天體運(yùn)動(dòng)中應(yīng)澄清的兩類(lèi)問(wèn)題

邵立凱

(山東省青島即墨區(qū)第五中學(xué))

天體運(yùn)動(dòng)中,有兩類(lèi)問(wèn)題是學(xué)生一直比較困惑的,一是天體橢圓運(yùn)動(dòng)中萬(wàn)有引力和向心力的關(guān)系,二是天體圓周運(yùn)動(dòng)中不同質(zhì)量天體的機(jī)械能關(guān)系.筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn),學(xué)生在第一類(lèi)問(wèn)題上出錯(cuò)的根源是對(duì)萬(wàn)有引力公式和向心力公式中的“r”認(rèn)識(shí)有偏差,誤認(rèn)為二者是相同的;第二類(lèi)問(wèn)題出錯(cuò)的根源則是受思維定式的影響,將引力勢(shì)能與重力勢(shì)能零勢(shì)能的選取混為一談,沒(méi)有認(rèn)識(shí)到二者的區(qū)別所在.鑒于此,筆者對(duì)兩類(lèi)問(wèn)題分別予以辨析,以正本溯源,澄清錯(cuò)誤,促進(jìn)學(xué)生對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的深度認(rèn)識(shí).

1 橢圓運(yùn)動(dòng)中萬(wàn)有引力和向心力的關(guān)系

1.1 問(wèn)題引入

如圖1所示,天體m繞天體M運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,天體M處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,當(dāng)天體m運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn) 或B點(diǎn)時(shí),所受萬(wàn)有引力和向心力的大小關(guān)系如何?

圖1

下面結(jié)合橢圓的基本知識(shí),從萬(wàn)有引力的作用效果進(jìn)行討論.

1.2 分析問(wèn)題

以天體m運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)為例,設(shè)OB間的距離為rB,天體m運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小為vB,在B點(diǎn),天體m所受萬(wàn)有引力F萬(wàn)與其速度vB垂直,如圖2所示.在該位置,天體m無(wú)切向加速度,只有法向加速度,故其所受萬(wàn)用引力與向心力相等,即,需要注意的是中的rB和中的并不相同,rB表示天體m到M中心間的距離,則表示橢圓在B位置的曲率半徑,結(jié)合橢圓知識(shí)可知a2＝b2＋c2,rB＝a＋c,則;同理在A點(diǎn),天體所受萬(wàn)有引力與向心力亦相等,即有,其中rA＝,則b、c分別為橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸和半焦距,如圖3所示.

圖2

圖3

例1“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器成功在火星軟著陸,標(biāo)志著我國(guó)成為世界上第一個(gè)首次探測(cè)火星就實(shí)現(xiàn)“繞、落、巡”三項(xiàng)任務(wù)的國(guó)家.“天問(wèn)一號(hào)”在火星停泊軌道運(yùn)行時(shí),近火點(diǎn)距離火星表面的高度為h1,運(yùn)動(dòng)至該點(diǎn)時(shí)的速度大小為v1,遠(yuǎn)火點(diǎn)距離火星表面的高度為h2,運(yùn)動(dòng)至該點(diǎn)時(shí)的速度大小為v2.已知火星半徑為R,質(zhì)量為M,“天問(wèn)一號(hào)”的質(zhì)量為m,萬(wàn)有引力常量為G,則下列說(shuō)法正確的是( ).

2 圓周運(yùn)動(dòng)中不同質(zhì)量天體的機(jī)械能關(guān)系

2.1 問(wèn)題引入

如圖4所示,兩顆人造衛(wèi)星A和B都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其質(zhì)量之比為mA∶mB＝1∶4,周期之比為T(mén)A∶TB＝1∶8,則衛(wèi)星A和衛(wèi)星B的機(jī)械能大小關(guān)系如何?

圖4

2.2 分析問(wèn)題

部分學(xué)生之所以認(rèn)為衛(wèi)星A的機(jī)械能小于衛(wèi)星B的機(jī)械能,是將衛(wèi)星的引力勢(shì)能類(lèi)比為地面附近的重力勢(shì)能造成的,對(duì)于地面附近不同高度處的物體,可認(rèn)為同時(shí)處于地面附近,因此可以取地面為零勢(shì)能面,而對(duì)處于不同軌道的衛(wèi)星而言,不能認(rèn)為同時(shí)處于地面附近,除非它們離地面的高度遠(yuǎn)小于地球的半徑,故不能取地面為零勢(shì)能面,必須取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn).根據(jù)勢(shì)能的定義可知,將質(zhì)量為m的物體由距地心為r處移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處,萬(wàn)有引力做的功即為物體在r處所具有的引力勢(shì)能,其大小為Ep＝,則對(duì)衛(wèi)星A有EpA＝,對(duì)衛(wèi)星B有,又mA∶mB＝1∶4,rB＝4rA,故有EpA＝EpB,結(jié)合EkA＝EkB,可知衛(wèi)星A和衛(wèi)星B的機(jī)械能相同.

例2地球?qū)ζ渲車(chē)奈矬w產(chǎn)生的萬(wàn)有引力是通過(guò)地球周?chē)囊?chǎng)產(chǎn)生的,物體在引力場(chǎng)中具有的勢(shì)能被稱(chēng)為引力勢(shì)能.若規(guī)定距地球無(wú)限遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能零點(diǎn),可得到在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星引力勢(shì)能的表達(dá)式Ep＝,其中M為地球的質(zhì)量,m為衛(wèi)星的質(zhì)量,G為萬(wàn)有引力常量.

(1)若一質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在半徑為2r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則其機(jī)械能為多少?

(2)已知在地球表面附近,對(duì)于質(zhì)量為m的物體離開(kāi)地面高度為h時(shí),若規(guī)定地球表面為重力勢(shì)能零點(diǎn),物體重力勢(shì)能的表達(dá)式為E0＝mgh(g為重力加速度),這個(gè)表達(dá)式雖然與題干中引力勢(shì)能的表達(dá)式在形式上有很大的差別,但二者本質(zhì)相同,試證明在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下,當(dāng)h遠(yuǎn)小于地球半徑R時(shí),重力勢(shì)能和引力勢(shì)能的表達(dá)式是一致的.(可能用到的數(shù)學(xué)知識(shí):當(dāng)|x|?1時(shí),

在教學(xué)的過(guò)程中,教師對(duì)于學(xué)生存在的疑慮或困惑,決不能單憑幾個(gè)結(jié)論去解決問(wèn)題.要盡可能從源頭上厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈,促進(jìn)學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的深度認(rèn)識(shí).只有這樣,才能從根本上消除學(xué)生心中的困惑,真正提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

(完)