經(jīng)歷一般化表達(dá)過(guò)程 驅(qū)動(dòng)代數(shù)思維生長(zhǎng)
——《用字母表示數(shù)》教學(xué)（一）

文| 芮金芳

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第99、100 頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、激活經(jīng)驗(yàn)，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

1.談話引入

師：大家玩過(guò)撲克牌嗎？這里J、Q、K 三張撲克牌分別表示什么？

生：J 表示11，Q 表示12，K表示13。

師：是的，撲克牌中的J、Q、K字母表示的都是確定的數(shù)。

2.生發(fā)問(wèn)題

師：那字母還可以表示什么數(shù)？這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”（板書課題），看到今天的課題你有什么問(wèn)題嗎？

生：為什么要用字母表示數(shù)？

生：怎樣用字母表示數(shù)？

生：用字母表示什么數(shù)？

……

二、經(jīng)歷過(guò)程，感受一般化

1.操作思考

師：（邊擺邊提問(wèn)）擺1 個(gè)三角形，要用幾根小棒？

生：3 根小棒。

師：為了方便研究，我們可以用1×3 這樣的式子表示。擺2 個(gè)三角形呢？

生：用6 根小棒，就是2×3 根。

師：如果繼續(xù)擺下去，擺3 個(gè)、4 個(gè)，甚至更多三角形要用幾根小棒？想一想，可以怎樣表示三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系呢？

2.方法交流

（教師收集、展示典型資源）

師：對(duì)這種表示有什么想說(shuō)的？

生：我不贊同，它只表示擺1000 個(gè)三角形時(shí)的小棒根數(shù)，只能表示一種情況，沒有把所有擺的情況都表示出來(lái)。

師：看來(lái)作品1 表示得不夠全面，沒有概括出所有的情況。

師：比較作品2 和作品3，它們有什么相同和不同的地方？

生：都用了“無(wú)數(shù)”這個(gè)詞表示三角形個(gè)數(shù)。作品2 前后都用“無(wú)數(shù)”表示，看不出三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系，而作品3用“無(wú)數(shù)×3”可以清楚地看出它們之間的關(guān)系。

師：這里的三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間究竟有怎樣的關(guān)系？

生：小棒的根數(shù)等于三角形個(gè)數(shù)的3 倍。

師：你覺得用“無(wú)數(shù)×3”表示小棒根數(shù)有什么好處？

生：這樣既能表示所用的小棒根數(shù)，還能表示擺的三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系。

師：作品4 和作品5 都用字母來(lái)表示，作品4 你覺得可以用上面哪一種來(lái)解釋？

生：它和作品2 的記錄方式其實(shí)是一樣的，一個(gè)用“無(wú)數(shù)”來(lái)表示，一個(gè)用字母來(lái)表示。

師：作品5 可以用上面哪一種來(lái)解釋？

生：它和作品3 的記錄方式是一樣的，但比作品3 更簡(jiǎn)潔。

師：這兩種都是用字母表示，你覺得哪一種更好？

生：作品5“n×3”表示得更好，不僅表示出小棒根數(shù)，還清楚看出它們之間的3 倍關(guān)系。

3.比較提升

師：回顧大家剛才表示的方法，有的用具體的數(shù)表示，有的用文字記錄，有的用字母表示，你更欣賞哪一種？為什么？

生：我更喜歡n×3，既清楚又簡(jiǎn)潔，把所有情況都總結(jié)在里面了，很全面。

生：我認(rèn)為作品3、作品5 是一樣的，都概括出了三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系，只是作品5 更簡(jiǎn)潔些。

師：說(shuō)得真好！用簡(jiǎn)潔的n×3這個(gè)式子，既能表示小棒根數(shù)，又能表示三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，其中字母起了重要的作用。

4.建構(gòu)意義

師：像這樣含有字母、符號(hào)、數(shù)字的式子數(shù)學(xué)上稱為 “含有字母的式子”。剛才小棒根數(shù)用“n×3”表示，這里的3 為什么不能用字母表示？

生：3 表示小棒根數(shù)總是三角形個(gè)數(shù)的3 倍，這個(gè)關(guān)系始終不變。

師：是的，擺的三角形個(gè)數(shù)不斷變化，是不確定的，可以用字母來(lái)表示。而擺一個(gè)三角形要用3根小棒，這個(gè)量是固定不變的。

師：你覺得這里的n 可以表示哪些數(shù)？

生：n 可以表示1、2、3、4……這樣任意的自然數(shù)。

師：那“n×3”可以表示什么？

生：n×3 可以表示1×3、2×3、3×3、4×3……所有情況。

師：像這樣用字母或含有字母的式子表示，你覺得有什么好處？

生：用字母表示不僅簡(jiǎn)潔，還可以概括出所有的情況。

生：不僅能表示結(jié)果，還能清楚地表示數(shù)量之間的關(guān)系。

5.回顧反思

師：一起回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們從用小棒擺三角形問(wèn)題開始研究，為了清楚地表示三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)用字母表示數(shù)的方法能清楚簡(jiǎn)潔地概括出所有情況和它們之間的關(guān)系。一個(gè)神奇的字母幫助我們解決了一類問(wèn)題。

三、變式拓展，豐富意義

1.情境啟思

播放喬治喝牛奶動(dòng)畫視頻。

師：?jiǎn)讨蔚囊槐Ｄ逃?50毫升，你知道喬治第一次喝掉多少毫升牛奶，還剩多少毫升嗎？

生：不知道。

師：喝掉的和剩下的牛奶之間有什么關(guān)系？可以怎樣表示呢？

（學(xué)生思考記錄想法）

2.理解關(guān)系

作品：

師：觀察這兩位同學(xué)的表示方法，你更欣賞哪一種？為什么？

生：我贊同用“250－x”表示，它既可以表示剩下的結(jié)果，還能清楚地反映出喝掉的和剩下的牛奶之間的數(shù)量關(guān)系。

師：那喝掉的和剩下的牛奶之間有怎樣的關(guān)系呢？

生：一共的毫升數(shù)－喝掉的毫升數(shù)=剩下的毫升數(shù)。

師：這里的x 可以表示哪些數(shù)？

生1：可以表示任意數(shù)。

生2：我覺得不能超過(guò)250，喝掉的不可能比總數(shù)還要多。

生3：x 表示0 和250 之間的任何數(shù)。

師：如果x=30，還剩多少毫升？

生：250－30，還剩220 毫升。

師：如果x=0，你想到什么？

生：表示喬治沒有喝牛奶。

師：如果x=250 呢？

生：表示喬治把它喝完了。

師：看來(lái)用字母表示數(shù)，有時(shí)還有一定的范圍。仔細(xì)觀察，這里什么在變，什么不變？

生：喝掉的毫升數(shù)和剩下的毫升數(shù)都在變，但總量始終不變。

師：是的，這里喝掉的和剩下的兩個(gè)量都在變，但它們數(shù)量之間的關(guān)系始終不變。只要確定了喝掉的x，那么剩下的250－x 也就確定了。

3.拓展延伸

師：?jiǎn)讨蔚诙魏攘艘淮罂?，這次喝掉的可以怎樣表示？

生：我用y 表示。這次喝掉的也不知道，所以用另一個(gè)字母表示。

師：分析得很有道理。在同一個(gè)問(wèn)題中，出現(xiàn)兩次不確定的量，應(yīng)該用不同的字母來(lái)表示。

出示：250 毫升牛奶，喬治第一次喝掉x 毫升，第二次喝掉y毫升。一共喝掉（ ）毫升。還剩（ ）毫升。第一次比第二次少喝（ ）毫升。

師：你能解決這些問(wèn)題嗎？

生：一共喝掉x+y 毫升。還剩250－x－y 毫升。第一次比第二次少喝y－x 毫升。

師：為什么思考得這么快？

生：只要根據(jù)數(shù)量關(guān)系，用字母代替其中的數(shù)就能很快解決問(wèn)題。

四、簡(jiǎn)化寫法，深化理解

1.用字母表示計(jì)算公式

師：在以前的學(xué)習(xí)中，我們哪里用到過(guò)字母表示數(shù)的情況？

生：學(xué)習(xí)運(yùn)算律時(shí)。

生：學(xué)習(xí)長(zhǎng)正方形的周長(zhǎng)、面積時(shí)用過(guò)。

師：填一填、想一想可以怎樣表示正方形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法？

正方形邊長(zhǎng)/cm 1 2 3 4 5 ……正方形周長(zhǎng)/cm正方形面積/cm2

師：用a 表示正方形的邊長(zhǎng)，C 表示周長(zhǎng)，S 表示面積。你會(huì)用含有字母的式子表示正方形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式嗎？

生：C=a×4，S=a×a。

師：與原來(lái)的文字公式相比，你有什么感受？

生：用字母公式表示更簡(jiǎn)潔。

2.自主學(xué)習(xí)簡(jiǎn)寫規(guī)則

出示簡(jiǎn)寫規(guī)則，學(xué)生自主閱讀學(xué)習(xí)，并嘗試化簡(jiǎn)。

簡(jiǎn)寫規(guī)則 我會(huì)化簡(jiǎn)字母和字母相乘時(shí)乘號(hào)可以寫作“·”，或者省略不寫。如a×b=a·b=ab。兩個(gè)相同字母相乘，比如a×a，可以寫成a·a，也可寫成a2，讀作“a 的平方”。字母和數(shù)相乘時(shí)乘號(hào)可以寫作“·”或者省略不寫。在省略乘號(hào)的時(shí)候，數(shù)要寫在字母的前面。如a×3=3·a=3a，4×x=4·x=4x。字母和1 相乘，1 可以省略，如：a×1=a。4×b（）x×5（）a×c（）1×x（）x×x（）x+x（）

師：根據(jù)這些簡(jiǎn)寫規(guī)則，你是怎樣化簡(jiǎn)的？它們分別符合哪條簡(jiǎn)寫規(guī)則？

（學(xué)生交流辨析）

師：比較x2和2x 有什么不同？

生：x2表示兩個(gè)x 相乘，而2x表示兩個(gè)x 相加，它們表示的意義不同。

師：有了這些簡(jiǎn)寫規(guī)則，回顧剛才我們發(fā)現(xiàn)的一些含有字母的式子，可以化簡(jiǎn)嗎？

生：小棒的根數(shù)a×3 可以化簡(jiǎn)為3a。

生：正方形周長(zhǎng)公式表示為C=4a，正方形面積公式表示為S=a2。

3.用字母表示運(yùn)算律

師：說(shuō)一說(shuō)我們學(xué)過(guò)哪些運(yùn)算律？再用含有字母的式子表示出來(lái)。

（學(xué)生獨(dú)立思考嘗試表示，集體交流）

師：這里的字母能表示哪些數(shù)？

生：可以表示整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)。

師：你覺得用字母表示計(jì)算公式和運(yùn)算律有什么好處？

生：更方便簡(jiǎn)潔，便于記憶。

五、拓展應(yīng)用，完善結(jié)構(gòu)

1.回顧提升

師：回顧整節(jié)課學(xué)習(xí)你有什么收獲體會(huì)？

生：用字母表示數(shù)它不僅能表達(dá)數(shù)量，還能表達(dá)它們之間的數(shù)量關(guān)系。

生：用字母表示數(shù)可以把一類問(wèn)題概括表示出來(lái)，很簡(jiǎn)潔。

……

2.建構(gòu)模型

師：帶著今天的學(xué)習(xí)收獲，看這里的a 表示什么意思？5a 呢？

生：a 表示一本字典的價(jià)格，5a 表示5 本字典的總價(jià)。

師：現(xiàn)在的a 可以表示什么？5a 呢？

生：a 可以表示一本字典的頁(yè)數(shù)，5a 就表示5 本字典的總頁(yè)數(shù)。

生：a 可以表示一本字典的厚度，5a 就表示5 本字典的總厚度。

生：a 可以表示一本字典的重量，5a 就表示5 本字典的總重量。

……

師：現(xiàn)在你覺得a 可以表示什么？5a 呢？

（學(xué)生舉例略）

師：根據(jù)大家剛才的介紹，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只要這兩個(gè)量之間有這樣5 倍的關(guān)系，都可以用5a 來(lái)表示。

師：是的，以前我們研究的都是一個(gè)算式對(duì)應(yīng)著一個(gè)具體的問(wèn)題，而今天我們用含有字母的式子可以表示一組具有相同數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的一類問(wèn)題，這是很大的變化，也給我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)了很大的便捷。

六、課外鏈接，文化浸潤(rùn)

師：今天我們共同學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”，用數(shù)學(xué)的眼光看這個(gè)課題，還能更簡(jiǎn)潔地概括嗎？

生：字母換數(shù)。

生：字母代數(shù)。

師：概括得真好！從今天起我們開啟了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)全新領(lǐng)域——“代數(shù)”。我們一起來(lái)了解一下“代數(shù)”的歷史發(fā)展歷程。

（視頻介紹，略）

師：聽完這則資料介紹，你有什么感受？

生：代數(shù)的研究經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。

生：數(shù)學(xué)家們真了不起！

……

師：最后把德國(guó)著名天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒的一句話送給大家：“數(shù)學(xué)是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系?！毕Ｍ蠹?guī)е@樣的數(shù)學(xué)眼光繼續(xù)打開 “代數(shù)”學(xué)習(xí)的這扇知識(shí)大門。