Ka頻段大規(guī)模相控陣稀疏布陣算法設(shè)計(jì)與應(yīng)用*

李雪蓮,李秀梅,周 哲,張傳松

(中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

0 引 言

由于波束指向靈活、無慣性掃描、低剖面等優(yōu)點(diǎn),相控陣天線在軍用、民用衛(wèi)星通信領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。然而,由于每個(gè)單元后端均帶有發(fā)射/接收(Transmitting/Receiving,T/R)組件,相控陣天線存在著成本高和功耗高的問題,限制了其在民用領(lǐng)域的推廣應(yīng)用。為了降低天線成本,解決散熱困難的問題,稀疏布陣已成為相控陣領(lǐng)域發(fā)展的一個(gè)重要方向,諸多學(xué)者對(duì)相控陣的稀疏布陣算法進(jìn)行了深入的研究[1-3]。

典型的稀疏布陣算法主要分為數(shù)值算法和非線性優(yōu)化迭代算法兩類算法。數(shù)值算法主要包括矩陣束[4-5]、傅里葉變換[6-7]等計(jì)算方法,但僅適用于簡單的有確定解的稀疏布陣問題。由于復(fù)雜約束條件下的稀疏布陣問題是非線性的不適定優(yōu)化問題,數(shù)值方法難以求解。不適定優(yōu)化問題可以采用非線性優(yōu)化迭代算法求解,比如遺傳算法[8-9]、粒子群算法[10]、蔓延雜草算法[11]和麻雀算法[12-13]等優(yōu)化算法。這些算法可以有效解決復(fù)雜約束條件下小規(guī)模稀疏陣的陣列綜合問題,但對(duì)于復(fù)雜約束條件下的大規(guī)模陣列,由于求解空間巨大,存在收斂困難的問題。

本文所關(guān)注的衛(wèi)星通信(以下簡稱衛(wèi)通)相控陣天線的稀疏布陣問題恰好是復(fù)雜約束條件下的大規(guī)模陣列稀疏陣列綜合問題。對(duì)于衛(wèi)通相控陣天線,實(shí)際應(yīng)用中通常采用4個(gè)單元旋轉(zhuǎn)組成小子陣的方式來改善圓極化軸比,并與后端的四通道T/R組件進(jìn)行集成化設(shè)計(jì)。因此在進(jìn)行稀疏布陣時(shí)僅能以四單元子陣為最小單元進(jìn)行稀疏,且單元間距為固定間距。此外,在驅(qū)動(dòng)放大器所在區(qū)域的天線單元也不會(huì)被激勵(lì)。這些限制條件使得目前的稀疏算法在固定方向圖包絡(luò)要求或者低副瓣要求下收斂困難,或者收斂后得到的稀疏布局設(shè)計(jì)往往存在中間區(qū)域密集、邊緣分散的特點(diǎn)[14-16],這種類型的稀疏布局會(huì)造成相控陣陣面中間區(qū)域散熱困難,在高溫環(huán)境下應(yīng)用受限。

本文提出了一種基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法,通過極限微擾率和隨機(jī)稀疏算法的應(yīng)用,不僅能夠解決大規(guī)模陣列在復(fù)雜約束條件下的稀疏陣列綜合問題,且能得到均勻的稀疏布陣結(jié)果,避免常用稀疏陣列由于中間密集、邊緣分散導(dǎo)致的局部過熱問題,從而改善相控陣天線散熱問題?；诖朔椒?對(duì)1 552陣元 Ka頻段大規(guī)模衛(wèi)通相控陣進(jìn)行了設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn),仿真和實(shí)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了該算法對(duì)大規(guī)模陣列的有效性和實(shí)用性。

1 布局限制條件下稀疏陣列優(yōu)化模型

考慮一個(gè)單元數(shù)為M×N、單元間距為dx和dy的平面陣列(圖 1),M和N為偶數(shù),天線單元等幅激勵(lì),單元方向圖為f0(θ,φ),(θ0,φ0)為指定的波束掃描角。

圖1 矩形平面陣列

以陣列左下角單元中心為坐標(biāo)原點(diǎn),陣面為XOY平面,則總場(chǎng)方向圖函數(shù)為

ejkyn(sin θsin φ-sin θ0sin φ0)。

(1)

式中:m=1,2,…,M;n=1,2,…,N;θ和φ分別為俯仰角和方位角;k=2π/λ,λ為波長;(xm,yn)為第(m,n)個(gè)陣元在XOY平面的坐標(biāo);Imn為位置函數(shù),Imn=0表示第(m,n)個(gè)單元被去掉,Imn=1表示第(m,n)個(gè)單元被保留。

考慮以4個(gè)單元組成小子陣的衛(wèi)通相控陣天線,四元子陣僅能同時(shí)保留或者去掉,同時(shí)驅(qū)動(dòng)放大器所在單元區(qū)域Da無激勵(lì)單元,且最終稀疏陣列分布在口徑Dr內(nèi),Dr可以是圓形、矩形或其他陣型的分布口徑,優(yōu)化目標(biāo)為抑制稀疏陣的峰值副瓣電平。為解決該布局條件限制下的稀疏布陣問題,定義四元子陣的位置矩陣為

(2)

式中:P=M/2;Q=N/2。矩陣A的元素Apq=1表示該子陣保留,Apq=0表示該子陣去掉,p=1,2,…,P,q=1,2,…,Q。則陣元的位置函數(shù)為

(3)

為使稀疏后的陣列方向圖最大程度逼近滿陣方向圖,降低波束指向角度對(duì)陣列布局的影響,選取波束指向(θ0,φ0)=(0°,0°)、方位角為φi=0:Δ:π(Δ為方位角采樣步進(jìn),根據(jù)實(shí)際需求選取)時(shí),俯仰向方向圖S(θ,φi)的第一副瓣電平(Side Lobe Level,SLL)為

(4)

式中:Θs為S(θ,φi)在主瓣范圍外的副瓣區(qū)域。令(xxp,yyq)為第(p,q)個(gè)子陣中心位置坐標(biāo),定義目標(biāo)函數(shù)f=|LSL|,則該布局限制條件下矩形稀疏平面陣的優(yōu)化模型可寫為

(5)

2 基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法

針對(duì)上節(jié)中所給出的優(yōu)化模型,為了得到均勻的稀疏布陣結(jié)果,最大程度逼近滿陣方向圖,采用基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法求解,目標(biāo)稀疏率為η,具體優(yōu)化步驟如下:

Step1 產(chǎn)生四元子陣位置矩陣的初始解A0,其中各元素定義為

(6)

式中:α為微擾率,對(duì)于1 000元的陣列取值范圍一般設(shè)為0.002～0.005,陣列規(guī)模越大α的值越小;R0=[Rpq]P×Q是[0,1]范圍內(nèi)隨機(jī)分布的概率矩陣;D0={(xxp,yyq)∈Dr}∩{(xxp,yyq)?Da}。

Step2 將A0帶入式(3),并結(jié)合式(4)和式(1)計(jì)算得到第一副瓣LSL的絕對(duì)值f0。

Step3 在A0的基礎(chǔ)上生成新的位置矩陣A′:

A′=A0·X。

(7)

式中:X=[Xpq]P×Q為轉(zhuǎn)移矩陣,Xpq定義為

(8)

Step4 將A′帶入式(3),并結(jié)合式(4)和式(1)計(jì)算得到第一副瓣LSL的絕對(duì)值f1。

Step5 判斷是否接受新的位置矩陣A′,當(dāng)f1>f0,接受新解A′;否則產(chǎn)生新的概率矩陣R′,重復(fù)Step 3和Step 4,直到f1>f0。

Step6 令A(yù)0=A′,計(jì)算此時(shí)的稀疏率η′,判斷η′是否小于η,當(dāng)η′<η,循環(huán)結(jié)束;否則重復(fù)Step 2～6,直到η′<η。

此算法的核心點(diǎn)在于α的值非常小,每次生成的新的位置矩陣A′與A0差異極小,在少量次數(shù)的計(jì)算之后,即可獲得新的位置矩陣A′,使得f1>f0。在不斷迭代循環(huán)之后,總能獲得目標(biāo)稀疏率η下的稀疏陣列分布,且稀疏布陣均勻分布。在最理想的情況下,每次迭代獲得的位置矩陣A′都能滿足f1>f0,則在循環(huán)n0次后即可達(dá)到目標(biāo)稀疏率η下的稀疏陣列分布。n0定義為

(9)

式中:「·?為向上取整函數(shù)。在實(shí)際求解時(shí),Step 5一般至少要循環(huán)10次以上才能獲得新的位置矩陣A′,因此總的迭代次數(shù)一般會(huì)在10n0以上。該算法的另外一個(gè)特點(diǎn)是,由于每次循環(huán)時(shí)所產(chǎn)生的概率矩陣R′都是隨機(jī)生成的,與上一次優(yōu)化的概率矩陣無關(guān)聯(lián),因此優(yōu)化算法陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)較小。

總的說來,相比于目前常用的非線性優(yōu)化迭代算法,該算法通過極限微擾率和隨機(jī)稀疏算法的應(yīng)用,有兩個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn):一是對(duì)于復(fù)雜約束條件下大規(guī)模陣列的稀疏陣列綜合,能夠較容易地收斂到目標(biāo)稀疏率下的稀疏陣列分布;二是能夠得到均勻的稀疏布陣結(jié)果,降低了天線的陣列密度,避免了常用稀疏陣列由于中間密集、邊緣分散導(dǎo)致的局部過熱問題,從而改善相控陣天線散熱難題。

3 仿真及實(shí)測(cè)驗(yàn)證

結(jié)合工程應(yīng)用實(shí)例,對(duì)64×64單元的矩形平面陣列進(jìn)行稀疏布陣,陣列單元等幅激勵(lì),工作波長λ=10 mm,陣元間距dx=dy=5 mm;優(yōu)化目標(biāo)為降低副瓣電平,要求在稀疏布陣的過程中,僅能以2×2基本單元進(jìn)行整體抽取,并在圖2所示的藍(lán)色區(qū)域不放置天線單元(以陣列左下角單元中心為坐標(biāo)原點(diǎn)),最終需要獲得圓形口徑的稀疏陣列分布,期望的稀疏率η為0.38。

圖2 稀疏布陣布局限制條件

采用基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法對(duì)此問題進(jìn)行求解,優(yōu)化過程中選取的方位角步進(jìn)Δ=π/12,微擾率α=0.002,單元方向圖f0(θ,φ)=cosθ,最終得到的陣列分布如圖3所示。稀疏后的單元數(shù)量為1 552,稀疏率為0.38,滿足目標(biāo)要求。

圖3 稀疏陣列分布(藍(lán)色*標(biāo)記為陣元所在位置)

采用Matlab數(shù)學(xué)仿真軟件計(jì)算得到uv平面三維方向圖如圖4所示,其中,u=sinθcosφ,v=sinθsinφ。當(dāng)(θ0,φ0)=(0°,0°)時(shí),第一副瓣為-17.2 dB;當(dāng)(θ0,φ0)=(30°,0°),第一副瓣為-18.1dB;當(dāng)(θ0,φ0)=(45°,0°),第一副瓣為-17.5 dB;當(dāng)(θ0,φ0)=(60°,0°)時(shí),第一副瓣為-16.3 dB。各個(gè)掃描角度下均逼近圓形口徑滿陣方向圖副瓣結(jié)果。此外,從圖3和圖4中可以看到,基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法可以在布局限制條件下得到均勻的稀疏布陣結(jié)果,且在不同掃描角下得到各個(gè)剖面都較為均勻的三維方向圖,不會(huì)在某些剖面出現(xiàn)柵瓣或較高副瓣。

(a)(θ0,φ0)=(0°,0°)

稀疏后的陣列分布方向圖與全陣結(jié)果對(duì)比如圖5和表 1所示。從圖5和表1中可以看到,由于單元數(shù)目減少,在俯仰角0～60°范圍內(nèi),天線方向性系數(shù)下降了4～5 dB,波束寬度展寬了0.5°～0.7°,但最大副瓣有較大改善,掃描范圍內(nèi)仿真結(jié)果均低于-17 dB。

表1 稀疏陣與滿陣的性能對(duì)比結(jié)果

(a)(θ0,φ0)=(0°,0°)

將本文稀疏布陣算法結(jié)果與文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[16]中2×2子陣稀疏布陣算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。所選文獻(xiàn)中的陣列布局限制與本文相似,均采用2×2子陣為最小單元進(jìn)行稀疏布陣,單元均采用等幅饋電方式,沒有幅度加權(quán)。但相對(duì)于文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[16],本文的陣列規(guī)模擴(kuò)大了3倍左右,除了必須以2×2子陣為最小單元進(jìn)行稀疏,還受多個(gè)驅(qū)動(dòng)放大器布局位置限制(圖2),稀疏難度遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[16]。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[16]均采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化,本文采用基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法進(jìn)行優(yōu)化,三者的稀疏布陣優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表2所示。從表2中可以看到,本文的優(yōu)化算法在單元數(shù)量最多的情況下,不同掃描角下的副瓣電平均優(yōu)于文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[16]中采用遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果。此外,本文稀疏布陣為均勻布陣,還具有利于散熱的優(yōu)點(diǎn)。

表2 本文稀疏布陣與其他文獻(xiàn)的性能對(duì)比

基于該陣面布局,采用圖6所示的順序旋轉(zhuǎn)的方形貼片作為基本天線單元,研制了Ka頻段衛(wèi)通相控陣發(fā)射天線,實(shí)物如圖7所示。

圖7 Ka頻段衛(wèi)通相控陣天線發(fā)射天線陣面

在遠(yuǎn)場(chǎng)環(huán)境下對(duì)該天線的波束掃描性能進(jìn)行了測(cè)試,圖8給出了φ=315°剖面的二維方向圖測(cè)試結(jié)果。從圖8中可以看到,當(dāng)波束掃描角(θ0,φ0)分別為(0°,315°),(30°,315°),(45°,315°)和(60°,315°)時(shí),最大副瓣分別為-19.2 dB,-18.5 dB,-16.2 dB和-16.7 dB,與仿真結(jié)果較為吻合。

(a)(θ0,φ0)=(0°,315°)

注意在實(shí)測(cè)結(jié)果中,(30°,315°),(45°,315°)和(60°,315°)掃描結(jié)果中出現(xiàn)了柵瓣,該柵瓣是由于基本的四單元子陣中各單元分別旋轉(zhuǎn)了0°,90°,180°和270°,旋轉(zhuǎn)后的單元方向圖與原始方向圖有一定差異,形成四元子陣后與單元直接擴(kuò)展形成的四元子陣方向圖有所區(qū)別,從而引入了間距為λ的周期性誤差,與稀疏陣列布局無關(guān)。子陣旋轉(zhuǎn)目的主要在于改進(jìn)圓極化軸比,當(dāng)不采用子陣旋轉(zhuǎn)的方式柵瓣則不會(huì)出現(xiàn),但軸比會(huì)惡化。

4 結(jié)束語

針對(duì)遺傳算法等非線性優(yōu)化算法在求解復(fù)雜約束條件下大規(guī)模稀疏陣列綜合問題時(shí)收斂困難的問題,本文提出了一種基于極限微擾法的隨機(jī)稀疏布陣算法,通過極限微擾率和隨機(jī)稀疏算法的迭代應(yīng)用,能夠較容易地收斂到目標(biāo)稀疏率下的稀疏陣列分布,且能得到均勻的稀疏布陣結(jié)果,降低天線的陣列密度,避免常用稀疏陣列由于中間密集、邊緣分散導(dǎo)致的局部過熱問題?；诖怂惴?解決了1 552陣元的Ka頻段大規(guī)模衛(wèi)通相控陣受T/R組件、驅(qū)動(dòng)放大器等布局限制條件下的稀疏陣列綜合問題。仿真及實(shí)測(cè)結(jié)果顯示通過該算法得到的稀疏陣具有較好的方向圖結(jié)果,在方位角0°～360°、俯仰角0°～60°范圍內(nèi)副瓣低于-16 dB。

雖然本文采用的稀疏布陣算法已經(jīng)能取得較好的方向圖結(jié)果,但相對(duì)于對(duì)方向圖有超低副瓣要求的場(chǎng)景還有一定差距。下一步將進(jìn)一步研究大規(guī)模衛(wèi)通相控陣在布局限制條件下的超低副瓣稀疏布陣優(yōu)化算法,以滿足不同應(yīng)用場(chǎng)景下對(duì)相控陣天線方向圖的低副瓣要求。