關(guān)于天體橢圓運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及其應(yīng)用

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心)

在近年高考物理試卷中,多次出現(xiàn)有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道問(wèn)題.解答這類問(wèn)題所應(yīng)用的物理規(guī)律主要是開(kāi)普勒定律.此外,若在題中給出引力勢(shì)能公式,則需綜合應(yīng)用開(kāi)普勒定律和機(jī)械能守恒定律.下面對(duì)開(kāi)普勒定律和有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能的某些特點(diǎn)進(jìn)行深入分析.

1 有關(guān)天體橢圓運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解讀

1.1 開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)定律特點(diǎn)

開(kāi)普勒第一定律也叫軌道定律,反映了行星運(yùn)動(dòng)軌道的形狀以及中心天體的位置.太陽(yáng)位于橢圓軌跡的一個(gè)焦點(diǎn),而不是橢圓的中心.

開(kāi)普勒第二定律也叫面積定律,反映了行星運(yùn)動(dòng)速率與焦半徑的關(guān)系.由此可知,行星在近日點(diǎn)速度最大,在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小;在橢圓軌道上關(guān)于長(zhǎng)軸的對(duì)稱點(diǎn)處的速率相等;從長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為半個(gè)周期,但從短軸的一個(gè)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間不是半個(gè)周期.

由橢圓的對(duì)稱性可知,在橢圓的兩個(gè)對(duì)稱頂點(diǎn)處的曲率半徑相同,設(shè)為ρ,在兩個(gè)頂點(diǎn)處分別應(yīng)用牛頓第二定律有,聯(lián)立方程可得v1r1＝v2r2.

這表明,行星經(jīng)過(guò)橢圓軌道兩個(gè)對(duì)稱頂點(diǎn)時(shí)的速率跟焦半徑成反比.從推導(dǎo)過(guò)程可知,速率關(guān)系方程只適用于橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn).

開(kāi)普勒第三定律也叫周期定律,反映了橢圓運(yùn)動(dòng)周期跟半長(zhǎng)軸的關(guān)系.表達(dá)式中a表示軌道的半長(zhǎng)軸,k只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),對(duì)于不同的中心天體,k的數(shù)值是不同的.當(dāng)應(yīng)用開(kāi)普勒第三定律表達(dá)式時(shí),在常數(shù)k未知的情況下,無(wú)論求a或T,都需選擇兩個(gè)環(huán)繞天體,以便列出兩個(gè)方程.

另一方面,由開(kāi)普勒第三定律可知,對(duì)于同一中心天體,行星環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的周期只與軌道的半長(zhǎng)軸有關(guān),而與離心率無(wú)關(guān),即與橢圓的“胖瘦”無(wú)關(guān),因此,橢圓運(yùn)動(dòng)的周期等于以橢圓半長(zhǎng)軸為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)的周期,由此可根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列方程.具體而言,對(duì)于質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為M的天體做橢圓運(yùn)動(dòng),半長(zhǎng)軸為a,若求橢圓運(yùn)動(dòng)的周期,則可對(duì)以a為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)由牛頓第二定律列方程為,可得.由此可知與中心天體的質(zhì)量成正比.這是把中心天體作為慣性系的條件下得到的結(jié)果.如果以中心天體與環(huán)繞天體的質(zhì)心為參考系,可得.這表明,k的數(shù)值不僅與中心天體的質(zhì)量有關(guān),還與環(huán)繞天體的質(zhì)量有關(guān),只有在M?m的條件下,才有

1.2 天體系統(tǒng)的機(jī)械能特點(diǎn)

天體在引力場(chǎng)中具有引力勢(shì)能.當(dāng)兩個(gè)天體之間的距離為無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),相互作用力幾乎為零,因此選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn),則引力勢(shì)能表達(dá)式為.引力勢(shì)能之所以為負(fù)值,是因?yàn)楫?dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)處向固定質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)時(shí),萬(wàn)有引力做正功,使得引力勢(shì)能逐漸減少,必然小于零.

2 有關(guān)天體橢圓運(yùn)動(dòng)的規(guī)律應(yīng)用

例1(2017年新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖1所示,海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng),P為近日點(diǎn),Q為遠(yuǎn)日點(diǎn),M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn),運(yùn)行的周期為T(mén)0.若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用,則海王星在從P經(jīng)過(guò)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中( ).

圖1

A.從P到M所用的時(shí)間等于

B.從Q到N階段,機(jī)械能逐漸變大

C.從P到Q階段,速率逐漸變小

D.從M到N階段,萬(wàn)有引力先做負(fù)功后做正功

海王星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受太陽(yáng)引力的作用,則機(jī)械能守恒,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知,從P到Q階段,運(yùn)動(dòng)速率逐漸變小,選項(xiàng)C正確.

從M到N階段,受到的萬(wàn)有引力先為阻力后為動(dòng)力,則對(duì)它先做負(fù)功后做正功,選項(xiàng)D 正確.

例2質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng),橢圓的半長(zhǎng)軸為a,離心率為e,求行星從近日點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)四分之一橢圓經(jīng)歷的時(shí)間.

畫(huà)出橢圓軌道如圖2所示,利用幾何關(guān)系可知行星從近日點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)四分之一橢圓的過(guò)程中焦半徑掃過(guò)的面積等于四分之一橢圓面積與直角三角形面積之差,即

圖2

根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知,行星做橢圓運(yùn)動(dòng)的周期等于以半長(zhǎng)軸為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)的周期,則由牛頓第二定律和向心力公式有,可得橢圓運(yùn)動(dòng)的周期為,故所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

例3(2021年全國(guó)乙卷)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的實(shí)際觀測(cè),給出1994 年到2002年間S2的位置如圖3所示.科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸為1000 AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU)的橢圓,銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞.這項(xiàng)研究工作獲得了2020 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力,設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M,可以推斷出該黑洞質(zhì)量約為( ).

圖3

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

例4(2021年全國(guó)甲卷)2021年2月,執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后,進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道,軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m.已知火星半徑約為3.4×106m,火星表面處自由落體的加速度約為3.7m·s—2,則“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為( ).

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

圖4

橢圓周期為T(mén)2＝1.8×105s,根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知,可得

軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離為d2＝2a—d1—2R.代入數(shù)據(jù)得d2≈6×107m,選項(xiàng)C正確.

方法2根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知,環(huán)繞周期與離心率無(wú)關(guān),只與半長(zhǎng)軸有關(guān),設(shè)“天問(wèn)一號(hào)”的質(zhì)量為m′,則環(huán)繞火星做橢圓運(yùn)動(dòng)的周期等于以半長(zhǎng)軸為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)的周期,萬(wàn)有引力提供向心力,即,聯(lián)立這兩個(gè)方程可得.后續(xù)解法同方法1.

例5天體在引力場(chǎng)中具有的能叫作引力勢(shì)能,物理學(xué)中經(jīng)常把無(wú)窮遠(yuǎn)處定為引力勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn),引力勢(shì)能表達(dá)式為,其中G為引力常量,M為產(chǎn)生引力場(chǎng)物體(中心天體)的質(zhì)量,m為研究對(duì)象的質(zhì)量,r為兩者質(zhì)心之間的距離.已知海王星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng),遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的距離分別為r1和r2.地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為R.如果知道引力常量G和地球公轉(zhuǎn)周期T,則下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)物理量均可以推算出的是( ).

A.海王星質(zhì)量和地球質(zhì)量

B.太陽(yáng)質(zhì)量和海王星質(zhì)量

C.地球質(zhì)量和海王星近日點(diǎn)速度大小

D.太陽(yáng)質(zhì)量和海王星遠(yuǎn)日點(diǎn)速度大小

設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M,海王星質(zhì)量為m,由機(jī)械能守恒定律有

設(shè)地球質(zhì)量為m′,太陽(yáng)引力提供向心力,即

對(duì)于天體的質(zhì)量,由后面兩個(gè)方程可見(jiàn),環(huán)繞天體的質(zhì)量都約掉了,無(wú)法求出,排除選項(xiàng)A、B、C;由三個(gè)方程可求出太陽(yáng)的質(zhì)量、海王星位于遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的速度大小,只有選項(xiàng)D 正確.

例6如圖5所示,兩顆人造衛(wèi)星A、B分別沿圓軌道和橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng).已知地球質(zhì)量為M,兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量都為m.衛(wèi)星A的圓軌道半徑為R,在圓軌道上的速度大小為v0,加速度為a0,機(jī)械能總量為EA;衛(wèi)星B的近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)到地球中心的距離分別為r1和r2,在近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度大小分別為v1和v2,在近地點(diǎn)的加速度為a1,在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能總量為EB,則( ).

圖5

A.v1一定大于v2B.v0一定大于v2

C.a1一定大于a0D.EA一定大于EB

若以地心為圓心、以r2為半徑作圓,相切于橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn),則由變軌知識(shí)可知在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度v3一定大于在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度v2;對(duì)于同心圓軌道,由于半徑R＜r2,則由“衛(wèi)星越高運(yùn)動(dòng)越慢”可知v0一定大于v3,所以v0一定大于v2,故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于衛(wèi)星A,受到的萬(wàn)有引力為;對(duì)于衛(wèi)星B,在軌道近地點(diǎn)處受到的萬(wàn)有引力為F1＝.已知R＜r1,則F0＞F1,由牛頓第二定律可知a0＞a1,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

圓周運(yùn)動(dòng)軌道直徑為2R,橢圓運(yùn)動(dòng)軌道長(zhǎng)軸為r1＋r2,由于r1＋r2＞2R,可知橢圓軌道對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的機(jī)械能大于圓周軌道對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的機(jī)械能,即EB＞EA,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

綜上所述,在解答有關(guān)天體做橢圓運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí),應(yīng)用的主要規(guī)律是開(kāi)普勒定律以及萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律、圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)、機(jī)械能守恒定律和與橢圓有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).應(yīng)用開(kāi)普勒第一定律,要知道行星運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀,知道中心天體的位置以及橢圓的焦點(diǎn)位于長(zhǎng)軸上.應(yīng)用開(kāi)普勒第二定律,要知道面積速率是恒定的、橢圓的面積與周期之比等于面積速率以及哪半個(gè)橢圓軌道對(duì)應(yīng)的時(shí)間為半個(gè)周期,還要能在具體的橢圓中畫(huà)出焦半徑掃過(guò)的區(qū)域并計(jì)算其面積,推導(dǎo)天體在橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)處的速率與焦半徑的關(guān)系方程,知道橢圓運(yùn)動(dòng)速率最大值與最小值的位置在橢圓的頂點(diǎn)即長(zhǎng)軸的兩端.應(yīng)用開(kāi)普勒第三定律,要能夠?qū)懗霰磉_(dá)式,知道開(kāi)普勒常數(shù)跟中心天體的質(zhì)量成正比,理解周期與離心率無(wú)關(guān),有時(shí)只需寫(xiě)出一般的表達(dá)式,有時(shí)則需根據(jù)表達(dá)式列出具體的方程,或者把橢圓運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)列出動(dòng)力學(xué)方程.由開(kāi)普勒第三定律可知,對(duì)于同一中心天體,橢圓運(yùn)動(dòng)的周期只與半長(zhǎng)軸有關(guān),若半長(zhǎng)軸相同,則周期相同;若半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度越大,則周期越大.無(wú)論天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是做橢圓運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)的機(jī)械能都守恒,而且機(jī)械能總量只與橢圓的長(zhǎng)軸有關(guān),長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度越大,系統(tǒng)的機(jī)械能就越大.

(完)