結(jié)構(gòu)化教學(xué)“通元”可“識(shí)微”*
——以初中數(shù)學(xué)“一元一次不等式”教學(xué)為例

何君青 高 健

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出要探索大單元教學(xué)，積極開(kāi)展主題化、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等綜合性教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通，加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化。這里的結(jié)構(gòu)化指的不僅是內(nèi)容、形式上的變化，更多的是從學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生學(xué)習(xí)視角對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)整，此舉能更好地體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)特征和學(xué)生學(xué)習(xí)的需要。下面，筆者結(jié)合蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第十一章“一元一次不等式”教學(xué)的設(shè)計(jì)，闡述結(jié)構(gòu)化教學(xué)的一些做法和思考。

一、教學(xué)分析

（一）教學(xué)理念

方程和不等式均是刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系的重要模型，方程用以表示數(shù)量間的相等關(guān)系，是含有未知數(shù)的等式；不等式用以表示數(shù)量間的不等關(guān)系，是含有未知數(shù)的不等關(guān)系式。兩者相互聯(lián)系、相互滲透、相互作用、相輔相成。因此，類比方程開(kāi)展不等式的研究，無(wú)論是從實(shí)際問(wèn)題抽象出不等關(guān)系、建立不等式（組）的概念，還是列不等式（組）、求解不等式（組），都合情合理。這樣的學(xué)習(xí)方式既可以將方程學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)引入到不等式的學(xué)習(xí)中，又可以揭示兩者知識(shí)與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架、把握不等式（組）的本質(zhì)特征。

類比是一種由特殊到特殊的推理方法，是由一種對(duì)象的研究遷移到另一對(duì)象的研究的有效策略。它是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的思想方法，是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的一種有效實(shí)施途徑，能使研究的內(nèi)容更具遷移性、深刻性，研究的策略更具一致性、整體性，已越來(lái)越受到教師的關(guān)注。

故而，本章以“結(jié)構(gòu)化”的理念作為教學(xué)依據(jù)，充分利用方程的相關(guān)知識(shí)、研究方法和經(jīng)驗(yàn)開(kāi)展類比教學(xué)，在同中辨異的過(guò)程中尋找不等式的特殊之處，在異中求同的過(guò)程中凸顯兩者之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生形成清晰、有序的結(jié)構(gòu)圖譜。具體教學(xué)框架如圖1所示。

（圖1）

（二）具體設(shè)想

明確了本章的教學(xué)理念后，為了更好地開(kāi)展“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)，將“類比”做得更充分，筆者將每一節(jié)內(nèi)容中“類比”之處作了細(xì)致分析。具體說(shuō)明如下表所示。（見(jiàn)表1）

表1 “一元一次不等式”教學(xué)內(nèi)容分析

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

有了每課時(shí)的具體設(shè)想，筆者設(shè)計(jì)了課堂上的主要環(huán)節(jié)。集中體現(xiàn)在概念生成、解法探索、應(yīng)用操作三部分。在概念生成部分，主要類比方程相關(guān)的概念，建構(gòu)不等式相關(guān)的概念，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的統(tǒng)整；在解法探索部分，主要辨析解不等式與解方程的異同，從而獲得解不等式的一般步驟，實(shí)現(xiàn)方法的一致；在應(yīng)用操作部分，主要辨析用不等式解決問(wèn)題與用方程解決問(wèn)題時(shí)每步的聯(lián)系與區(qū)別，從而提取用不等式解決問(wèn)題的一般思路，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用的推廣。

（一）概念生成：內(nèi)容的統(tǒng)整

【設(shè)計(jì)1】在“生活中的不等式”一課中，筆者設(shè)計(jì)了如下一組問(wèn)題。

問(wèn)題1：像a≤100，x＞5.7，y＋2＜11.5，m2≥16 這樣的式子，它們有什么共同的特征？說(shuō)說(shuō)看。

問(wèn)題2：請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出幾個(gè)類似的式子。

問(wèn)題3：上述式子和以前學(xué)習(xí)的等式有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問(wèn)題4：如果給上述這類式子起個(gè)名字，可能會(huì)是什么？

【設(shè)計(jì)2】在“不等式的解集”一課中，筆者設(shè)計(jì)了如下一組問(wèn)題。

問(wèn)題1：還記得“方程的解”的定義是什么嗎？

問(wèn)題2：類比“方程的解”的定義，你能對(duì)“不等式的解”下個(gè)定義嗎？

問(wèn)題3：“方程的解”與“不等式的解”之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？說(shuō)說(shuō)看。

問(wèn)題4：數(shù)學(xué)上，我們將“一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解”合在一起，稱為這個(gè)不等式的解集。那么，你覺(jué)得不等式的解與解集之間有什么關(guān)系呢？說(shuō)說(shuō)看。

【設(shè)計(jì)3】在“不等式的基本性質(zhì)”一課中，筆者設(shè)計(jì)了如下一組問(wèn)題。

問(wèn)題1：還記得等式的基本性質(zhì)嗎？是什么？

問(wèn)題2：類似的，猜一猜，不等式會(huì)有什么基本性質(zhì)？

問(wèn)題3：“等式的基本性質(zhì)”與“不等式的基本性質(zhì)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？說(shuō)說(shuō)看。

設(shè)計(jì)1 以生活的例子引入，讓學(xué)生體會(huì)到生活中不等關(guān)系的大量存在，并利用數(shù)學(xué)表達(dá)式描繪不等關(guān)系。在與等式進(jìn)行比較的過(guò)程中，歸納異同，學(xué)生能清晰地認(rèn)識(shí)到兩者的區(qū)別在于用了不同類型的關(guān)系符號(hào)（等號(hào)與不等號(hào)）連接兩個(gè)代數(shù)式。

設(shè)計(jì)2 中，學(xué)生在辨析的過(guò)程中，可以感悟到一元一次方程解的確定性和一元一次不等式解的不確定性，因此一元一次不等式解集的概念自然引出。在辨析、比較方程解和不等式解、解集的過(guò)程中，學(xué)生能夠充分體會(huì)到“方程可以看作是不等式的極端情況，不等式是方程范圍的擴(kuò)張”，更好地理解不等式解與方程解的關(guān)系，并體會(huì)到“不等式的解是其解集中的一個(gè)數(shù)值，而解集是所有解的統(tǒng)稱”。

設(shè)計(jì)3 中，學(xué)生通過(guò)類比嘗試歸納不等式的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)“不等式左右兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的符號(hào)要改變”等性質(zhì)，為后續(xù)解不等式提供了計(jì)算基礎(chǔ)。上述三個(gè)設(shè)計(jì)牢牢緊扣概念產(chǎn)生背后的知識(shí)內(nèi)容之間的密切關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生加深理解的同時(shí)，更好地掌握了相應(yīng)內(nèi)涵。

（二）解法探索：方法的一致

【設(shè)計(jì)1】在“解一元一次不等式”第1 課時(shí)中，筆者設(shè)計(jì)了如下一組問(wèn)題。

問(wèn)題1：還記得解一元一次方程的步驟是什么嗎？每一步的依據(jù)又是什么？

問(wèn)題2：類似的，解一元一次不等式會(huì)經(jīng)歷哪些步驟？每一步的依據(jù)又是什么？

問(wèn)題3：在解一元一次不等式時(shí)，每一步有什么要注意的呢？這與解一元一次方程的每一步相類似嗎？

【設(shè)計(jì)2】在“一元一次不等式組”第1 課時(shí)中，筆者設(shè)計(jì)了如下一組問(wèn)題。

問(wèn)題1：明確了不等式組的解集的定義，想一想，解不等式組的步驟會(huì)是什么呢？

問(wèn)題2：都是“組”，那么解一元一次不等式組的理念和解二元一次方程組的理念一致嗎？

問(wèn)題3：解一元一次不等式組的方法和解二元一次方程組的方法一致嗎？有何區(qū)別？

既然方程和不等式有著密切的聯(lián)系，那么解方程和解不等式應(yīng)該也具備特殊的關(guān)系。設(shè)計(jì)1 借助解一元一次方程獲得的經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展一元一次不等式解法的研究，幫助學(xué)生打通知識(shí)聯(lián)系的壁壘，加深對(duì)一元一次不等式解法的理解，深刻體會(huì)到式子兩邊同時(shí)“變形”時(shí)不同的原因。

“二元一次方程組”“一元一次不等式組”的解，在本質(zhì)上都有“公共”的含義，即要找到符合每一個(gè)方程或不等式的解。在解法的操作上，兩者有著明顯的區(qū)別，二元一次方程組需要方程“合作”求解，而一元一次不等式組則需各不等式先“單獨(dú)”求解，后取公共部分得到解集。設(shè)計(jì)2 將兩者對(duì)比研究，讓學(xué)生更深刻地理解“組”的含義，也明確了雖然都是“組”，但解法不同，從而發(fā)展推理能力、應(yīng)用意識(shí)。

（三）應(yīng)用操作：應(yīng)用的推廣

在“用一元一次不等式解決問(wèn)題”第1 課時(shí)中，筆者設(shè)計(jì)了如下一組問(wèn)題。

問(wèn)題1：用一元一次方程解決問(wèn)題的步驟是什么？

問(wèn)題2：類比一元一次方程，想一想用一元一次不等式解決問(wèn)題會(huì)經(jīng)歷哪些步驟？

問(wèn)題3：用一元一次不等式解決問(wèn)題和用一元一次方程解決問(wèn)題時(shí)，每一步有區(qū)別嗎？有特別需要注意的地方嗎？

上述設(shè)計(jì)從用一元一次方程解決問(wèn)題的步驟入手，提煉出“設(shè)—列—解—答”四步驟。學(xué)生通過(guò)類比，歸納出用一元一次不等式解決問(wèn)題的相同四步。上述過(guò)程中，教師要提醒學(xué)生注意的是：在用一元一次不等式解決問(wèn)題設(shè)未知數(shù)時(shí)，“設(shè)”要呈現(xiàn)出一個(gè)范圍，這與不等式的含義匹配；還要分清最后的結(jié)果是求具體的數(shù)值，如最大、最小值，還是求一個(gè)范圍。

三、教學(xué)思考

從根本上說(shuō)，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容具備統(tǒng)一性、整體性。因此在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所具有的“結(jié)構(gòu)性”——既有內(nèi)涵的一致性，也有方法的一致性。這樣的“結(jié)構(gòu)化”學(xué)習(xí)有助于學(xué)生構(gòu)建體系，正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，深入理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，從而更好地發(fā)展自身的認(rèn)知能力。

本章教學(xué)的設(shè)計(jì)，充分揭示了方程與不等式，尤其是一元一次方程與一元一次不等式的知識(shí)內(nèi)容和研究方法上的橫縱聯(lián)系。一方面，在生活中數(shù)量關(guān)系的統(tǒng)攝下，教師帶領(lǐng)學(xué)生首先剖析方程與不等式的定義及相關(guān)概念、基本性質(zhì)的共同之處，繼而辨析兩者在解法、應(yīng)用等方面的不同之處。在異中求同、同中辨異中，學(xué)生感悟到知識(shí)學(xué)習(xí)的整體性和研究方法的一致性，形成了相對(duì)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。另一方面，設(shè)計(jì)緊緊抓住“類比”這一方法，使得學(xué)生不同階段的經(jīng)驗(yàn)相互融合，思維不斷擴(kuò)展。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，思考新問(wèn)題與已學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而不斷地去發(fā)現(xiàn)、去獲得新知。

初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)核心的要義就是整體把握，由此及彼，以宏觀的視角解決細(xì)微處的問(wèn)題，即“通元”而“識(shí)微”，其中類比是一種重要的手段。通過(guò)類比，學(xué)生可以實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)內(nèi)容的整體把握，貫通前后知識(shí)間的研究方法、研究策略，從而建立起對(duì)所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，提煉出能夠遷移的經(jīng)驗(yàn)，最終實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升。