功能梯度材料板在熱環(huán)境與橫向載荷共同作用下的非線性振動分析

朱江輝,林華剛,張雪莉,常曉通

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院,西安 710072;2. 中國飛行試驗(yàn)研究院,西安 710089;3. 西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院,西安 710072)

功能梯度材料(FGMs)是一種專門為極限環(huán)境下工作而設(shè)計,具有理想性能的復(fù)合材料,因此廣泛地應(yīng)用在航空航天領(lǐng)域。FGMs的優(yōu)點(diǎn)是它們可以在高熱梯度環(huán)境中生存,同時能保持結(jié)構(gòu)完整性。Jha[1]指出,用于特定應(yīng)用的FGMs材料必須同時滿足抗熱載荷和機(jī)械載荷的能力。

很多學(xué)者對FGMs板的熱彈性、靜態(tài)和動態(tài)特性進(jìn)行了研究。Loy等[2]利用3階剪切變形板理論研究了FGMs殼、圓板在熱、機(jī)械載荷耦合作用下的靜、動力學(xué)響應(yīng)。Woo等[3]研究了FGMs板殼在機(jī)械載荷和溫度場作用下的大撓度問題,結(jié)果表明,熱-力耦合效應(yīng)是決定系統(tǒng)響應(yīng)的主要因素。Ng等[4]選取了兩個截斷模態(tài)來研究FGMs板在平面內(nèi)和周期激勵下的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)材料組成可以顯著改變穩(wěn)定區(qū)域的大小和范圍。Javaheri等[5]在熱場中討論了FGMs板在面內(nèi)載荷作用下的屈曲問題,給出了FGMs板的屈曲載荷和臨界溫度。夏賢坤等[6]對人環(huán)境中功能梯度材料剪切板屈曲后的自由振動進(jìn)行了分析,討論了材料組分指數(shù)、溫度場等參數(shù)變化所帶來的影響。燕秀發(fā)等[7]采用了半解析數(shù)值方法對線性梯度和指數(shù)梯度功能材料板分別受恒定位移、均勻拉伸載荷和彎曲載荷作用進(jìn)行了分析。吳曉等[8]討論分析了中性面位置、梯度指數(shù)、溫度等因素對功能梯度材料圓板非線性振動及屈曲的影響。黃小林等[9]研究了軸向運(yùn)動功能梯度材料板的自由振動與屈曲特性。

Hao等[10]研究了功能梯度板非線性動力響應(yīng),重點(diǎn)研究了橫向荷載和面內(nèi)激勵作用下平板的1∶1內(nèi)共振和參數(shù)共振。Kazemirad等[11]研究了軸向彎曲運(yùn)動梁的熱-力學(xué)非線性動力響應(yīng),特別考慮了3∶1內(nèi)共振的特性。Yang等[12]研究了縱向循環(huán)載荷作用下不同邊界的FGMs圓柱板的熱場參數(shù)激勵問題。Hamed[13]利用頻率響應(yīng)方程、相平面技術(shù)和Lyapunov方法研究了FGMs平板在混合激勵下的非線性振蕩和混沌動力學(xué),分析了系統(tǒng)解的穩(wěn)定性。郝育新等[14]研究了兩對邊簡支另兩對邊自由的功能梯度板材料的周期與混沌運(yùn)動。田建輝等[15]采用混合數(shù)值方法分析了功能梯度材料板中瞬態(tài)熱響應(yīng)問題。針對外載荷和溫度載荷同時作用下,FGMs結(jié)構(gòu)非線性主共振的動力學(xué)特性研究較少。

本文針對FGMs板非線性振動進(jìn)行了研究,首先建立系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型,利用伽遼金方法將偏微分方程截斷為常微分方程;采用多尺度法得到了系統(tǒng)的近似解析解和幅頻響應(yīng);然后,研究了FGMs板在不同溫度場下固有頻率的變化及熱屈曲問題,討論了不同參數(shù)對FGMs板幅頻響應(yīng)的影響,當(dāng)激勵頻率接近固有頻率時系統(tǒng)的幅值急劇增大,系統(tǒng)呈現(xiàn)出硬特性,且存在多值和跳躍現(xiàn)象。通過數(shù)值解與解析解的比較,驗(yàn)證了分析的有效性。

1 理論分析

1.1 功能梯度材料

假設(shè)由陶瓷和金屬材料組成的FGMs板,示意圖如圖1所示,在熱環(huán)境下受到均勻分布的橫向激勵作用。板的寬度、長度和厚度分別為a,b,和h,陶瓷和金屬的體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向分布為

圖1 功能梯度板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a functional gradient plate

(1)

FGMs通過逐漸地改變材料成分的體積百分比含量而不使其在界面上產(chǎn)生突變,由于這種特殊的微觀組織特征,從而使它的物理性能可以從低溫側(cè)的金屬到高溫側(cè)的陶瓷進(jìn)行平滑而連續(xù)的變化,可在極高溫度梯度下工作。冪率公式用來計算FGMs的有效參數(shù)P(z,T)為

(2)

式中:PU,PL分別為FGMs板上表面和下表面的有效參數(shù)。FGMs有效材料屬性:彈性模量E,泊松比ν,密度ρ和熱膨脹系數(shù)α可以表示為溫度的函數(shù),即

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(3)

式中:T=T0+ΔT(z), ΔT(z)為厚度方向的溫度增量;P0,P-1,P1,P2,P3是溫度T(K)的系數(shù)。

E,ρ,α和ν可以進(jìn)一步表示為:

(4)

1.2 運(yùn)動微分方程

FGMs板的位移場可以用Reddy的3階剪切變形理論來表示,即

(5)

根據(jù)Von-Karman理論,非線性應(yīng)變-位移關(guān)系為

(6)

將式(5)代入式(6),可以得到

(7)

其中:

當(dāng)溫度升高ΔT(z),FGMs板在熱載荷作用下會產(chǎn)生熱應(yīng)變,則

(8)

根據(jù)胡克定律,考慮到溫度的影響,FGMs的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系最終可以表示為:

(9)

其中:

根據(jù)哈密頓原理,可以建立運(yùn)動方程為

(10)

其中,應(yīng)變能的變化δU可以表示為

τyzδγyz+τzxδγzx)dzdxdy=

(11)

板的內(nèi)力可表示為:

(12)

(13)

板的面內(nèi)彎矩為:

(14)

(15)

(16)

外荷載的虛功為

(17)

將式(11)、式(16)和式(17)代入式(10),可以得到:

(18c)

(18d)

(18e)

四邊簡支壁板的位移函數(shù)可以表示為:

(19)

由于面內(nèi)運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)的慣量與橫向運(yùn)動的慣量相比很小,可忽略不計,因此平面內(nèi)運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)的位移可以用橫向位移來表示。uij,vij,φxij和φyij可以通過式(18a)～(18e)由wij表達(dá)。將結(jié)果代入式(18c),得到FGMs板的控制方程為

ξ3w3(t)=k0p0cosωt

(20)

式中:Pz=p0cosωt,p0為外載荷的幅值;ω0為系統(tǒng)的固有頻率;ξ1,ξ2和ξ3分別為系統(tǒng)的非線性系數(shù)。

1.3 熱載荷

假定FGMs板在一個溫度恒定的熱環(huán)境中,溫度只沿厚度方向變化。這是一維熱傳導(dǎo)問題,沿厚度方向的熱傳導(dǎo)方程為

(21)

熱力學(xué)邊界條件為

(22)

式中:ΔTU和ΔTL分別為上層和下層變化的溫度。

式(21)的解為

T(z)=T0+ΔT(z)

(23)

對于 FGMs 板,則有

(24)

2 主共振分析

(25)

其中:

對于主共振問題,引入小參數(shù)ε,令η1=2με2,η2=α2ε,η3=α3ε2,k=Kε2。式(25)可以改寫為

(26)

采用多尺度法求解式(26),得到2階近似解。引入調(diào)諧參數(shù)σ,Ω=1+ε2σ。式(26)的近似解為

(27)

將式(27)代入式(26),可得:

(28)

式(28)中第一個方程的解為

(29)

式中cc為共軛項(xiàng)。將式(29)代入式(28)中第二個式子,則

(30)

D1A=0 orA=A(T2)

(31)

則式(30)的解為

(32)

將式(32)代入式(28)中的第三個式子,有

eiT0+cc+NST

(33)

NST包含e±3iT0的比例項(xiàng),消除久期項(xiàng),則

(34)

式(31)可以表示為復(fù)合函數(shù)的形式,則

(35)

將式(35)代入式(34),將實(shí)部與虛部分離,則:

(36)

令(σT2-β)=γ,對應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動,α′=0,γ′=0,則:

(37)

消除γ,可以得到系統(tǒng)頻率響應(yīng)方程為

(38)

3 解的穩(wěn)定性分析

考慮系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動中的穩(wěn)定性問題,則

α=α0+α1,γ=γ0+γ1

(39)

對小擾動α1和γ1進(jìn)行泰勒展開,得到1階線性近似為:

(40)

將原系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性分析。式(40)的特征方程為

(41)

可以寫為

λ2+c1λ+c2=0

(42)

其中:

式(42)的特征值可以表示為

(43)

根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則,當(dāng)μ>0時,可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定的重要條件

(44)

4 數(shù)值結(jié)果

以簡支FGMs平板為例,對結(jié)構(gòu)進(jìn)行屈曲和非線性振動分析。隨溫度變化的彈性模量E, 泊松比為ν, 密度為ρ,熱膨脹系數(shù)為α,導(dǎo)熱系數(shù)為k,具體參數(shù)見表1。

表1 FGMs材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of FGMs

4.1 參數(shù)分析

首先對3種工況下溫度對FGMs板性能的影響研究。工況1:室溫(300 K, 圖2a));工況2:ΔTL=0,ΔTU=300 K(圖2b));工況3:ΔTL=ΔTU=300 K(圖2c))。發(fā)現(xiàn),彈性模量不再是沿厚度方向的固定值,高溫使材料的彈性模量顯著降低。當(dāng)板結(jié)構(gòu)上下表面存在溫度差時,彈性模量逐漸減小,當(dāng)體積分?jǐn)?shù)小于1時,彈性模量在中間位置出現(xiàn)峰值。

圖2 彈性模量沿厚度方向的變化Fig.2 Changes of elastic modulus along thickness direction

FGMs板中當(dāng)p=2時不同熱環(huán)境下彈性模量和熱膨脹系數(shù)的變化曲線(圖3,圖4)。溫度越高,彈性模量越小。在圖4中,對于金屬材料,溫度越高,熱膨脹系數(shù)越大,而對于陶瓷材料,結(jié)果恰恰相反。對于熱膨脹系數(shù),在中間位置有一個交點(diǎn)。

圖4 不同熱環(huán)境下熱膨脹系數(shù)的變化Fig.4 Changes of thermal expansion coefficient under different thermal environments

4.2 模型驗(yàn)證

簡支平板的頻率方程為

當(dāng)p分別為0和100%時,陶瓷和金屬材料平板的頻率如表2所示。

表2 平板的頻率 Tab.2 Frequency of the plate Hz

Ansys計算的系統(tǒng)固有頻率與理論值吻合,隨著階數(shù)的增加,相對誤差略有增加,但不超過1 %。表3顯示,FGMs板頻率隨著金屬體積分?jǐn)?shù)的增加,前兩階頻率逐漸減小。當(dāng)體積分?jǐn)?shù)達(dá)到10%時,頻率變化很小。

表3 不同體積分?jǐn)?shù)的FGMs板頻率Tab.3 Frequency of FGMs boards with different volume fractions

4.3 溫度對結(jié)構(gòu)特性的影響

當(dāng)熱環(huán)境設(shè)置為ΔTL=0,ΔTU≠0,FGMs板的頻率列于表4和表5。發(fā)現(xiàn),隨著溫度的升高,結(jié)構(gòu)的固有頻率降低,這主要是由于結(jié)構(gòu)的彈性模量降低引起的。當(dāng)溫差達(dá)到735 K,最高溫度達(dá)到1 035 K(室溫為300 K)時,結(jié)構(gòu)發(fā)生熱屈曲。當(dāng)p=2時,頻率顯著降低,屈曲溫差為456 K,低于單一材料壁板在p=0時的屈曲溫差。

表4 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=0)Tab.4 Variation of FGMs plate frequency with temperature (p=0,ΔTL=0,ΔTU≠0)

表5 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=2,ΔTL=0,ΔTU≠0)Tab.5 Variation of FGMs plate frequency with temperature(p=2)

當(dāng)熱環(huán)境為ΔTL=ΔTU時,板的頻率如表6與表7所示。在相同體積分?jǐn)?shù)下,結(jié)構(gòu)熱屈曲溫度明顯小于ΔTL=0工況。當(dāng)ΔTL=0,ΔTU≠0時,屈曲溫度隨體積分?jǐn)?shù)的變化如表8所示,屈曲溫度隨金屬體積分?jǐn)?shù)的增加而降低。

表6 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=0,ΔTL=ΔTU)Tab.6 Variation of FGMs plate frequency with temperature(p=0)

表7 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=2,ΔTL=ΔTU)Tab.7 Variation of FGMs plate frequency with temperature(p=2)

4.4 系統(tǒng)參數(shù)對幅頻響應(yīng)的影響

激勵幅值、阻尼、體積分?jǐn)?shù)和厚度對幅值頻響的影響如圖5所示。

圖5中,黑色粗線為穩(wěn)定解,紅色線為不穩(wěn)定解。當(dāng)激勵頻率接近固有頻率時,幅值迅速增大,支撐曲線族的骨架向著頻率增大的方向彎曲,表現(xiàn)出硬特性,而且存在多值和跳躍現(xiàn)象,表現(xiàn)出典型的非線性動力學(xué)特征。當(dāng)激勵幅值增大時,阻尼減小,體積分?jǐn)?shù)增大或厚度減小,相同激勵頻率下穩(wěn)定解明顯增大。隨著厚度的減小,共振區(qū)域逐漸變寬,而對應(yīng)相同的頻率,且共振被激發(fā)的條件下,穩(wěn)定解的幅值隨板厚度的減小有明顯的增加。以h=0.012 m的幅頻曲線為例,當(dāng)激勵頻率達(dá)到一定值時,曲線存在著多值和跳躍現(xiàn)象。在激勵頻率遠(yuǎn)離固有頻率的情況下,系統(tǒng)頻率與振幅存在一一對應(yīng)的關(guān)系,也就是說,系統(tǒng)只有唯一解,且由解的穩(wěn)定性判別條件可知,這個解是穩(wěn)定的。

4.5 溫度對幅頻響應(yīng)的影響

隨著溫度的升高,結(jié)構(gòu)響應(yīng)的共振區(qū)域會變寬,如圖6所示。溫差越大,穩(wěn)定解的最大振幅越大。ΔTL=ΔTU=100 K狀態(tài)下的幅值大于ΔTL=0,ΔTU=100 K狀態(tài)下幅值,表現(xiàn)出硬特征,響應(yīng)曲線存在著多值和跳躍現(xiàn)象。在共振頻率處,頻率響應(yīng)幅值顯著增大,溫度的變化帶來了顯著的非線性現(xiàn)象。

圖6 不同溫度條件下幅值頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude frequency response curves under different temperature conditions

結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)數(shù)值解如圖7所示。當(dāng)激勵頻率從低到高掃描時,系統(tǒng)響應(yīng)幅值隨著頻率升高逐漸增大。當(dāng)頻率進(jìn)一步升高時,曲線會從A點(diǎn)跳到B點(diǎn),振幅會突然減小。響應(yīng)幅值隨Ω的增加而減小。振動的幅值隨著激勵頻率的增加,在A點(diǎn)處的幅值最大。當(dāng)激勵頻率由高向低反向掃描,剛開始時的響應(yīng)幅值增大,然后從C點(diǎn)到D點(diǎn)發(fā)生跳變。在D點(diǎn)出現(xiàn)拐點(diǎn),振幅減小。使用本文方法的解析結(jié)果與數(shù)值結(jié)果吻合較好,證明了主共振頻響方程的正確性。圖8可以看出,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值接近于平板的厚度,而體積分?jǐn)?shù)對周期運(yùn)動幅值影響不大。

圖7 幅頻響應(yīng)Fig.7 Amplitude-frequency response

圖8 時程曲線 Fig.8 Time history curve

6 結(jié)束語

本文研究了橫向激勵和熱載荷作用下FGMs板的主共振和穩(wěn)定性。采用多尺度法得到了系統(tǒng)的主共振和幅頻響應(yīng)方程。通過數(shù)值解與解析解的比較,說明了主共振幅頻響應(yīng)方程的正確性。結(jié)果表明,在溫度載荷作用下,結(jié)構(gòu)的固有頻率減小,屈曲溫度隨金屬體積分?jǐn)?shù)的增加而降低。當(dāng)激勵頻率接近固有頻率時系統(tǒng)的幅值急劇增大,支撐曲線族的骨架朝頻率增大的方向彎曲,呈現(xiàn)出硬特性,而且存在多值和跳躍現(xiàn)象,表現(xiàn)出典型的非線性運(yùn)動學(xué)特征。