基于二維抽樣優(yōu)化的復(fù)合材料超橢圓板與穿孔板振動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

段雷，景釗

西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072

碳纖維樹脂基增強(qiáng)復(fù)合材料以其高比強(qiáng)度、高比剛度及輕量化設(shè)計(jì)潛力，廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶、汽車工程等領(lǐng)域[1-5]。振動(dòng)是工程結(jié)構(gòu)最常見的動(dòng)力學(xué)問題，如飛機(jī)機(jī)翼的顫振[6]、橋梁的共振[7]、車輪的抖振[8]等。復(fù)合材料層合板作為結(jié)構(gòu)中的基本構(gòu)件，通過優(yōu)化使其振動(dòng)基頻最大化有助于提升結(jié)構(gòu)抗共振特性。為此，本文基于里茲法和二維抽樣優(yōu)化算法[9]優(yōu)化了復(fù)合材料超橢圓板和穿孔矩形板的鋪層序以使其振動(dòng)基頻最大。

由于超橢圓板和穿孔板在工程中有著廣泛應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外研究人員開展了大量研究。邸馗等[10]利用三階剪切變形理論研究了超橢圓蜂窩夾芯板在簡(jiǎn)支邊界條件下的自由振動(dòng)問題。武蘭河等[11]提出了一種新型微分容積法，利用該方法分析了任意邊界條件下中等厚度超橢圓板的自由振動(dòng)問題。M.D.Waller[12]通過試驗(yàn)研究了長(zhǎng)寬比為1.25 和2 的橢圓板振動(dòng)問題。S.Ceribasi 等[13]對(duì)超橢圓板的振動(dòng)進(jìn)行了參數(shù)化研究，考慮了不同長(zhǎng)寬比、材料泊松比和厚度變化對(duì)頻率參數(shù)的影響。焦顯義[14]和K.M.Liew等[15]建立了包含剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的能量公式，利用Ritz法分析了自由、簡(jiǎn)支、固支邊界條件下超橢圓板的自由振動(dòng)問題。K.D.Mali等[16]用Ritz法確定了四邊固支含方形孔矩形板的自由振動(dòng)基頻，并用有限元驗(yàn)證了模態(tài)精確性。K.Ghοnasgi等[17]對(duì)多孔矩形板的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了參數(shù)化研究，分析了孔的大小對(duì)板前三階固有模態(tài)的影響。M.S.H.AL-Araji 等[18]研究了簡(jiǎn)支和固支邊界條件下復(fù)合材料穿孔矩形板的振動(dòng)模態(tài)特性，分析了孔數(shù)、孔面積、鋪層鋪向角和邊界條件對(duì)振動(dòng)頻率及振型的影響。S.S.Hοta等[19]提出了基于一階剪切變形理論的亞參三角形彎曲單元，并利用該單元分析了含任意形狀孔矩形板的振動(dòng)特性。里茲法基于全域試函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)變形作近似，其普適性較有限元低，但對(duì)幾何構(gòu)型規(guī)則的結(jié)構(gòu)求解具有收斂快、速度快、精度高、剛陣維數(shù)小等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于穿孔板的振動(dòng)分析[20-22]，且有利于復(fù)合材料層合板的鋪層優(yōu)化。另外，復(fù)合材料層合板具有可剪裁、設(shè)計(jì)自由度大及離散特征，同時(shí)還需考慮復(fù)雜工程約束，其優(yōu)化設(shè)計(jì)問題受到廣泛關(guān)注。

Y.Narita[23]提出了基于層合板彎曲剛度敏度的分層優(yōu)化算法（LOA），將復(fù)合材料鋪層高維排列組合優(yōu)化問題近似轉(zhuǎn)化為一維線性搜索問題，通過鋪層序?qū)?yōu)優(yōu)化了復(fù)合材料矩形板的基頻。R.T.Haftka 等[24]將受雙軸壓縮載荷的層合板鋪層序優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性規(guī)劃（ⅠLP）問題，但該策略普適性較低。Jing Zhaο[25-26]基于層壓參數(shù)凸性、層合板彎曲剛度敏度提出了序列置換搜索（SPS）算法，但其魯棒性較差。A.Muc等[27]提出了一種將連續(xù)變量限制在[0, 1]范圍內(nèi)的進(jìn)化算法，這種策略難以處理可行域中非可行點(diǎn)。O.Erdal等[28]用模擬退火算法尋找使層合板屈曲承載力最大的鋪層序，但此算法對(duì)全局優(yōu)化問題的魯棒性較差。Chang Nan 等[29]采用改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化了層合板在壓減聯(lián)載作用下的屈曲載荷，然而粒子群優(yōu)化對(duì)于復(fù)合材料層合板工程約束的處理較為繁瑣。M.Abachizadeh等[30]基于蟻群算法搜索了使對(duì)稱層合板基頻最大的鋪層序。遺傳算法（GA）是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化中最常用的優(yōu)化算法，常用于復(fù)合材料圓柱殼[31]、格柵板[32]、翼盒[33]等的鋪層序優(yōu)化。針對(duì)復(fù)合材料層合板鋪層優(yōu)化問題，這類啟發(fā)式算法魯棒性好，但優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則并未考慮層合板彎曲剛度中角鋪層位置關(guān)于厚度的三次敏度關(guān)系，導(dǎo)致計(jì)算量過大，特別是當(dāng)層合板層數(shù)多且候選離散鋪向角也較多時(shí)。此外，拓?fù)鋬?yōu)化[34]和代理模型[35]也廣泛用于復(fù)合材料層合板的振動(dòng)基頻優(yōu)化，但拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算成本較高且迭代收斂慢，而代理模型則難以權(quán)衡高保真度和計(jì)算成本之間的平衡。

本文使用的二維抽樣優(yōu)化算法（2DSO）[9]，利用了層壓參數(shù)可對(duì)鋪層序變量進(jìn)行降維且可表征鋪層序間距離的特征，通過動(dòng)態(tài)距離約束在層壓參數(shù)空間中進(jìn)行抽樣迭代優(yōu)化，一方面解決了將角鋪層作為變量尋優(yōu)時(shí)設(shè)計(jì)空間過大的問題；另一方面，在抽樣優(yōu)化結(jié)果基礎(chǔ)上，通過分層優(yōu)化算法（LOA）[23]進(jìn)行鋪層序優(yōu)化規(guī)避了采用層壓參數(shù)作為自變量時(shí)的復(fù)雜可行域約束。為最大化層合板的基頻，本文基于里茲法和2DSO優(yōu)化了具有不同邊界條件和不同長(zhǎng)寬比的對(duì)稱復(fù)合材料超橢圓板和穿孔矩形板的鋪層序，其中超橢圓板考慮了橢圓度的變化，穿孔矩形板考慮了不同的內(nèi)孔邊界條件。

1 理論推導(dǎo)

1.1 本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)經(jīng)典層合板理論，層合板的位移場(chǎng)為

式中，u、v和w為板在x、y和z方向的位移分量，如圖1所示；u0、v0、w0為板中性面的位移分量。

圖1 復(fù)合材料層合板模型Fig.1 Mοdel οf cοmpοsite plates

對(duì)于薄板的橫向振動(dòng)，u0= 0，v0= 0，則式（1）可簡(jiǎn)化為

應(yīng)變可表達(dá)為

式中，?x是復(fù)合材料層合板任意一點(diǎn)沿x方向的應(yīng)變；?y是復(fù)合材料層合板任意一點(diǎn)沿y方向的應(yīng)變；γxy是復(fù)合材料層合板任意一點(diǎn)在x-y平面的切應(yīng)變。

根據(jù)廣義胡克定律

式中，σx是復(fù)合材料層合板第l層中任意一點(diǎn)沿x方向的正應(yīng)力；σy是復(fù)合材料層合板第l層中任意一點(diǎn)沿y方向的正應(yīng)力；τxy是復(fù)合材料層合板第l層中任意一點(diǎn)在x-y平面的切應(yīng)力，()l（i,j= 1, 2, 6）表示復(fù)合材料層合板在第l層的轉(zhuǎn)移折減剛度系數(shù)。()l可表達(dá)如下

式中，αl為復(fù)合材料層合板在第l層的鋪向角，如圖2所示；Q11、Q12、Q22、Q66分別表示復(fù)合材料層合板的剛度系數(shù)

圖2 層合板第l層的材料鋪向角和材料主軸Fig.2 The layup angle and principal axes οf material οf the layer l οf the laminate

式中，E1是1方向的彈性模量；E2是2方向的彈性模量；ν12是1方向的正應(yīng)力引起2方向的變形系數(shù)；ν21是2方向的正應(yīng)力引起1方向的變形系數(shù)；G12為1-2平面內(nèi)的切變模量。

1.2 能量公式

根據(jù)經(jīng)典層合板理論，復(fù)合材料層合板的應(yīng)變能公式為

式中，Λ為復(fù)合材料層合板的實(shí)際積分域；κ是曲率矢量，表示如下

Dij（i,j= 1, 2, 6）為復(fù)合材料層合板的彎曲剛度，對(duì)于對(duì)稱復(fù)合材料層合板，Dij表達(dá)式如下

式中，zl和zl-1分別為復(fù)合材料層合板中第l層的上表面和下表面坐標(biāo)；N為復(fù)合材料層合板的半鋪層數(shù)，如圖3所示，圖中t為復(fù)合材料層合板的單層厚度。

圖3 復(fù)合材料層合板鋪層定義Fig.3 Stacking definitiοn οf cοmpοsite laminates

復(fù)合材料層合板的動(dòng)能為

式中，h為復(fù)合材料層合板的厚度；ρ為復(fù)合材料層合板的密度；tˉ為時(shí)間。

1.3 里茲法求解

在正弦激勵(lì)下，板的橫向振動(dòng)位移w可表達(dá)為時(shí)間tˉ與振幅W的函數(shù)，如下所示

式中，ω為振動(dòng)頻率。

為便于里茲法推導(dǎo)求解，采用了無量綱坐標(biāo)系

式中，對(duì)于復(fù)合材料超橢圓板，a和b分別為其長(zhǎng)軸和短軸；對(duì)于復(fù)合材料穿孔矩形板，a和b分別為其長(zhǎng)和寬。復(fù)合材料超橢圓板和穿孔矩形板的幾何模型分別如圖4 和圖5所示。

圖4 不同橢圓度因子n1的復(fù)合材料超橢圓板幾何模型及邊界條件Fig.4 Geοmetric mοdel and bοundary cοnditiοn οf the cοmpοsite super-elliptical plate with different ellipticity factοrs n1

圖5 穿孔對(duì)稱復(fù)合材料矩形板的幾何模型（邊界條件BC1 = CFSC和BC2 = C）Fig.5 Geοmetric mοdel οf the perfοrated symmetrical cοmpοsite rectangular plates (bοundary cοnditiοn BC1 = CFSC and BC2 = C)

假設(shè)振幅撓度W(ξ,η)為

式中，Cij為未知系數(shù)；m和n為勒讓德多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)；ψi(ξ)和ψj(η)是勒讓德多項(xiàng)式[36]，其遞推公式如下

?(ξ,η)為復(fù)合材料層合板滿足所有邊界條件的函數(shù)，對(duì)于復(fù)合材料超橢圓板，其表達(dá)式為

式中，n1為表征復(fù)合材料超橢圓板橢圓度的因子，如圖4所示。對(duì)于對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板，其表達(dá)式如下

式中，r為圓孔的半徑，χi(i= 1, 2, …, 6)取值為0、1和2時(shí)，分別表征自由邊界條件（F）、簡(jiǎn)支邊界條件（S）和固支邊界條件（C）。

復(fù)合材料超橢圓板只有外邊界條件，用BC1 表示，如圖4 所示。在圖5 中，復(fù)合材料穿孔矩形板包含外邊界條件（BC1）和內(nèi)邊界條件（BC2）。其中，BC1 = CFSC，表示帶孔矩形板四條外輪廓的邊界條件，從最左側(cè)邊開始沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，依次為固支（C）、自由（F）、簡(jiǎn)支（S）和固支（C）；BC2 = C，表示內(nèi)部圓孔的邊界條件是固支（C）。

?1(ξ,η)表示含一個(gè)中心圓孔的復(fù)合材料矩形板的外輪廓邊界條件（BC1）方程

?2(ξ,η)表示對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板的內(nèi)孔邊界條件（BC2）方程

復(fù)合材料層合板的總能量為

根據(jù)里茲方法，將式（7）和式（10）代入式（19），并求泛函的駐值

可得未知頻率參數(shù)ω的特征值方程

式中，C為由未知系數(shù){Cij}構(gòu)成的特征矢量矩陣；矩陣K和M中的元素可由下式求得

其中

式中，Wr或Ws表示為

2 二維抽樣優(yōu)化算法（2DSO）

二維抽樣優(yōu)化算法是基于復(fù)合材料力學(xué)機(jī)理的優(yōu)化算法，其優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則充分考慮了復(fù)合材料層合板層壓參數(shù)凸性、彎曲剛度敏度及其線性疊加特性：利用兩個(gè)控制彎曲剛度的層壓參數(shù)表示不同鋪層序間距離，在此基礎(chǔ)上結(jié)合層壓參數(shù)空間抽樣和鋪層序設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì)，規(guī)避了以層壓參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量時(shí)需加載層壓參數(shù)可行域約束并難以精確反演對(duì)應(yīng)鋪層序的問題，同時(shí)也避免了以鋪層序作為設(shè)計(jì)變量導(dǎo)致設(shè)計(jì)空間大尋優(yōu)困難的問題。此外，通過采用層壓參數(shù)表征鋪層序間距離，引入了層壓參數(shù)空間中的動(dòng)態(tài)距離約束，使得抽樣優(yōu)化在層壓參數(shù)空間中可高效捕獲鋪層序解空間的重要區(qū)域。最后，基于抽樣優(yōu)化解，通過分層優(yōu)化算法對(duì)鋪層序進(jìn)行優(yōu)化可高效搜索鋪層優(yōu)化解。

2.1 優(yōu)化問題

以復(fù)合材料層合板的振動(dòng)基頻f=F(Φ)最大化為目標(biāo)，對(duì)給定邊界條件的對(duì)稱復(fù)合材料超橢圓板和穿孔矩形板的鋪層序Φ進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化問題模型如下

式中，αl為復(fù)合材料板中第l層的鋪向角；N為半鋪層數(shù)，如圖3 所示；矢量Φ為對(duì)稱復(fù)合材料層合板一半的鋪層序，F(xiàn)為復(fù)合材料板自由振動(dòng)分析的里茲法求解程序，Θ為候選鋪向角集合，M為候選鋪向角個(gè)數(shù)，Δθ是候選鋪向角的固定間隔，如Δθ= 30°，則Θ= {0°，-30°，30°，-60°，60°，90°}，M= 6。

設(shè)計(jì)域C、設(shè)計(jì)域D 和設(shè)計(jì)域Ω 之間的關(guān)系如圖6 所示。下面對(duì)二維抽樣優(yōu)化算法的計(jì)算步驟作詳細(xì)介紹。

圖6 設(shè)計(jì)域C、D和Ω之間的包含與映射關(guān)系Fig.6 The cοntain and mapping relatiοnship between design dοmains C, D, and Ω

2.2 二維抽樣優(yōu)化算法

（1） 給定優(yōu)化所需參數(shù)

表1給出數(shù)據(jù)是本文所有優(yōu)化算例用到的參數(shù)值。上述參數(shù)在2DSO中可自行定義。

表1 2DSO的優(yōu)化參數(shù)Table 1 Optimization parameters of 2DSO

（2） 在設(shè)計(jì)域C中生成均勻分布的點(diǎn)

在確定固定鋪向角間隔Δθ后，可得候選鋪向角集合Θ，候選鋪向角的數(shù)量為M= [180/Δθ] （[]為高斯取整函數(shù)），故可以得到 [M/2]+1個(gè)由相同正候選鋪向角組成的鋪層序Φi= [θi,θi, …,θi,θi]，θi＞0，θi∈Θ。這[M/2]+1個(gè)Φi對(duì)應(yīng)的兩個(gè)層壓參數(shù)定義為

設(shè)計(jì)域C中任意兩點(diǎn)之間的距離公式如下

動(dòng)態(tài)距離約束

邊界約束

式中，j≤ [M/2]時(shí)，sj和sj+1為相鄰頂點(diǎn)；j= [M/2]+1 時(shí)，sj+1表示s1。那么新點(diǎn)snew= (,ξ)new可加入樣本點(diǎn)集合Sini中，即

隨著集合Sini中點(diǎn)數(shù)量的增加，點(diǎn)的密度不斷增大，為了使點(diǎn)在設(shè)計(jì)域C中盡可能均勻分布，動(dòng)態(tài)距離dc需逐步減小。

式中，Δd是一個(gè)恒定增量。隨著新點(diǎn)snew不斷加入集合Sini中，Sini中點(diǎn)的密度越來越大，且動(dòng)態(tài)距離dc越來越小，使得式（29）和式（30）難以同時(shí)滿足。為此，需采用GA 尋找同時(shí)滿足約束式（29）和式（30）的新點(diǎn)snew= (,)new，并添加到集合Sini中。

初始化: Num=120,dc=0.96, Δd=0.04,Sini迭代:

（3） 在設(shè)計(jì)域D中生成均勻分布的點(diǎn)

基于候選鋪向角集合Θ在域Ω 中生成的鋪層序Φi∈Ω，并可根據(jù)式（27）計(jì)算其層壓參數(shù)(,)i，將層壓參數(shù)記入對(duì)應(yīng)集合D中:{ui|ui= ()i,ui∈ D}。

為保證設(shè)計(jì)域D中生成的點(diǎn)ui盡可能接近設(shè)計(jì)域C中生成的點(diǎn)，采用遺傳算法搜索鋪層序Φi。

ui∈D,si∈Sini},i= 1, 2, 3, …, Num

因此，對(duì)于設(shè)計(jì)域C 中的每一個(gè)點(diǎn)si，總有一個(gè)在設(shè)計(jì)域D中的點(diǎn)ui與之對(duì)應(yīng)，ui對(duì)應(yīng)的鋪層序?yàn)棣礽。將設(shè)計(jì)域D中所有點(diǎn)ui記入集合Uini，同時(shí)將集合Uini中所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的鋪層序Φi記入集合Ωini。

式中，LPs表示對(duì)鋪層序的層壓參數(shù)計(jì)算符號(hào)。

（4） 抽樣優(yōu)化

根據(jù)里茲法求解程序F求解集合Ωini中鋪層序Φi對(duì)應(yīng)的振動(dòng)基頻vi，并保存到集合V中。

從中篩選出最大基頻

將集合V中的值從大到小排列，然后從大到小選擇P個(gè)最佳點(diǎn)，將它們記入集合W中。

將P個(gè)最佳點(diǎn)對(duì)應(yīng)的鋪層序Φi及其層壓參數(shù)ui記入集合T0中。

集合T0中的每個(gè)元素{Φi,ui} (i= 1, 2，…，P)，可在其鄰域內(nèi)通過遺傳算法在層壓參數(shù)空間中確定Q個(gè)均勻分布在ui鄰域的候選點(diǎn)。

式中，jΔu/Q保證了Q個(gè)候選點(diǎn)均勻分布在以點(diǎn)ui為圓心和Δu為半徑的圓內(nèi)，表示點(diǎn)ui附近的Q個(gè)候選點(diǎn)對(duì)應(yīng)的鋪層序及其層壓參數(shù)。

從而得到一個(gè)由P×Q個(gè)候選點(diǎn)組成的集合

隨后，計(jì)算集合Tsub中候選點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并將其記錄在子集Vsub中。

再將集合V和Vsub求并集，得到一個(gè)新的集合V。

最后，若滿足如下收斂公式，則該步驟結(jié)束，進(jìn)入下一步；否則，繼續(xù)重復(fù)式（36）～式（44），直至滿足以下收斂公式。

式中，e為抽樣迭代優(yōu)化的代數(shù)。

（5） 局部鋪層優(yōu)化

將上一步中獲得的抽樣優(yōu)化解作為輸入，采用分層優(yōu)化算法（LOA）[23]作局部鋪層優(yōu)化，獲得最終優(yōu)化解。圖7給出了2DSO算法流程圖。

圖7 二維抽樣優(yōu)化算法（2DSO）流程圖Fig.7 Flοwchart οf twο-dimensiοnal sampling οptimizatiοn algοrithm（2DSO）

2.3 二維抽樣優(yōu)化算法實(shí)例

為更好地理解2DSO 算法的尋優(yōu)過程，本節(jié)給出了一個(gè)鋪層數(shù)為8 的對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板的詳細(xì)尋優(yōu)過程。所使用的材料參數(shù)為：E1=138GPa，E2=8.96GPa，G12=7.1GPa，v12= 0.28，ρ= 1656kg/m3。復(fù)合材料含圓孔矩形板的幾何參數(shù)為：a/h= 448，a/b= 2，2r/b= 0.3，其中a和b分別為復(fù)合材料穿孔矩形板的長(zhǎng)和寬，h為層合板厚度，r為中心圓孔半徑。

矩形板和圓孔的邊界條件分別定義為BC1 = CCCF和BC2 = S。在以下描述中，將省略鋪向角的角度符號(hào)“°”。候選鋪向角角度間隔為Δθ=5，候選鋪向角集合定義為Θ= {0, 5, -5, 10, -10, …, 85, -85, 90}。

（1） 給定優(yōu)化所需參數(shù)

2DSO參數(shù)值見表1。

（2） 在設(shè)計(jì)域C中生成均勻分布的點(diǎn)

首先根據(jù)候選鋪向角集合Θ，確定19 個(gè)由相同正鋪向角組成的鋪層序Φi= [θi,θi,θi,θi]，θi＞0，θi∈Θ，然后根據(jù)式（27）計(jì)算它們的層壓參數(shù)來確定設(shè)計(jì)域C的19個(gè)頂點(diǎn)，如圖8（a）所示。然后將19 個(gè)頂點(diǎn)依次連接確定它們所圍成的設(shè)計(jì)域C。最后根據(jù)式（28）～式（33），在設(shè)計(jì)域C內(nèi)生成均勻分布的點(diǎn)，如圖8（b）的紅色點(diǎn)所示。

（3） 在設(shè)計(jì)域D中生成均勻分布的點(diǎn)

對(duì)于設(shè)計(jì)域C 中每一個(gè)點(diǎn)，基于候選鋪向角集合Θ，通過式（27）、式（34）和式（35）在設(shè)計(jì)域Ω 內(nèi)生成一個(gè)鋪層序集合，使得該鋪層序集合中的每一個(gè)鋪層序?qū)?yīng)設(shè)計(jì)域D中的點(diǎn)（圖8（c）的藍(lán)色點(diǎn)）且離設(shè)計(jì)域C中的點(diǎn)最近。

（4） 抽樣優(yōu)化

根據(jù)式（36）和式（37）計(jì)算設(shè)計(jì)域D中均勻分布點(diǎn)的目標(biāo)值，并通過式（38）篩選P個(gè)最佳點(diǎn)（見圖8（d）中紅色三角形）。然后，利用式（39）～式（42）在每個(gè)最佳點(diǎn)附近生成Q個(gè)候選點(diǎn)，之后基于里茲法即式（43）求解這P×Q個(gè)候選點(diǎn)（見圖8（e）中藍(lán)色的點(diǎn)）振動(dòng)基頻。

最后通過式（44）和式（45）判斷抽樣迭代優(yōu)化結(jié)果是否收斂，若不收斂，則按照上述步驟進(jìn)行下一次迭代，直到得到收斂解（見圖8（h）中綠色三角形）。

（5） 局部鋪層優(yōu)化

將第（4）步獲得的收斂解作為輸入，采用分層優(yōu)化算法（LOA）[23]作鋪層序?qū)?yōu)，獲得最終鋪層序優(yōu)化解[25/-35/90/- 45]s（見圖8（i）中粉色三角形）和對(duì)應(yīng)的無量綱頻率參數(shù)為f=。

3 數(shù)值結(jié)果

以上利用里茲法求解了復(fù)合材料超橢圓板和穿孔矩形板的振動(dòng)基頻，并采用2DSO搜索使基頻最大化的鋪層序。3.1節(jié)研究了里茲法的收斂性和精確性，并與已有文獻(xiàn)做了對(duì)比。3.2.1節(jié)給出了在自由、簡(jiǎn)支和固支三種邊界條件下不同長(zhǎng)寬比和不同橢圓度因子n1的復(fù)合材料超橢圓板的優(yōu)化鋪層序及振動(dòng)頻率和振型。3.2.2 節(jié)給出了在10 種邊界條件、兩種長(zhǎng)寬比和兩種圓孔半徑下對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板的優(yōu)化鋪層序及振動(dòng)頻率和振型。在以下算例中使用了三種材料，三種材料的參數(shù)為：材料1：E1= 130GPa,E2=9GPa,G12= 4.8GPa,v12= 0.28,ρ= 1656kg/m3。材料2：E1=138GPa,E2=8.96GPa,G12=7.1GPa,v12= 0.3,ρ= 1656kg/m3。材料3：E1= 206GPa ,E2=E1,G12=E1/[2(1+v12)],v12= 0.3,ρ= 8000kg/m3。

3.1 里茲法收斂性研究

首先驗(yàn)證里茲法求解復(fù)合材料超橢圓板振動(dòng)基頻的收斂性和精確性。采用材料3，表2給出了里茲法求解寬厚比a/h= 100 的復(fù)合材料超橢圓板的無量綱頻率參數(shù)f=收斂時(shí)所需的項(xiàng)數(shù)，并將結(jié)果和已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果顯示，當(dāng)位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)m×n從9 × 9增加到10 × 10時(shí)，無量綱自然頻率參數(shù)變化遠(yuǎn)小于1%，且10 × 10 項(xiàng)位移函數(shù)求得的無量綱自然頻率參數(shù)和已知文獻(xiàn)的無量綱自然頻率參數(shù)之間的誤差也遠(yuǎn)小于1%。采用材料1，表3 給出了寬厚比a/h= 448、鋪層序[-45/45/-45/-45]s、孔徑2r/b= 0.3的對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板無量綱頻率參數(shù)f=ωa2，結(jié)果顯示當(dāng)位移函數(shù)項(xiàng)數(shù)m×n從30 × 30增加到35 × 35時(shí)，對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板的無量綱自然頻率參數(shù)變化遠(yuǎn)小于1%，因此可認(rèn)為里茲法在形函數(shù)項(xiàng)數(shù)m×n是30 × 30時(shí)結(jié)果收斂。采用材料1，表4 給出了寬厚比a/h= 256、鋪層序[45/0/0/90/0/-45/0]s、內(nèi)孔邊界條件BC2 = F 的對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板頻率f=ω/(2π) (Hz)，對(duì)比結(jié)果表明當(dāng)位移函數(shù)項(xiàng)數(shù)為30 × 30時(shí)結(jié)果收斂。

表2 超橢圓板前6階頻率參數(shù)f=(ωa2/π2)收斂與驗(yàn)證Table 2 Convergence and verification of the first six frequency parameters f =(ωa2/π2)for the super-elliptical plates

表2 超橢圓板前6階頻率參數(shù)f=(ωa2/π2)收斂與驗(yàn)證Table 2 Convergence and verification of the first six frequency parameters f =(ωa2/π2)for the super-elliptical plates

BC1 n1 10 a/b 1 2模態(tài)1 3.6586 3.6503 3.6503 3.6420 9.9950 9.9725 9.9725 9.9510 21.225 21.177 21.177 21.132 1.9994 1.9951 1.9951 1.9900 5.0171 5.0036 5.0036 4.9860 10.062 10.031 10.031 9.9870模態(tài)3 7.4496 7.4474 7.4410 7.4350 18.588 18.157 18.157 18.132 28.331 28.061 28.061 28.027 4.9909 4.9896 4.9894 4.9860 13.034 12.961 12.961 12.955 18.027 17.954 17.954 17.942 C模態(tài)4 10.983 10.983 10.971 10.962 25.969 25.969 25.693 25.743 35.905 35.869 34.772 34.851 7.9677 7.9677 7.9675 7.9650 17.006 17.005 17.004 16.989 25.408 25.393 24.935 25.033 3模態(tài)2 7.4496 7.4474 7.4410 7.4340 12.935 12.916 12.911 12.897 23.656 23.610 23.607 23.581 4.9909 4.9896 4.9894 4.9860 7.9846 7.9758 7.9757 7.9690 13.014 12.989 12.989 12.970 1模態(tài)5 13.963 13.336 13.336 13.305 27.228 27.219 25.944 25.926 57.187 46.945 46.945 44.045 10.053 9.9720 9.9720 9.9680 19.965 19.965 19.956 19.953 37.037 35.555 35.555 34.123 10 m × n 8×8 9×9 10×10文獻(xiàn)［37］8×8 9×9 10×10文獻(xiàn)［37］8×8 9×9 10×10文獻(xiàn)［37］8×8 9×9 10×10文獻(xiàn)［37］8×8 9×9 10×10文獻(xiàn)［37］8×8 9×9 10×10文獻(xiàn)［37］2 S 3模態(tài)6 14.047 13.400 13.400 13.364 28.850 28.850 28.822 28.805 59.828 57.187 57.132 57.096 10.090 10.005 10.005 10.002 20.483 20.477 19.964 20.003 39.998 37.037 37.035 36.998

表3 對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板基頻參數(shù)f = ωa2收斂研究Table 3 Convergence study of the fundamental frequency parameter f = ωa2for the symmetrical composite perforated rectangular plates

表3 對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板基頻參數(shù)f = ωa2收斂研究Table 3 Convergence study of the fundamental frequency parameter f = ωa2for the symmetrical composite perforated rectangular plates

a/b 3 BC1 SSFF BC2 F S C F S C F S C F S C形函數(shù)項(xiàng)數(shù)m×n 5×5 4.2292 9.0624 13.558 19.344 28.567 35.117 2.8052 8.8451 13.586 8.2108 22.585 30.290 10×10 4.1830 7.7908 10.797 19.184 26.565 30.232 2.7720 7.7395 11.068 8.1971 20.434 24.857 15×15 4.1732 7.4034 10.439 19.136 25.824 28.710 2.7608 7.1340 10.357 8.1853 19.493 22.708 20×20 4.1685 7.1779 10.313 19.111 25.363 27.809 2.7581 6.9558 10.255 8.1780 19.003 21.808 25×25 4.1669 7.1252 10.296 19.091 25.031 27.390 2.7569 6.8796 10.221 8.1724 18.664 21.218 30×30 4.1663 7.1135 10.289 19.079 24.791 27.083 2.7566 6.8646 10.216 8.1694 18.421 20.936 35×35 4.1661 7.1112 10.288 19.069 24.606 26.940 2.7564 6.8619 10.213 8.1677 18.227 20.722 1 CCFF CCFF 3 1 SSFF

表4 對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板基頻參數(shù) f= ω（/2π）對(duì)比驗(yàn)證Table 4 Comparison between the fundamental frequency parameters f= ω（/2π） for the symmetrical composite perforated rectangular plates

3.2 優(yōu)化結(jié)果

2DSO 中的初始參數(shù)值由表1 定義?；诶锲澐ê?DSO 優(yōu)化了候選鋪向角間隔分別為Δθ= 5 和Δθ=15 的8層和48層對(duì)稱復(fù)合材料超橢圓板，以及候選鋪向角間隔分別為Δθ= 5 和Δθ= 15 的8 層和40 層對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板，其設(shè)計(jì)空間分別為364= 1679616、1224≈ 7.9497×1025、1220≈ 3.8338×1021。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)用變量NF表示，此外，本小節(jié)所有優(yōu)化結(jié)果的頻率均用無量綱頻率參數(shù)表示。

3.2.1 復(fù)合材料超橢圓板振動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

本節(jié)復(fù)合材料超橢圓板使用材料2 且層合板寬厚比a/h=100。表5 和表6 分別給出了8 層（Δθ=5）和48 層（Δθ=15）對(duì)稱橢圓層合板的優(yōu)化結(jié)果；表7 和表8 分別給出了8層（Δθ=5）和48 層（Δθ=15）對(duì)稱超橢圓層合板的優(yōu)化結(jié)果。當(dāng)橢圓度因子n1和邊界條件不變時(shí)，復(fù)合材料超橢圓板的最大基頻隨長(zhǎng)寬比a/b的增大而增大，見表5～表8。此外，在橢圓度因子n1和長(zhǎng)寬比a/b不變的條件下，復(fù)合材料超橢圓板的最大基頻也隨著邊界變剛硬而增大，見表5和表7，對(duì)于鋪層數(shù)為8層的復(fù)合材料超橢圓板，平均目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF 為395.74 次，僅占總設(shè)計(jì)空間的0.0236%。而表6 和表8 顯示，對(duì)于48 層對(duì)稱復(fù)合材料超橢圓板，平均目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF 為1009.19 次。這表明2DSO 算法的計(jì)算量與復(fù)合材料層合板的鋪層數(shù)不呈指數(shù)關(guān)系，而是近似線性。鋪層數(shù)為48層的復(fù)合材料超橢圓板目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF比鋪層數(shù)為8層的復(fù)合材料超橢圓板目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF 多的主要原因是局部?jī)?yōu)化求解器LOA[23]是逐層篩選搜索算法，隨著層數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF增大；由于LOA 基于層合板彎曲剛度敏度進(jìn)行搜索，其目標(biāo)搜索次數(shù)隨著層數(shù)增大近似線性增大。圖9 給出了不同工況下復(fù)合材料超橢圓板的前六階頻率及其振型，不同模態(tài)圖對(duì)應(yīng)的工況及鋪層序分別為： (a)n1= 10，a/b= 3，BC1 = F，Φοpt= ±[10/-15/-25/0]s；(b)n1= 4，a/b= 1， BC1 = S，Φοpt=±[45/-45/-45/-45]s； (c)n1=4，a/b=2，BC1 = C，Φοpt= [904]s。

表5 復(fù)合材料橢圓板（8層）基頻最優(yōu)解Table 5 Optimal solutions for fundamental frequency of composite elliptical plates （8 layers）

表6 復(fù)合材料橢圓板（48層）基頻最優(yōu)解Table 6 Optimal solutions for maximum fundamental frequency of composite elliptical plates （48 layers）

表7 復(fù)合材料超橢圓板（8層）基頻最優(yōu)解Table 7 Optimal solutions for fundamental frequency of composite super-elliptical plates（ 8 layers）

表8 復(fù)合材料超橢圓板基頻最優(yōu)解（48層）Table 8 Optimal solutions for fundamental frequency of composite super-elliptical plates（ 48 layers）

圖9 鋪層數(shù)為8層的復(fù)合材料超橢圓板最優(yōu)解的前6階振型Fig.9 First six mοde shapes οf the 8layers οptimal super-elliptical cοmpοsite plates

3.2.2 對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板振動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

本小節(jié)算例使用材料1。表9和表10分別給出了寬厚比a/h= 448的8層（Δθ= 5）對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板的優(yōu)化結(jié)果；表11和表12分別給出了寬厚比a/h= 89.6的40層（Δθ= 15）對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形板的優(yōu)化結(jié)果。其中，表10和表12復(fù)合材料穿孔矩形板的長(zhǎng)寬比a/b= 2。當(dāng)邊界條件和長(zhǎng)寬比不變時(shí)，復(fù)合材料穿孔矩形板的最大基頻隨著圓孔半徑的增大而增大，見表9～表12。對(duì)于鋪層數(shù)為8層的穿孔層合板，平均目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF為572.32次，僅占總設(shè)計(jì)空間的0.0341%，見表9 和表10。而表11和表12顯示，對(duì)于鋪層數(shù)為40層的復(fù)合材料穿孔矩形板，平均目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)NF 為825.13 次。這進(jìn)一步表明，2DSO算法中的層壓參數(shù)空間抽樣優(yōu)化使得算法計(jì)算量與復(fù)合材料層合板的鋪層數(shù)不呈指數(shù)關(guān)系。圖10給出了復(fù)合材料穿孔方形板在各種邊界下最優(yōu)解的前4 階頻率及振型：當(dāng)長(zhǎng)寬比和圓孔半徑不變時(shí)，復(fù)合材料穿孔矩形板的最大頻率隨著邊界條件變剛硬而增大。由于使用兩個(gè)彎曲層壓參數(shù)表征鋪層序間距離，層壓參數(shù)是關(guān)于鋪層序鋪向角的偶函數(shù)，導(dǎo)致多個(gè)鋪層序可能同時(shí)對(duì)應(yīng)一組相同層壓參數(shù)。這使得2DSO 算法在優(yōu)化時(shí)可能找到多個(gè)具有相同目標(biāo)值的優(yōu)化鋪層序，見表9 和表10。圖11給出了表9 中圓孔徑為2r/b= 0.3 時(shí)，2DSO 算法部分優(yōu)化結(jié)果的搜索收斂圖。其中紅線代表抽樣優(yōu)化搜索過程，結(jié)果表明抽樣優(yōu)化可獲得一個(gè)非常接近最終優(yōu)化解的解。但由于抽樣優(yōu)化具有一定隨機(jī)性，可能存在比抽樣優(yōu)化解更好的解，因此需將抽樣優(yōu)化獲得的解作為分層優(yōu)化（LOA）的初始點(diǎn)進(jìn)一步作鋪層序?qū)?yōu)。綠色的線是局部鋪層優(yōu)化的搜索收斂圖，出現(xiàn)振蕩的原因是：LOA是一個(gè)從復(fù)合材料層合板最外層向最內(nèi)層逐層搜索的算法，而每層的鋪向角對(duì)振動(dòng)頻率的敏度作用是由彎曲剛度關(guān)于鋪層位置的三次敏度關(guān)系所致，使得外層鋪向角對(duì)振動(dòng)頻率的影響大于內(nèi)層，從而導(dǎo)致LOA 在搜索過程中出現(xiàn)基頻大幅振蕩。但LOA最后可搜索到一個(gè)收斂且比抽樣優(yōu)化更好的解。

表9 復(fù)合材料穿孔方形板（8層）基頻最優(yōu)解Table 9 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated square plates（8 layers）

表10 復(fù)合材料穿孔矩形板（8層）基頻最優(yōu)解Table 10 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated rectangular plate（ 8 layers）

表11 復(fù)合材料穿孔方形板（40層）基頻最優(yōu)解Table 11 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated square plates（40 layers）

表12 復(fù)合材料穿孔矩形板（40層）基頻最優(yōu)解Table 12 Optimal solutions for fundamental frequency of the composite perforated rectangular plate（ 40 layers）

圖10 表9中部分鋪層數(shù)為8層的復(fù)合材料穿孔方形板最優(yōu)解的前4階振型及頻率（2r/b = 0.3）Fig.10 First fοur mοde shapes and frequencies οf sοme the 8layers οptimal cοmpοsite perfοrated square plates in Table 9(2r/b = 0.3)

圖11 表9中不同邊界條件下復(fù)合材料方形板2DSO搜索收斂圖(2r/b = 0.3)Fig.11 The cοnvergence diagram οf cοmpοsite square plates 2DSO under variοus bοundary cοnditiοns in Table 9(2r/b = 0.3)

4 結(jié)論

本文采用基于完備正交多項(xiàng)式的里茲法求解了復(fù)合材料超橢圓板和穿孔矩形板的振動(dòng)頻率和振型。通過與已有文獻(xiàn)進(jìn)行比較，驗(yàn)證了里茲法的收斂性和準(zhǔn)確性。同時(shí)，利用2DSO 優(yōu)化了在不同邊界條件、長(zhǎng)寬比和橢圓度因子n1下鋪層數(shù)為8層和48層的對(duì)稱復(fù)合材料超橢圓層合板的基頻以及在不同邊界條件、長(zhǎng)寬比和圓孔半徑下鋪層數(shù)為8層和40 層的對(duì)稱復(fù)合材料穿孔矩形層合板的振動(dòng)基頻。研究表明，2DSO算法由于充分利用了層合板層壓參數(shù)凸函數(shù)屬性及其降維特征、彎曲剛度敏度及其線性疊加特性，使得算法搜索計(jì)算量不是隨鋪層數(shù)增加而呈指數(shù)式增加，而是以近似線性增大，從而大幅降低了復(fù)合材料鋪層尋優(yōu)計(jì)算量。同時(shí)，由于結(jié)合了層壓參數(shù)和鋪層序?qū)?yōu)的優(yōu)勢(shì)，解決了直接采用鋪向角作為設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化鋪層序時(shí)計(jì)算量過大的問題，同時(shí)規(guī)避了以層壓參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量時(shí)所需可行域約束且不能精確反演對(duì)應(yīng)鋪層序的問題。數(shù)值算例表明，2DSO具有良好的收斂性和魯棒性，顯示出其在大規(guī)模復(fù)合材料結(jié)構(gòu)鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用前景。