面向新型四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析和近似建模方法

賈 鍶,王桂榮,陳思魯,胡 華,張 馳,楊桂林

(1.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,浙江 杭州 310018;2.中國(guó)科學(xué)院 寧波材料技術(shù)與工程研究所,浙江 寧波 315201)

與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人相比,并聯(lián)機(jī)器人是一類新型機(jī)構(gòu),具有剛度較強(qiáng)、動(dòng)態(tài)性較好、慣性較小、承載能力較高、累積誤差小等優(yōu)點(diǎn)[1]?？臻g四自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可廣泛應(yīng)用于分揀、包裝、碼垛、裝配、3D打印技術(shù)[2-3]等操作中。

目前關(guān)于并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模的方法很多,如崔敏其[4]用拉格朗日公式法對(duì)SCARA機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo),劉國(guó)軍[5]利用凱恩法對(duì)三自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)反解模型,姜園等[6]基于牛頓-歐拉方法對(duì)3-RRRT并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建,徐靈敏等[7]以幾何代數(shù)為工具結(jié)合虛功原理法確定并聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)力或力矩的幾何表達(dá)式。其中拉格朗日函數(shù)方法較為簡(jiǎn)單、緊湊,不需要求解內(nèi)作用力,然而由于空間并聯(lián)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、耦合度高,而且隨著關(guān)節(jié)數(shù)和自由度的增加,使用拉格朗日函數(shù)方法計(jì)算得到的結(jié)果越來越復(fù)雜,運(yùn)算量急劇增加,無法滿足實(shí)時(shí)控制的需要。

能實(shí)現(xiàn)高效計(jì)算的逆動(dòng)力學(xué)模型是并聯(lián)機(jī)器人在高速高精應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制的關(guān)鍵性因素[8],本文以構(gòu)型為4PPa-2PaR[9]的四自由度三平移一旋轉(zhuǎn)(three-degree-of-freedom translations and one-degree-of-freedom rotation,3T1R)并聯(lián)機(jī)器人為探究對(duì)象,首先分析該機(jī)器人機(jī)械構(gòu)型及其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并在此基礎(chǔ)上,采用拉格朗日函數(shù)方法建立其動(dòng)力學(xué)模型;其次,基于該機(jī)器人構(gòu)型的幾何對(duì)稱性、構(gòu)件理想化、桿件質(zhì)量小等特性,對(duì)該模型進(jìn)行近似化簡(jiǎn);最后,對(duì)該機(jī)器人在實(shí)際工況下的軌跡進(jìn)行跟蹤仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了近似建模方法的可行性,從而為該機(jī)器人的控制和優(yōu)化提供依據(jù)。

1 機(jī)械結(jié)構(gòu)描述

本文所研究的四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1。圖1中,機(jī)器人結(jié)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、4個(gè)磁懸浮直線電機(jī)、4組主動(dòng)臂、2組從動(dòng)臂、2個(gè)主從動(dòng)臂連接件組成。

圖1 四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人Figure 1 4-DOF 3T1R parallel robot

本機(jī)械系統(tǒng)中,同側(cè)的2個(gè)電機(jī)共用一個(gè)定子[10],2個(gè)定子平行等高地固定在定平臺(tái)上,主動(dòng)臂、從動(dòng)臂皆為平行四桿機(jī)構(gòu),2個(gè)主從動(dòng)臂連接件以轉(zhuǎn)動(dòng)副分別連接對(duì)應(yīng)側(cè)的2個(gè)主動(dòng)臂和1個(gè)從動(dòng)臂,主動(dòng)臂組與電機(jī)動(dòng)子以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接,從動(dòng)臂組以轉(zhuǎn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)相連。動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)由4個(gè)磁懸浮電機(jī)的位置決定。

2 動(dòng)力學(xué)分析

本文所研究的四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)對(duì)稱,而且只需要求得直線電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力,即建立機(jī)器人的逆動(dòng)力學(xué)模型,而不需要求解相互作用的內(nèi)作用力[11],故本文選用較為簡(jiǎn)單緊湊的拉格朗日函數(shù)方法來建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程,用拉格朗日函數(shù)方法進(jìn)行分析時(shí),只需要考慮系統(tǒng)的能量——包括系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能即可。

2.1 等效模型

為了便于建模,假設(shè)有以下條件:把全部對(duì)象視作剛體,把平行四桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為連桿,并按單個(gè)支鏈上的部件類型從電機(jī)到動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行標(biāo)號(hào),建立忽略小偏置的連桿-質(zhì)點(diǎn)等效抽象模型。

如圖2,建立全局坐標(biāo)系O-xyz,其原點(diǎn)O固定于電機(jī)M1所在導(dǎo)軌的左極限位置上。y軸方向定義為沿電機(jī)所在導(dǎo)軌向右方向,z軸方向定義為垂直于水平面豎直向上,x軸方向由右手定則確定。

圖2 機(jī)器人等效模型圖Figure 2 Equivalent model diagram of the robot

建立局部坐標(biāo)系O′-x′y′z′,原點(diǎn)O′位于動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處,z′軸方向與z軸方向相同,y′軸方向垂直于從動(dòng)臂末端連線,指向y軸正方向,x′軸方向由右手定則確定。

相關(guān)幾何參數(shù)定義如下:l2、l4、l5為部件2、4、5的長(zhǎng)度,l2c、l4c、l5c為部件2、4、5的質(zhì)心到與上一部件連接點(diǎn)的長(zhǎng)度,L為兩平行導(dǎo)軌間距。

2.2 位置與速度

電機(jī)的質(zhì)心的位置分別為

(1)

式(1)中,y1、y2、y3、y4分別為電機(jī)M1、M2、M3、M4的質(zhì)心在Oy方向上的坐標(biāo)值,m。

與電機(jī)M1、M3相連的主動(dòng)臂與平面xOy形成的銳角分別為主動(dòng)角α1和α2,與電機(jī)M2、M4相連的主動(dòng)臂與平面xOy形成的銳角在量值上分別與α1和α2相等。α1和α2可由電機(jī)的y軸坐標(biāo)計(jì)算如式(2):

(2)

令sαi=sinαi,cαi=cosαi,則主動(dòng)臂的質(zhì)心的位置可被分別表示如式(3):

(3)

主從動(dòng)臂間連接件的質(zhì)心位置分別為

(4)

從動(dòng)臂與平面yOz成的銳角分別為從動(dòng)角β1和β2,令sβi=sinβi,cβi=cosβi,從動(dòng)角可由x軸和z軸上的約束[12],即式(5)計(jì)算:

(5)

式(5)中,θ為動(dòng)平臺(tái)繞z′軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,即O′x′軸與Ox軸夾角,rad。令sθi=sinθi,cθi=cosθi,θ可用式(6)計(jì)算:

(6)

從動(dòng)臂的質(zhì)心的位置分別為

(7)

動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心為

P5=(P5x,P5y,P5z)。

(8)

式(8)中,P5x、P5y、P5z分別為

(9)

對(duì)式(1)求導(dǎo),可以求得電機(jī)M1、M2、M3、M4的質(zhì)心的速度為

(10)

對(duì)式(3)求導(dǎo),主動(dòng)臂的質(zhì)心平動(dòng)速度分別為

(11)

對(duì)式(4)求導(dǎo),主從動(dòng)臂間連接件的質(zhì)心速度分別為

(12)

對(duì)式(7)求導(dǎo),從動(dòng)臂的質(zhì)心的速度分別為

(13)

對(duì)式(9)求導(dǎo),動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心在三個(gè)方向上的速度分別為

(14)

動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心的速度即為

v5=(v5x,v5y,v5z)。

(15)

2.3 動(dòng)能與勢(shì)能

在連桿-質(zhì)點(diǎn)等效模型中,部件1、3被視作質(zhì)點(diǎn),僅有平動(dòng)動(dòng)能,而部件2、4、5被視作連桿,動(dòng)能為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分動(dòng)能之和。五種部件的動(dòng)能表示如下:

(16)

式(16)中:mi為各個(gè)類型單個(gè)部件的質(zhì)量,其中i∈{1,2,3,4,5},kg;J2x、J2y、J5z分別為部件2、4、5經(jīng)過各自質(zhì)心在相應(yīng)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,kg·m2。

則此模型的總動(dòng)能為

(17)

以xOy平面為零勢(shì)能面,5種部件的勢(shì)能表示如下:

(18)

則此模型的總勢(shì)能為

(19)

2.4 拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程

(20)

那么本系統(tǒng)中的電機(jī)在控制在y軸上的移動(dòng)變量時(shí),需要的施加在運(yùn)動(dòng)方向y上的合力應(yīng)分別為

(21)

3 動(dòng)力學(xué)近似建模方法

本文的實(shí)驗(yàn)條件如下:使用的MATLAB版本為R2020b,設(shè)備品牌型號(hào)為L(zhǎng)enovo Xiaoxin 510S-141KB,中央處理器的型號(hào)為Intel(R) Core(TM) i7-7500U CPU @ 2.70 GHz 2.90 GHz,操作系統(tǒng)的類型為64位操作系統(tǒng),基于x64的處理器。

使用MATLAB對(duì)以上模型動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行計(jì)算,單個(gè)電機(jī)推力方程的推演時(shí)間大于5 s,包括加減乘除乘方在內(nèi)的計(jì)算次數(shù)大于23 000次。將電機(jī)的位置動(dòng)態(tài)軌跡[13]設(shè)為

(22)

將式(22)所示的動(dòng)態(tài)軌跡代入到用拉格朗日函數(shù)方法求得的動(dòng)力學(xué)模型中計(jì)算,單次單個(gè)電機(jī)的計(jì)算時(shí)間大于16 s,計(jì)算量大,計(jì)算時(shí)間長(zhǎng),故無法滿足實(shí)際運(yùn)用時(shí)實(shí)時(shí)解算的要求。本文采用的近似方法均為在前一步驟的基礎(chǔ)上進(jìn)行下一步近似,以期獲得在不同精度和實(shí)時(shí)性要求下可以采用的簡(jiǎn)化模型。

3.1 基于小角度幾何近似的模型簡(jiǎn)化

被動(dòng)角的精確計(jì)算涉及多個(gè)參數(shù)和變量,計(jì)算復(fù)雜,但其量值在后續(xù)模型計(jì)算中涉及頗多。根據(jù)在實(shí)際系統(tǒng)中動(dòng)平臺(tái)長(zhǎng)度較小的特點(diǎn),本文在此提出一種基于小角度幾何近似的簡(jiǎn)化方法,以減少模型計(jì)算量。

圖3 小角度幾何近似示意圖Figure 3 Schematic diagram of small angle geometric approximation

(23)

(24)

式(25)中,Δz為兩側(cè)部件3質(zhì)心之間的高度差,即

Δz=l2(sinα1-sinα2)。

(25)

那么近似的被動(dòng)角可以表示為式(26):

(26)

對(duì)被動(dòng)角度進(jìn)行近似后,用MATLAB對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行計(jì)算,單個(gè)電機(jī)推力方程的推演時(shí)間約為4.171 s左右,計(jì)算次數(shù)為13 867次,對(duì)同一動(dòng)態(tài)軌跡的計(jì)算時(shí)間約為12.657 s。

3.2 基于等效均質(zhì)桿的模型簡(jiǎn)化

以上連桿-質(zhì)點(diǎn)等效模型在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)忽略了小偏置,為后續(xù)動(dòng)力學(xué)建模計(jì)算提供了便捷,為更進(jìn)一步減少參數(shù),現(xiàn)將其中全部連桿視為均質(zhì)桿,部件的質(zhì)點(diǎn)位于其幾何中心處。

那么主動(dòng)臂相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(27)

式(27)中,ρ為桿件密度,ρ=m2/l2,kg/m。同理可得

對(duì)于模型的實(shí)際應(yīng)用而言,代換后減少了待辨識(shí)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)[14],并將動(dòng)力學(xué)方程中的同類項(xiàng)進(jìn)行合并,用MATLAB對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行計(jì)算,單個(gè)電機(jī)推力方程的推演時(shí)間約為2.051 s,計(jì)算次數(shù)為6 259次,對(duì)同一動(dòng)態(tài)軌跡的計(jì)算時(shí)間約為4.279 s,進(jìn)一步簡(jiǎn)化了模型,減少了計(jì)算量。

3.3 基于等效集中質(zhì)量的模型簡(jiǎn)化

圖4 等效集中質(zhì)量分布圖Figure 4 Equivalent concentrate mass distribution diagram

用MATLAB對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行計(jì)算,單個(gè)電機(jī)推力方程的推演時(shí)間約為1.788 s左右,計(jì)算次數(shù)為6 215次,對(duì)同一動(dòng)態(tài)軌跡的計(jì)算時(shí)間約為3.690 s。

4 動(dòng)力學(xué)仿真分析

為了驗(yàn)證以上動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型的可行性和精確度,在ADAMS中導(dǎo)入已有的相同構(gòu)型的虛擬樣機(jī),進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)以對(duì)以上簡(jiǎn)化模型進(jìn)行驗(yàn)證,驗(yàn)證策略[17]如圖5。

圖5 驗(yàn)證策略流程圖Figure 5 Flow chart of verification strategy

在ADAMS中讀取虛擬樣機(jī)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)取值如表1。

4.1 幾何參數(shù)反向標(biāo)定

使電機(jī)的質(zhì)心的位置分別為

(28)

在ADAMS中讀取虛擬樣機(jī)的幾何參數(shù)取值如表2。

表2 四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人的幾何參數(shù)取值(反向標(biāo)定前)

計(jì)算得到電機(jī)M1上的力約為18.986 3 N,ADAMS中仿真結(jié)果為23.864 4 N,兩者相差20.440 9%。要讓數(shù)學(xué)模型計(jì)算達(dá)到較高的絕對(duì)精度,獲得合適的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)是十分必要的[18]。據(jù)以上數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)模型中的幾何參數(shù)進(jìn)行反向標(biāo)定,反向標(biāo)定后結(jié)果見表3。

表3 四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人的幾何參數(shù)取值(反向標(biāo)定后)

對(duì)比表2和表3,可見反向標(biāo)定后有些參數(shù)偏差較大,如l4、L,其他參數(shù)也有不同程度的偏差。導(dǎo)致反向標(biāo)定前后的偏差原因有很多,如在動(dòng)力學(xué)建模過程中對(duì)多種要素的理想化、近似建模及人工測(cè)距等。也正是由于幾何參數(shù)名義值代入模型進(jìn)行解算的結(jié)果不準(zhǔn)確,所以需要對(duì)數(shù)學(xué)模型中的幾何參數(shù)進(jìn)行反向標(biāo)定。

4.2 結(jié)果對(duì)比與分析

4.2.1 軌跡選擇

基于機(jī)器人的分揀功能,將電機(jī)在y軸上的位置動(dòng)態(tài)軌跡設(shè)為多段三次多項(xiàng)式,相關(guān)多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣如表4。

表4 電機(jī)動(dòng)態(tài)軌跡系數(shù)表

各個(gè)電機(jī)在y軸上的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6。將該軌跡輸入ADAMS進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),仿真時(shí)間設(shè)為1 s,步數(shù)為100步。

圖6 電機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡Figure 6 Figure of track of motor motion

4.2.2 結(jié)果對(duì)比

將ADAMS中的推力仿真結(jié)果導(dǎo)出到MATLAB中,與未簡(jiǎn)化的等效模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖7。

圖7 動(dòng)力學(xué)模型與仿真力曲線對(duì)比圖Figure 7 Comparison diagram between dynamic model and simulation force curve

未簡(jiǎn)化模型的計(jì)算結(jié)果與ADAMS中仿真結(jié)果間的相關(guān)系數(shù)均在0.99以上,總體吻合程度良好,驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。在同一軌跡下,用MATLAB對(duì)不同程度簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解算,并與仿真結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果如圖8～10。簡(jiǎn)化后模型的計(jì)算結(jié)果與ADAMS中仿真結(jié)果間的相關(guān)系數(shù)均在0.98以上,為強(qiáng)線性相關(guān)程度,曲線吻合程度高[19]。

圖8 小角度幾何近似模型力曲線對(duì)比圖Figure 8 Comparison diagram of force curve of small angle geometric approximate model

圖9 基于等效均質(zhì)桿模型力曲線對(duì)比圖Figure 9 Comparison diagram of force curve based on equivalent homogeneous bar model

圖10 基于等效集中質(zhì)量簡(jiǎn)化模型力曲線對(duì)比圖Figure 10 Comparison diagram of force curve based on equivalent concentrate mass simplified model

4.2.3 結(jié)果分析

分析各個(gè)模型解算結(jié)果與ADAMS中仿真結(jié)果間的均方誤差,如圖11。

圖11 各個(gè)模型的均方誤差Figure 11 Mean square error of each model

分析機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中,各個(gè)模型解算結(jié)果與ADAMS中仿真結(jié)果間的實(shí)時(shí)絕對(duì)誤差,如圖12。

圖12 各個(gè)模型的絕對(duì)誤差Figure 12 Relative error of starting time of each model

由以上誤差分析可知,在該軌跡下,誤差并沒有在簡(jiǎn)化并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的過程中持續(xù)擴(kuò)大,小角度幾何近似模型誤差帶的偏移量較大,隨著模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化,基于等效均質(zhì)桿模型和等效集中質(zhì)量簡(jiǎn)化模型計(jì)算效果較優(yōu)。

采用被動(dòng)關(guān)節(jié)角小角度近似-等效均質(zhì)桿-等效集中質(zhì)量模型順次近似后,計(jì)算步驟和時(shí)間的減少幅度如表5,在保證精確度的同時(shí),大幅減少了所需的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算量。

表5 動(dòng)力學(xué)順次近似模型簡(jiǎn)化程度

5 結(jié) 語

本文針對(duì)應(yīng)用于分揀的四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析和近似建模問題,利用并聯(lián)機(jī)器人的幾何對(duì)稱性質(zhì),在被動(dòng)關(guān)節(jié)角的計(jì)算上進(jìn)行了近似,并在此基礎(chǔ)上對(duì)該機(jī)器人的桿件和質(zhì)量分布進(jìn)行了進(jìn)一步的近似。

對(duì)于給定的分揀軌跡,利用ADAMS和MATLAB對(duì)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真和分析,證明在該軌跡下,簡(jiǎn)化后動(dòng)力學(xué)模型能夠在保證精確度的同時(shí),減少計(jì)算步驟和時(shí)間。