7.3%。對速度的理解是不準(zhǔn)確的。

水平1：速度就是時間占14.6%。生活中往往做一件事情比賽誰做得快，用時最少就是最快，所以造成的錯覺就是時間就是速度。

水平2：速度表示快慢占74.4%。這一水平是最多的，做事情的快慢就是速度。其中有43.9%的學(xué)生認(rèn)為快就是速度。

水平3：表述中有路程和時間兩個量，占3.7%。

看來學(xué)生自認(rèn)為了解的速度但并沒有理解速度的真正含義，與自我感覺相差較大。

教學(xué)啟示：學(xué)生對速度的感知。

（1）學(xué)生感知到速度表示運(yùn)動的快慢。

（2）學(xué)生對快慢的理解更多停留在時間上。（時間少就是快，時間多就是慢）

教學(xué)要思考的重點：

如何讓學(xué)生經(jīng)歷一個量（速度）的產(chǎn)生過程，從而知道它的意義以及所適用的范圍，最終抽象出數(shù)量關(guān)系。

在教學(xué)完速度之后進(jìn)行了工作效率的前測：

想一想什么是工作效率？把你的想法寫下來。調(diào)查統(tǒng)計如下：

工作效率相對比較陌生，很多學(xué)生不知道如何表達(dá)，有85%的學(xué)生表述不清楚，有15%的學(xué)生表述相對準(zhǔn)確。

教學(xué)啟示：工作效率比速度更抽象，更難表述，但從前測來看，準(zhǔn)確表述速度的有3.7%，準(zhǔn)確表述工作效率的有15%，相比有了提高，我想這可能是速度的教學(xué)對工作效率概念的理解有幫助，遷移到對工作效率的理解。

●第三題：請完成下面各題。

這節(jié)課的核心環(huán)節(jié)就是出示的6 道題目，我們對這6 道題進(jìn)行了前測，想了解學(xué)生對題目中數(shù)量關(guān)系的理解程度。統(tǒng)計如下：

準(zhǔn)確率如下：

（1）第一題81.6%，第二題94.7%，第三題86.8%，第四題81.6%，第五題97.4%，第六題94.7%。

（2）請把6 道題目分類，說一說分類的理由。

分析：有21%的學(xué)生按照數(shù)量關(guān)系來分類，能發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而歸類，只是在表述的時候把求一份的工作量也就是求工作效率說成是求速度或者平均數(shù)，在學(xué)習(xí)工作效率之前，速度可能就代表了工作效率的本質(zhì)。

那么在其他分類中出現(xiàn)的情況又是怎樣？有63.3%的學(xué)生是按照除法和乘法的情況來分，占了大部分，還有些學(xué)生是按照問題分類。

教學(xué)啟示：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從具體教學(xué)情境中認(rèn)識、探索工作效率、工作時間和工作量三者間的數(shù)量關(guān)系。通過學(xué)生獨立思考與同桌互助學(xué)習(xí)的機(jī)制，運(yùn)用分類、歸納的策略，讓學(xué)生體驗從具象表述到抽象建模的過程。

三、教學(xué)啟示與思考

由跑得多快到做得多快，由速度轉(zhuǎn)向工作效率，兩個量的實質(zhì)是一樣的，學(xué)生經(jīng)歷了速度的產(chǎn)生過程，自然而然由速度遷移到工作效率，所以速度這節(jié)課對于工作效率有點種子課的感覺。鑒于以上調(diào)查，給了我們以下啟示與思考：

1.這節(jié)課的思考

構(gòu)建生活具體問題抽象出工作效率的數(shù)學(xué)模型，并將數(shù)學(xué)模型用于現(xiàn)實中的簡單問題中去。通過不同情境的問題解決豐富工作效率的內(nèi)涵，讓學(xué)生從問題解決中建立工作效率、工作時間、工作總量的數(shù)學(xué)模型。模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想，要真正使學(xué)生有所感悟，需要經(jīng)歷一個過程：讓學(xué)生建構(gòu)后去運(yùn)用模型經(jīng)歷問題解決，在此過程中完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、感悟解決問題的策略，深化認(rèn)識。

2.單元序列的思考

本單元三個板塊相對獨立。常見的數(shù)量關(guān)系這一板塊能否上移到第二板塊，三位數(shù)乘兩位數(shù)的板塊放在最后。因為例1 是關(guān)于速度的解決問題，如果在學(xué)了速度之后教學(xué)，可以用“（火車的）速度×?xí)r間＝（到北京的）路程”來概括，前后知識的邏輯關(guān)系就更加緊密了。