字母語(yǔ)言：數(shù)量關(guān)系表達(dá)的突破
——《用字母表示數(shù)》教學(xué)（二）

文| 楊 曄

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第99、100頁(yè)及練習(xí)十八第1～3 題。

【教學(xué)過(guò)程】

一、知識(shí)鏈接，打開(kāi)學(xué)習(xí)視窗

師：今天我們學(xué)習(xí)研究的是數(shù)學(xué)中的字母，為什么數(shù)學(xué)課中要研究字母呢？

生：我知道，和方程有關(guān)。

師：你的知識(shí)很豐富，我們一起來(lái)看一段介紹。

（學(xué)生根據(jù)視頻聆聽(tīng)介紹）

師：在這段介紹中，你找到學(xué)習(xí)的原因了嗎？

生：通過(guò)這段話我認(rèn)識(shí)到字母可以表示數(shù)，字母對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題作用很大。

師：那現(xiàn)在你想通過(guò)今天的學(xué)習(xí)掌握哪些用字母表示數(shù)的知識(shí)？

生：字母可以表示哪些數(shù)？

生：怎樣用字母表示數(shù)呢？

生：用字母表示數(shù)后能夠解決哪些問(wèn)題？

師：下面，我們就以當(dāng)代韋達(dá)的身份，帶著這些問(wèn)題進(jìn)入數(shù)學(xué)中的字母世界吧。

二、關(guān)系研究，感悟字母價(jià)值

1.差數(shù)關(guān)系

（1）哥哥與妹妹的年齡關(guān)系思辨

師：（出示 “哥哥比妹妹大4歲”）通過(guò)這句話，你想到什么？

生：妹妹比哥哥小4 歲。

生：無(wú)論過(guò)多少年，哥哥和妹妹都相差4 歲。

師：能通過(guò)一個(gè)式子表示哥哥和妹妹之間的年齡關(guān)系嗎？

生：哥哥的年齡-4=妹妹的年齡。

生：也可以是妹妹的年齡+4=哥哥的年齡。

生：我覺(jué)得哥哥的年齡-妹妹的年齡=4 也可以。

師：用數(shù)量關(guān)系式表達(dá)哥哥和妹妹的年齡關(guān)系，簡(jiǎn)潔又清晰。我們也可以用表格將哥哥和妹妹的年齡情況表示出來(lái)。

?

師：當(dāng)妹妹1 歲時(shí)，哥哥的年齡是？

生：5 歲。

師：這里既可以用5 表示，也可以突出哥哥比妹妹大4 歲的關(guān)系，用1+4 這個(gè)式子表示。

（根據(jù)學(xué)生的回答，將＋4 變?yōu)榧t色）

師：那當(dāng)妹妹2 歲時(shí)呢？

生：哥哥是2＋4 歲。

師：那當(dāng)妹妹是15 歲、20 歲、50 歲呢？像這樣，還能寫下去嗎？

生：還能寫下去，不過(guò)，妹妹的年齡也不能太大，寫到90 歲差不多了。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了關(guān)于哥哥與妹妹年齡的問(wèn)題，這樣的式子還有很多，但是人的壽命是有限的，不能無(wú)限地寫下去。你能用自己的方式把妹妹、哥哥的年齡表示出來(lái)嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成表格，教師巡視。收集學(xué)生作品）

●作品1：妹妹的年齡用（ ）表示，哥哥的年齡用（ ）＋4 表示。

●作品2：妹妹的年齡用○表示，哥哥的年齡用○＋4 表示。

師：這兩位同學(xué)為什么用符號(hào)表示，而不寫具體的數(shù)呢？

生：用符號(hào)表示就可以代表很多的數(shù)。

師：如果妹妹的年齡用○表示，哥哥的年齡用△表示，這樣可以嗎？

生：我覺(jué)得不好，這樣就不能看出哥哥比妹妹大4 歲了。

師：看來(lái)同學(xué)們對(duì)這個(gè)問(wèn)題都想得很清楚明白。

●作品3：妹妹的年齡用字母a 表示，哥哥的年齡用a＋4 表示。

師：看得懂這種表示方法嗎？

生：他的意思和上面是一樣的，但是用字母a 來(lái)表示妹妹的年齡。

師：你們覺(jué)得哪種方法能突出今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容？

生：肯定是用字母表示的。用符號(hào)在有些問(wèn)題里容易混淆，比如○和0 一樣。

生：如果用（ ）看起來(lái)就和填空一樣了，不方便也不美觀。

師：大家都很有想法，在實(shí)際的運(yùn)用中的確存在這些問(wèn)題。我們看，妹妹的年齡用a 表示，哥哥的年齡就可以用a＋4 表示，如果哥哥的年齡用b 表示，那你覺(jué)得妹妹的年齡又該如何表示？

生：妹妹的年齡用b－4 表示。

師：剛才不都是用a 表示的嗎？

生：如果用a 表示，就不能看出兩個(gè)人年齡之間的關(guān)系。

師：就如同學(xué)們所說(shuō)，如果妹妹的年齡用a 表示，那哥哥的年齡就可以根據(jù)妹妹的年齡，用a＋4表示；如果哥哥的年齡用b 表示，那妹妹的年齡就可以用b－4 表示。不同的字母表示不同的意思，但是它們表示的關(guān)系是不變的。

（2）媽媽與爸爸年齡的運(yùn)用

師：媽媽比妹妹大30 歲，那媽媽年齡怎么表示呢？

生：媽媽的年齡是a＋30。

師：如果爸爸的年齡用b＋28表示，你知道了什么？

生：爸爸比哥哥大28 歲。

生：我還知道爸爸比妹妹大32 歲，比媽媽大2 歲。

生：爸爸的年齡還可以用a＋32 表示。

師：那當(dāng)妹妹10 歲時(shí)，你知道家里其他三人的年齡嗎？

生：哥哥14 歲，媽媽40 歲，爸爸42 歲。

師：當(dāng)哥哥10 歲時(shí)呢？

生：妹妹6 歲，媽媽36 歲，爸爸38 歲。

（3）字母的取值范圍

師：我們?cè)賮?lái)看看用字母和含有字母的式子表示的全家年齡，想想，這些字母可以是哪些數(shù)？

生：是自然數(shù)，不能是小數(shù)、負(fù)數(shù)。

生：我覺(jué)得有范圍，人不可能活200 歲吧。

生：我覺(jué)得a 是大于0 小于150 的自然數(shù)，b 是大于4 小于154的自然數(shù)。因?yàn)槿说膲勖怯邢薜模揖投▊€(gè)150 吧，因?yàn)閎－4 表示妹妹的年齡，所以b 要大于4。

師：看來(lái)用字母表示年齡，我們還要考慮范圍才更加嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)到這，你有哪些新認(rèn)識(shí)？

生：我知道字母可以表示數(shù)，而且有范圍。

生：含有字母的式子可以看出年齡之間的關(guān)系。

生：用字母要比寫文字的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)潔多了。

2.倍數(shù)關(guān)系

師：來(lái)看看這個(gè)活動(dòng)吧！

（出示擺小棒）

師：這里想表達(dá)什么？

生：擺1 個(gè)三角形用3 根小棒，擺2 個(gè)三角形用2×3 根小棒，擺3 個(gè)三角形用3×3 根小棒，擺4個(gè)三角形用4×3 根小棒。

生：可以看出三角形的個(gè)數(shù)×3 就等于小棒的根數(shù)。

生：反過(guò)來(lái)用小棒的根數(shù)÷3=三角形的個(gè)數(shù)。

師：就如這幾位同學(xué)所說(shuō)，這幅圖蘊(yùn)含著三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系，記錄下來(lái)就是這樣的數(shù)量關(guān)系?，F(xiàn)在，三角形的個(gè)數(shù)和小棒的根數(shù)之間的關(guān)系可以用字母來(lái)表示嗎？想一想，在《作業(yè)單》中寫一寫。

師：（出示a×3 和b÷3）很多同學(xué)在表示三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系時(shí)出現(xiàn)了這樣的兩種形式，你們看得懂嗎？

生：我用的就是a×3 這種，a表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)就是a×3。

生：在b÷3 中，b 表示小棒的根數(shù)，三角形的個(gè)數(shù)就是b÷3。

師：為什么這個(gè)3 不用字母表示呢？

生：這個(gè)3 表示擺1 個(gè)三角形用3 根小棒，是確定的，不能用字母表示，字母表示的數(shù)是可以變化的。比如6 個(gè)三角形，小棒根數(shù)就是6×3=18 根。

生：就像哥哥和妹妹的年齡相差4 歲一樣，不能用字母表示，不然就不知道小棒根數(shù)和三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系了。

師：看來(lái)用字母表示數(shù)也不可以任意為之。想一想，這里的a和b 又可以是哪些數(shù)呢？

生：我覺(jué)得a 和b 只要是自然數(shù)就可以了。

生：我不同意，b 應(yīng)該是3 的倍數(shù)。

師：誰(shuí)聽(tīng)懂了？

生：在這個(gè)問(wèn)題中，a 可以是任意的自然數(shù)，但b 一定是能除以3 除得盡的自然數(shù)。

師：你們同意嗎？

生：同意。

3.關(guān)系對(duì)比

師：這是我們剛才學(xué)習(xí)的年齡問(wèn)題和擺小棒問(wèn)題，比一比，這兩個(gè)問(wèn)題有什么相同和不同之處?？梢韵刃〗M里說(shuō)一說(shuō)。

生：年齡的問(wèn)題和擺小棒的問(wèn)題都可以用字母來(lái)表示，而且字母表示的都是變化的量，每個(gè)問(wèn)題都有兩種不同的表示方法，字母都是有范圍的。

生：數(shù)量關(guān)系不同，但都可以用字母表示未知的數(shù)?？梢允窍嗖铌P(guān)系，也可以是倍數(shù)關(guān)系。

生：如果有無(wú)數(shù)種不同的結(jié)果，但數(shù)量關(guān)系是一樣的，可以用字母的式子表示關(guān)系。

師：是的，用字母表示數(shù)可以使數(shù)量關(guān)系表達(dá)得更簡(jiǎn)潔、更概括。還有哪些情況也能用字母表示？

生：年齡問(wèn)題就是相差多少的問(wèn)題，比如我比他多帶3 元這樣的問(wèn)題。擺三角形也可以擺正方形啊，這樣就是新問(wèn)題了。

師：把掌聲送給他。

三、完善表達(dá)，體會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)之美

1.問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)不足

出示問(wèn)題：一本數(shù)學(xué)書x 元，2 本數(shù)學(xué)書多少元？

師：這個(gè)問(wèn)題會(huì)解決嗎？

生：用x×2，或者2×x。

生：也可以是x+x。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答板書，特意將x 和×寫得一樣）

師：瞧，這個(gè)問(wèn)題，不僅可以列成加法的式子，還可以列成乘法的式子。

生：老師，你將x 和×寫一樣了，看不清。

師：是嗎？

生：在乘法里，如果是x×x，像你這樣寫，就變成三個(gè)×了，x 可以寫得彎一點(diǎn)。

師：的確，在用字母表示數(shù)的過(guò)程中，就發(fā)生過(guò)這樣的事，為了防止混淆，因而有了如下的規(guī)定。

師：發(fā)現(xiàn)這些規(guī)定中的共同點(diǎn)了嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)好像都只有乘法，沒(méi)有加、減和除。

生：因?yàn)槌颂?hào)和x 很像，所以只有乘法里有這個(gè)規(guī)定。

師：是的，規(guī)定都是在不斷地總結(jié)中產(chǎn)生的。那看看黑板上，哪些可以根據(jù)規(guī)定進(jìn)行化簡(jiǎn)？

生：2×x 和x×2 都要寫成2x。

生：a×3 寫成3a。

師：這兩個(gè)為什么要寫成2x和3a，而不寫成x2 或a3？

生：我們可以根據(jù)第二條規(guī)定得到，數(shù)字要寫在字母前。

2.公式中進(jìn)行完善

（1）正方形的計(jì)算公式

（學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視）

出示兩份學(xué)生作品：C=a×4、S=a×a 和C=4a、S=a2。

師：我們來(lái)看這兩位同學(xué)寫的，你們有什么想說(shuō)的嗎？

生：我更贊同第二位同學(xué)的，根據(jù)剛才的規(guī)定，他進(jìn)行了化簡(jiǎn)，第一位同學(xué)沒(méi)有化簡(jiǎn)。

師：的確，我們?cè)倩仡櫼槐檎叫蔚闹荛L(zhǎng)和面積公式吧！

（2）長(zhǎng)方形的計(jì)算公式

師：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)、面積公式可以化簡(jiǎn)嗎？在《作業(yè)單》上寫一寫。

（學(xué)生寫完后交流）

（3）其他公式規(guī)律的回憶

師：字母除了在長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)、面積公式中應(yīng)用，還用在哪？

生：還在平行四邊形、三角形、梯形的面積公式中用到了。平行四邊形的面積是S=a×h，現(xiàn)在應(yīng)該寫成S=ah。

生：我們學(xué)習(xí)的運(yùn)算律也用了，比如加法交換律是用字母表示的，a＋b=b＋a。

師：的確，字母簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)的表達(dá)。如路程=速度×?xí)r間（s=v×t），這些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系也用字母表示。

3.運(yùn)用中熟練內(nèi)容

師：無(wú)論是公式還是規(guī)律，可以根據(jù)規(guī)定表達(dá)得更簡(jiǎn)潔。請(qǐng)大家簡(jiǎn)化一下這幾道題吧！

4×b x×5 a×c

1×x x×x x+x

（學(xué)生完成后校對(duì)）

師：我們看后兩道，x×x=x2，x＋x 可以寫成2x，都有x 和2，表示的意思一樣嗎？

生：不一樣，一個(gè)是乘，一個(gè)是加。

師：一語(yǔ)點(diǎn)破，所以大家在書寫時(shí)，一定要注意數(shù)字的位置，在字母的前面和右上方表示的意思完全不同。

四、回顧反思，鋪墊后續(xù)內(nèi)容

1.知識(shí)回顧

師：同學(xué)們還記得關(guān)于韋達(dá)的一段文字介紹嗎？現(xiàn)在再讀一讀，你有沒(méi)有新的體會(huì)？

生：用字母表示數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很重要。

生：最后一句有了很多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，解決了很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，我也希望自己能解決很多問(wèn)題。

師：文字表達(dá)是生硬的，但是感受才是真實(shí)的，老師為大家有新的感受而高興。

2.知識(shí)鋪墊

師：今天這節(jié)課我們一起研究了數(shù)學(xué)中的字母，感受到字母可以表示數(shù)，含有字母的式子可以表示數(shù)也可以表示數(shù)量關(guān)系，公式、規(guī)律中也有字母的身影。知識(shí)的學(xué)習(xí)就是從簡(jiǎn)單開(kāi)始，明天我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的字母，不過(guò)會(huì)變得——

生：復(fù)雜。

出示問(wèn)題：

師：敢接受挑戰(zhàn)嗎？同學(xué)們課后可以先進(jìn)行研究，想一想如何用字母來(lái)表示。