圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問(wèn)題常見(jiàn)題型分析

靳云雷

(山東省章丘中學(xué))

圓周運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)體系中的一個(gè)重要分支,與其相關(guān)的臨界問(wèn)題則是各類考試考查的熱點(diǎn).本文總結(jié)圓周運(yùn)動(dòng)中常見(jiàn)的幾類臨界問(wèn)題,以促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解和掌握.

1 水平面圓周運(yùn)動(dòng)

1.1 水平轉(zhuǎn)臺(tái)模型

水平轉(zhuǎn)臺(tái)模型中,臨界問(wèn)題一般與摩擦力有關(guān).隨著轉(zhuǎn)速的逐漸增加,物體所受摩擦力也會(huì)逐漸增加.當(dāng)在某一轉(zhuǎn)速下,靜摩擦力達(dá)到最大值,此時(shí)物體則處于臨界狀態(tài),繼續(xù)提高轉(zhuǎn)速物塊會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng).而解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵,則是對(duì)臨界情況進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析.

例1如圖1所示,水平轉(zhuǎn)臺(tái)上,細(xì)繩連接質(zhì)量均為m的A、B兩物塊,沿半徑放置,細(xì)繩恰好伸直.A、B距軸心O分別為R和2R,物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間最大靜摩擦力為重力的k倍.請(qǐng)作出隨轉(zhuǎn)臺(tái)角速度ω的增加,A、B所受靜摩擦力FfA、FfB隨ω2的變化圖像.

圖1

,此時(shí),A所受摩擦力為.此后,繩子產(chǎn)生張力,B所受摩擦力仍為kmg,對(duì)A有FfA—FT＝mω2R;對(duì)B有kmg＋FT＝mω2·2R.聯(lián)立可得FfA＝3mω2R—kmg.

當(dāng)ω繼續(xù)增大,FfA也逐漸增加,當(dāng)FfA＝kmg時(shí),A、B與轉(zhuǎn)臺(tái)達(dá)到相對(duì)靜止的臨界點(diǎn),ω再增加,則會(huì)出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng),設(shè)此時(shí)角速度為ω2,則有kmg＝,可得

A、B所受靜摩擦力FfA、FfB隨ω2的變化圖像如圖2、3所示.

圖3

1.2 圓錐擺

在圓錐擺模型中,一般由繩子拉力與重力的合力提供向心力,而隨著圓錐擺的變形,其向心力大小也會(huì)發(fā)生改變.這類問(wèn)題的臨界狀態(tài)一般出現(xiàn)在繩子拉力最大時(shí).

例2如圖4所示,AB為豎直轉(zhuǎn)軸,細(xì)繩AC、BC結(jié)點(diǎn)C系有質(zhì)量為m的小球,兩繩能承受的最大拉力均為2mg,AC、BC均伸直時(shí),∠ABC＝90°,∠ACB＝53°,BC＝1m,ABC能夠繞AB旋轉(zhuǎn),C做勻速圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)速過(guò)快時(shí),AC、BC會(huì)被拉斷,求AC、BC斷裂時(shí)小球的線速度.

圖4

圖5

分析可得:FAC與ω?zé)o關(guān),說(shuō)明兩繩拉緊后、未斷前AC上為恒力,即BC先斷裂,由FBC＝(ω2—7.5)m(N)可知,當(dāng)FBC＝2mg,即＝27.5rad2·s—2時(shí),BC斷裂,此時(shí)斷裂后,小球重力與AC拉力的合力提供向心力.

2 豎直面圓周運(yùn)動(dòng)

2.1 最高(低)點(diǎn)臨界問(wèn)題

解答這類臨界問(wèn)題,一般要分析物體在圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀況.根據(jù)情況不同,可以進(jìn)一步分為“繩球模型”與“桿球模型”.“繩球模型”中,在最高點(diǎn)的臨界狀態(tài),由重力提供向心力,即,則當(dāng)時(shí),可以到達(dá)最高點(diǎn).“桿球模型”臨界條件中,最高點(diǎn)時(shí),桿所受彈力與重力相等,即,則當(dāng)v≥0時(shí),可以到達(dá)最高點(diǎn).在面對(duì)這類問(wèn)題時(shí),應(yīng)當(dāng)厘清題目模型及臨界情況,從而進(jìn)行解答.

例3如圖6 所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的兩段繩,一端分別固定在等高的A、B兩點(diǎn),另一端連接質(zhì)量為m的小球,A、B間距為L(zhǎng).小球做圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)速度為v時(shí),兩段繩中張力恰好為0.求當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度變?yōu)?v時(shí),每段繩的張力.

圖6

2.2 脫軌(不脫軌)問(wèn)題

不脫軌問(wèn)題可以根據(jù)題目情境分為“內(nèi)軌模型”與“外軌模型”兩類.“內(nèi)軌模型”中,小球在軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng),受到軌道的支撐.當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)僅由重力提供向心力時(shí),得,而后小球脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng).“外軌模型”中,要使小球不脫離軌道,最高點(diǎn)速度為其臨界狀態(tài).同時(shí),經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度,臨界速度為.當(dāng)小球在最低點(diǎn)的速度,運(yùn)動(dòng)軌跡不超過(guò)圓心,也不脫離軌道.當(dāng)最低點(diǎn)速度時(shí),小球在運(yùn)動(dòng)至圓心平面以上某處后脫離軌道做斜上拋運(yùn)動(dòng).細(xì)繩模型與其相似.

例4如圖7所示,在半徑為L(zhǎng)的圓形軌道中,有細(xì)繩長(zhǎng)為L(zhǎng),一端固定在圓心O點(diǎn),一端連接一小球(視為質(zhì)點(diǎn)),小球在最低點(diǎn)A時(shí),給其一個(gè)的水平初速度,求小球脫離軌道后能到達(dá)的高度.

圖7

如圖8所示,設(shè)在圖中B點(diǎn)脫軌,此時(shí)繩子張力為0,由重力徑向分力提供向心力,設(shè)繩子與水平夾角為θ,有mgsinθ＝,從A到B,由動(dòng)能定理得

圖8

小球脫軌后做斜上拋運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)速度為vB的水平分量,由機(jī)械能守恒定律有

綜上所述,本文總結(jié)了圓周運(yùn)動(dòng)中幾類常見(jiàn)的題型,并分析其解題思路,為師生提供參考.要想快速解答問(wèn)題,需要學(xué)生對(duì)解題思路、知識(shí)等進(jìn)行總結(jié),以此提升解題效率.

(完)