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    水輪發(fā)電機(jī)組碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的周期解及數(shù)值分析

    2023-10-30 09:46:14刁洋洋
    中國新技術(shù)新產(chǎn)品 2023年18期
    關(guān)鍵詞:軸徑傅里葉定子

    刁洋洋

    (山東華邦建設(shè)集團(tuán)有限公司,山東 濰坊 262500)

    水輪發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)子和定子之間具有一定的軸徑間隙,受振蕩作用的影響,轉(zhuǎn)子在水平方向存在小幅度的偏移風(fēng)險,進(jìn)而導(dǎo)致定子和轉(zhuǎn)子間出現(xiàn)碰摩,探索碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期解能夠建立科學(xué)的運動控制參數(shù)、降低碰摩對轉(zhuǎn)子和定子的破壞程度。由于運動過程屬于強(qiáng)非線性微分方程,難以直接求解,因此運用數(shù)值分析法進(jìn)行迭代計算。

    1 水輪發(fā)電機(jī)組碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型及運動方程

    1.1 轉(zhuǎn)子-軸承模型

    在直角坐標(biāo)系o-xyz中,水輪發(fā)電機(jī)組的定子和轉(zhuǎn)子運動系統(tǒng)如圖1所示,其中橢圓實線部分為發(fā)電機(jī)定子,橢圓虛線部分表示發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子,定子和轉(zhuǎn)子的幾何中心為o點,軸徑的初始中心為s點。當(dāng)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時,o點和s點重合;當(dāng)系統(tǒng)處于運動狀態(tài)時,受振動效應(yīng)的影響,o點和s點有可能出現(xiàn)位置偏移。A點和B點分別為上導(dǎo)軸承、下導(dǎo)軸承的幾何中心,ω為大軸轉(zhuǎn)速。將轉(zhuǎn)子的重心記為G,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心可為向量e0,大軸的旋轉(zhuǎn)偏心可為向量e。

    圖1 水輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖

    1.2 建立運動微分方程

    1.2.1 模型基本假設(shè)

    將發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子簡化成質(zhì)量為m1的圓盤結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)子的支撐結(jié)構(gòu)為可滑動的軸承,該軸承為均勻的對稱結(jié)構(gòu),其上、下端質(zhì)量均為m2。轉(zhuǎn)子位于上、下導(dǎo)軸承的中點,以線性方式處理軸承的阻尼和剛度。轉(zhuǎn)子的振動效應(yīng)較復(fù)雜,存在多個方向的分量,該模型僅考慮橫向振動,不考慮陀螺力矩和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響。

    1.2.2 轉(zhuǎn)子-軸承碰摩運動微分方程

    在僅考慮橫向振動的情況下,轉(zhuǎn)子在水平方向會產(chǎn)生一定的振動幅值,轉(zhuǎn)子和定子之間存在特定的距離,當(dāng)轉(zhuǎn)子的水平運動幅值超過該距離時,轉(zhuǎn)子和定子就會產(chǎn)生碰摩作用。從理論上講,碰摩過程必然會引發(fā)熱效應(yīng),并且定子會發(fā)生不可預(yù)知的形變[1]。為了便于建立運動微分方程,可將定子形變視為線性形變,同時不考慮碰摩產(chǎn)生的熱效應(yīng)。綜合以上假設(shè)條件,定子和轉(zhuǎn)子之間的摩擦力符合庫侖摩擦力(見表1)的應(yīng)用條件。轉(zhuǎn)子處于運動狀態(tài),當(dāng)產(chǎn)生碰摩作用時,以滑動摩擦力為主,將摩擦力分解至x軸和y軸,分解后的摩擦力如公式(1)所示。

    表1 庫侖摩擦力的基本觀點

    式中:Fx_rub、Fy_rub為撞摩擦力在x、y軸的分量;e1為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的徑向位移;f為摩擦力系數(shù);kr為定子徑向剛度;δ0為定子和轉(zhuǎn)子的平均氣隙長度;H為函數(shù)。

    H函數(shù)式如公式(2)所示。

    根據(jù)現(xiàn)有研究成果,水輪機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)在運行過程中主要存在3 種作用力,分別為不平衡磁拉力(Unbalanced Magnetic Pull,UMP)、碰摩力和非線性油膜力。將軸承徑處的坐標(biāo)記為(Z,W),則定子-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程組如公式(3)所示。

    式中:m1為電機(jī)轉(zhuǎn)子圓盤的質(zhì)量;m2為軸承上端或者下端所集中的質(zhì)量;轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心為e0;c1為轉(zhuǎn)子處的阻尼;c2為軸承處的阻尼;Fx_ump、Fy_ump是不平衡磁拉力在x軸、y軸方向的分量;Ke為大軸的剛度;fx、fy為非線性油膜力在x軸、y軸的分量;將轉(zhuǎn)子外圓幾何中心的坐標(biāo)記為(X,Y,0);X''、X'分別為對坐標(biāo)的二階微分、一階微分;Y''、Y'、Z''、Z'、W''、W'的含義與X''、X'類似。

    2 碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的周期解及數(shù)值分析

    2.1 周期解的近似表達(dá)式

    2.1.1 運動微分方程的解析方法

    諧波平衡法(Harmonic Balance,HB)是處理非線性問題的常用方法,但公式(3)屬于強(qiáng)非線性微分方程,HB 方法難以對該方程進(jìn)行解析[2]。隱式諧波平衡法(HB-AFT)由HB 方法和時域頻域轉(zhuǎn)換技術(shù)(Alternating Frequency/time,AFT)綜合發(fā)展而來,能夠解析強(qiáng)非線性微分方程,其原理如下。

    假設(shè)存在某個非線性系統(tǒng),其二階微分方程如公式(4)所示。

    為了得到公式(4)的周期解,假設(shè)x與t的關(guān)系式為x(t),并且x(t)為周期性函數(shù),其周期為T,于是有x(t)=x(t+T)。此時函數(shù)f(·)與x(t)建立了相同的正交基,可分別對其實施傅里葉展開,進(jìn)而獲得二者的隱式非線性代數(shù)關(guān)系式。

    2.1.2 周期解近似表達(dá)式的推導(dǎo)過程

    根據(jù)HB-AFT 方法的應(yīng)用原理,應(yīng)該先對公式(3)進(jìn)行非線性函數(shù)諧波平衡化,再從中獲取主方程,具體過程如下:對方程在X、Y、Z、W這4 個坐標(biāo)點的周期解實施傅里葉展開,得到相應(yīng)的傅里葉級數(shù)形式和線性外力的傅里葉級數(shù)[3]。例如非線性外力如公式(5)所示。式中:cx0、cy0、cz0以及cw0均為常數(shù);cxk、cyk、czk以及cwk為余弦項相關(guān)的系數(shù);dxk、dzk、dwk以及dyk為正弦項相關(guān)系數(shù)。

    將經(jīng)過傅里葉展開的周期解和非線性外力代入公式(3)中,即可推導(dǎo)出有關(guān)常數(shù)項的代數(shù)方程,將該方程記為G。將X、Y、Z、W方向的周期解經(jīng)過傅里葉展開后同樣可得到常數(shù)項ax0、ay0、az0、aw0,相應(yīng)的余弦項系數(shù)為awk、azk、ayk、axk,相應(yīng)的正弦項系數(shù)包括bwk、bzk、byk以及bxk。

    難以直接對隱式非線性方程G進(jìn)行求解,于是利用牛頓迭代法來求解,其實施步驟包括確定需要迭代的變量、構(gòu)造迭代關(guān)系式以及控制迭代過程[4]。利用X、Y、Z、W方向周期解傅里葉展開級數(shù)中的常數(shù)項、余弦系數(shù)項、正弦系數(shù)項,構(gòu)造出迭代關(guān)系式P,則有P=[ax0ay0az0aw0ax1ay1az1aw1bx1by1bz1bw1...axkaykazkawkbxkbykbzkbwk]。再將非線性外力經(jīng)過傅里葉展開所形成的常數(shù)項、正弦系數(shù)項、余弦系數(shù)項構(gòu)建立為迭代式Q,則有Q=[cx0cy0cz0c w0cx1cy1cz1cw1dx1dy1dz1dw1...cxkcykczkcwkdxkdykdzkdwk]。在求周期解的過程中,將迭代關(guān)系式Q作為已知因素,P為求解目標(biāo),以不動點迭代法求解P,但計算過程涉及大量數(shù)學(xué)推導(dǎo)且較抽象,難以直觀展示,下文將通過數(shù)值分析展示求解過程。

    2.2 數(shù)值分析

    以某型水輪發(fā)電機(jī)為數(shù)值分析對象,其對應(yīng)的m1、m2質(zhì)量分別為60kg、25kg,轉(zhuǎn)子阻尼和軸承阻尼分別為c1=4000N·s/m、c2=1200N·s/m,轉(zhuǎn)子和軸承的半徑分別為Rr=0.06m、Rb=0.5m,將轉(zhuǎn)子和軸承的對應(yīng)長度記為Lr和Lb,取值分別是0.15m、0.3m。定子和轉(zhuǎn)子的平均氣隙長度為δ0=0.0045m,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心e0=0.0006m。勵磁電流Ij=4A,碰摩擦系數(shù)f取0.01。將空氣的磁導(dǎo)系數(shù)記為μ0,取值為4π×10-7H/m,μ為潤滑油絕對黏度,取值為1.8×103Pa·s。

    2.2.1 周期1的近似解

    2.2.1.1 設(shè)置對照求解方法

    為了評價HB-AFT 方法在碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期解數(shù)值分析中的效果,將Runge-Kutta 方法作為對照組。Runge-Kutta方法是一種隱式或顯式迭代法,在非線性微分方程的求解中具有重要應(yīng)用,其優(yōu)點為求解精度高,缺點為實現(xiàn)原理較復(fù)雜,不易操作[5]。

    2.2.1.2 數(shù)值分析結(jié)果

    數(shù)值分析結(jié)果具體如下。

    首先,周期解的求解結(jié)果。水輪機(jī)大軸轉(zhuǎn)速ω取值為13rad/s,軸徑間隙設(shè)置為0.0002m,時域離散點的數(shù)量設(shè)置為144 個,迭代精度設(shè)定為1×10-11,諧波次數(shù)設(shè)置為8。根據(jù)隱式諧波平衡法的實施原理,通過MATLAB 軟件求解出水輪機(jī)碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期1 的近似解析表達(dá)式,將X方向的周期解記為X(t),Y方向的周期解記為Y(t),結(jié)果如下。

    X(t)=-1.6432231×10-11+6.13443091×10-3sin(ωt)-1.1020326×10-11cos(2ωt)+1.61331×10-11cos(3ωt)+1.12521×10-10sin(3ωt);Y(t)=0+6.1343138×10-4cos(ωt)+1.10925×10-10cos(3ωt)。

    其次,求解方法性能評價。HB-AFT 求解法和Runge-Kutta 求解法在相同條件下得到的數(shù)值解如圖2(a)所示,二者的數(shù)據(jù)高度吻合,說明求解結(jié)果具有良好的可信度。上述2 種方法求解的轉(zhuǎn)子X方向時域圖如圖2(b)所示,其中τ為周期數(shù)。Runge-Kutta 法于大約第260 個周期達(dá)到穩(wěn)態(tài)解,所用時間約為17.42s。與Runge-Kutta 法相比,HB-AFT 法更早達(dá)到穩(wěn)態(tài),所用時間約為7.72s。可見,HBAFT 法不僅具有較高的精確度,還能有效縮短求解時間。

    圖2 HB-AFT 求解法與Runge-Kutta 求解法性能對比

    2.2.2 周期運動的穩(wěn)定性分析

    2.2.2.1 改變軸徑間隙的周期解

    在周期1 的運動分析中,將軸徑間隙設(shè)置為0.0002m,為了進(jìn)一步驗證周期運行是否具有穩(wěn)定規(guī)律,將軸徑間隙擴(kuò)大至0.0014m,其他模擬條件保持不變。同樣利用HBAFT 法和Runge-Kutta 法進(jìn)行迭代計算。HB-AFT 法在新條件下的X方向和Y方向周期解X1(t)和Y1(t)如下。

    X1(t)=3.2755×10-8+2.82821×10-8cos(0.25ωt)-2.6488×10-1sin(0.25ωt)-2.4338×10-8cos(0.5ωt)-4.490×10-8sin(0.5ωt)-1.2406×10-8cos(0.75ωt)-1.6481×10-8sin(0.75ωt)-1.7878×10-7cos(ωt)。

    Y1(t)=0+2.6144×10-1cos(0.25ωt)-2.8433×10-8sin(0.25ωt)+3.1124×10-8sin(0.5ωt)-1.2481×10-8cos(0.75ωt)+1.7214×10-8sin(0.75ωt)+1.7654×10-7sin(ωt)。

    2.2.2.2 穩(wěn)定性分析

    Floquet 理論可用于分析周期運動的穩(wěn)定性,通過特征乘子判斷運動過程是否穩(wěn)定。如果最大特征乘子小于1,表明周期運動是穩(wěn)定的;當(dāng)最大特征乘子大于1 時,表明周期運動不穩(wěn)定(出現(xiàn)分叉);如果最大特征乘子等于1,說明周期運動處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)[6]。設(shè)置不同的軸徑間隙,計算最大Floquet 乘子,結(jié)果見表2。從表2 可知,當(dāng)可調(diào)參數(shù)軸徑間隙為0.0001m、0.0002m、0.0009m 和0.0014m時,系統(tǒng)呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期運動,其他軸徑間隙均出現(xiàn)了分叉。

    表2 不同軸徑間隙對應(yīng)的最大Floquet 乘子及周期運動穩(wěn)定性結(jié)果

    3 結(jié)語

    對以上研究內(nèi)容進(jìn)行總結(jié),得到以下3 個結(jié)論:第一,通過HB-AFT 法對碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動方程進(jìn)行迭代結(jié)算,可有效求出X方向和Y方向的周期解。第二,與Runge-Kutta 法相比,HB-AFT 法均能達(dá)到基本相同的計算精度,計算耗時也有明顯降低。第三,當(dāng)軸徑間隙為0.0001m~0.0014m 時,僅有0.0001m、0.0002m、0.0009m、0.0014m 共4 種取值能夠使碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)。

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