萬有引力與宇宙航行常見問題及解題策略

王華明

(湖北省仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

萬有引力與宇宙航行作為高考的熱點(diǎn)題目,幾乎在每年的高考中都會(huì)以選擇題的形式出現(xiàn).在問題設(shè)置上,通常會(huì)考查研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)參數(shù)、軌道變化、能量等諸多問題,因?yàn)樯婕拜^多公式,學(xué)生解答比較困難.本文結(jié)合實(shí)際情況,對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行分類總結(jié),以此促進(jìn)學(xué)生的掌握.

1 中心天體的質(zhì)量和密度

例1恒星S2 不同時(shí)間所處位置如圖1 所示,其運(yùn)動(dòng)軌跡是半長軸為1000 AU(太陽距地球?yàn)?AU)的橢圓,銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞,若認(rèn)為S2所受力主要來自該黑洞的引力,設(shè)太陽的質(zhì)量為M,則黑洞的質(zhì)量約為( ).

圖1

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

2 天體運(yùn)行參量分析

由上述各公式可以看出,天體運(yùn)行軌道越高,其運(yùn)行的線速度、角速度、加速度等都會(huì)減小,運(yùn)行周期越長.

例2金星、地球與火星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng),向心加速度分別為a金、a地、a火,運(yùn)行速率分別為v金、v地、v火,已知R金＜R地＜R火,則可得( ).

3 變軌問題

如圖2所示是常見的變軌問題模型,速度、加速度、周期存在以下特點(diǎn):

圖2

1)速度:設(shè)衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅲ上速度分別為v1、v3,在軌道ⅡA、B點(diǎn)速度分別為vA、vB,在A點(diǎn)加速,則vA＞v1,在B點(diǎn)加速,則v3＞vB,因?yàn)関1＞v3,所以有vA＞v1＞v3＞vB.

2)加速度:在同一圓軌道上,所有時(shí)刻加速度大小均相等.

4 雙星問題

雙星模型是考試中常見的一類問題,此類模型中,兩個(gè)距離較近的行星在彼此引力的作用下繞某一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),如圖3所示.

圖3

雙星模型的運(yùn)行軌道為同心圓;二者的F向、T、ω相等,r1＋r2＝L,半徑與質(zhì)量成反比.在解答這類問題時(shí),需要借助公式

例3兩中子星相距約400km,繞某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈,將中子星視為分布均勻的球體,根據(jù)所學(xué)知識(shí)可估算出某一時(shí)刻兩顆中子星( ).

A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和

C.速率之和 D.自轉(zhuǎn)角速度

5 近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星及赤道上物體的運(yùn)行問題

對(duì)近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星有F萬＝F向,兩者都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則有r近＜r同,所以a近＞a同,v近＞v同,ω近＞ω同,T近＜T同.

同步衛(wèi)星與赤道上的物體角速度相同,則有ω同＝ω物,T同＝T物,因?yàn)閞同＞r物＝R,由v＝ωr,a＝ω2r可知,v同＞v物,a同＞a物.

綜上,近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星與赤道上物體相比,有r同＞r近＞r物,v近＞v同＞v物,ω近＞ω同＝ω物,T近＜T同＝T物,a近＞a同＞a物.

例4如圖4所示,a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星,其中a在赤道上未發(fā)射,b為近地軌道衛(wèi)星,c為同步衛(wèi)星,d為高空探測衛(wèi)星,則( ).

圖4

A.c、d向心加速度相同

B.相同時(shí)間內(nèi),b轉(zhuǎn)過的弧長最長

C.4小時(shí)c轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為

D.b的周期小于d

綜上所述,本文總結(jié)了萬有引力與宇宙航行中常見的5大類題型,并且給出了解答問題常用的相關(guān)公式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌握各類題型及解題策略,在面對(duì)相關(guān)問題時(shí)才能快速解答.

(完)