關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)說(shuō)關(guān)聯(lián)

馬仕彪

(安徽省濉溪中學(xué))

關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)是指物體間通過(guò)一定的連接方式,從而使其運(yùn)動(dòng)發(fā)生聯(lián)系的運(yùn)動(dòng).弄清楚關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)所關(guān)聯(lián)的物理量是理解關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的最基本的要求,也是最有效的方法.關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的合成與分解,而矢量的合成與分解滿足平行四邊形定則或三角形定則.本文主要從關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的角度進(jìn)行多維度研究,以真正理解關(guān)聯(lián)的思想.

1 從一個(gè)經(jīng)典關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)模型說(shuō)起

模型A、B兩物體通過(guò)細(xì)線按照如圖1所示的方式連接,某時(shí)刻細(xì)線OA與水平方向的夾角為α,A的速度為vA,B的速度為vB,請(qǐng)討論vA與vB之間的關(guān)系.

圖1

方法1運(yùn)動(dòng)效果法

如圖2所示,A的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向向左,即A的合運(yùn)動(dòng)方向向左,由于A的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)效果,其一是使細(xì)線OA變短,其二是圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),因此可以將vA沿著細(xì)線和垂直細(xì)線方向進(jìn)行分解,分量分別為v∥＝vAcosα,v⊥＝vAsinα,而B的速度vB恰好沿細(xì)線方向,因?yàn)榧?xì)線總長(zhǎng)度一定,所以有vB＝v∥＝vAcosα.

圖2

方法2機(jī)械能守恒法

因?yàn)锳、B兩物體組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律,細(xì)線對(duì)系統(tǒng)做功代數(shù)和為零,即細(xì)線對(duì)A、B兩物體做功功率大小相等,由功率定義有FvAcosα＝FvB,化簡(jiǎn)得vB＝vAcosα.

方法3極限位移法

如圖3所示,從初始位置經(jīng)過(guò)極短時(shí)間Δt內(nèi),△OO″A′近似為等腰三角形,即OO″≈OA′,細(xì)線OA縮短了ΔxOA＝xOA—xOA′＝vAΔtcosα,細(xì)線OB伸長(zhǎng)了ΔxOB＝vBΔt,由于細(xì)線總長(zhǎng)度不變,所以滿足ΔxOA＝ΔxOB,化簡(jiǎn)有vB＝vAcosα.

圖3

方法4數(shù)學(xué)思想法

如圖4所示,對(duì)初狀態(tài)應(yīng)用勾股定理,有

圖4

對(duì)經(jīng)過(guò)極短時(shí)間Δt時(shí)應(yīng)用勾股定理,有

兩式相減,有

2 應(yīng)用舉例

例1如圖5所示,連桿AB、OB可繞圖中A、B、O三處的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng),連桿OB在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)可通過(guò)連桿AB使滑塊A在水平橫桿上左右滑動(dòng).已知OB桿長(zhǎng)為R,其繞O點(diǎn)以角速度ω做逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩俎D(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)連桿AB與水平方向夾角為α、AB桿與OB桿的夾角為時(shí),求滑塊A的速度vA.

圖5

如圖6所示,A、B兩者的速度沿桿AB方向的分量相等,而B的合速度為圓周運(yùn)動(dòng)的線速度vB＝ωR,方向與OB相垂直,因此有vAcosα＝

圖6

方法2數(shù)學(xué)思想法

如圖7所示,設(shè)桿AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng).對(duì)初狀態(tài)應(yīng)用余弦定理,有L2＝R2＋AO2—2R·AOcos[π—(α＋β)].經(jīng)過(guò)極短時(shí)間Δt時(shí),仍應(yīng)用余弦定理,有

圖7

兩式結(jié)合有

化簡(jiǎn)得

化簡(jiǎn)有

討論與總結(jié)

1)當(dāng)β＝180°,α＝0°時(shí),即B處于AO之間,此時(shí)vA＝0,A運(yùn)動(dòng)到最左端;

2)當(dāng)β＝0°,α＝180°時(shí),即O處于AB之間,此時(shí)vA＝0,A運(yùn)動(dòng)到最右端;

3)當(dāng)β＝90°時(shí),即AB與OB垂直,此時(shí)A的速度最大,最大值為;

例2如圖8 所示,質(zhì)量均為m的小球甲、乙用一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)桿相連,甲球靠在光滑豎直墻面上,乙球置于光滑的水平地面上.開始時(shí),桿與水平面的夾角為60°.釋放后甲球沿豎直墻面下滑,乙球右滑,當(dāng)細(xì)桿滑至與水平面成θ角時(shí),甲剛好離開墻壁,求此時(shí)的θ角和乙的速度.

圖8

令

將K對(duì)θ進(jìn)行求導(dǎo)有

例3如圖9所示,滑塊A、B的質(zhì)量均為m,A套在傾斜固定的直桿上,傾斜桿與水平面成45°角,B套在水平固定的直桿上,兩桿略分離不接觸,兩直桿間的距離忽略不計(jì),兩直桿足夠長(zhǎng),A、B通過(guò)鉸鏈用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性輕桿(初始時(shí)輕桿與水平面成30°角)連接,將A、B由靜止釋放,不計(jì)一切阻力,滑塊A、B可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度為g,下列說(shuō)法正確的是( ).

圖9

A.A、B及輕桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

B.當(dāng)A到達(dá)B所在的水平面時(shí),A的速度為

近年來(lái)，通信傳輸網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)展迅速，新技術(shù)層出不窮。日新月異的通信技術(shù)為建設(shè)堅(jiān)強(qiáng)可靠的電力通信傳輸網(wǎng)創(chuàng)造了條件。目前，通信業(yè)界采用的傳輸網(wǎng)技術(shù)體制主要有 SDH，DWDM，ASON，OTN，PTN等。目前，國(guó)內(nèi)地市電力通信網(wǎng)仍以 SDH 網(wǎng)絡(luò)為主。

C.B到達(dá)最右端時(shí),A的速度等于

D.B的最大速度為

其中vAcos45°＝vB,解得A的速度為,因此選項(xiàng)B 錯(cuò)誤;B滑塊到達(dá)最右端時(shí),其速度為零,此時(shí)輕桿與斜桿垂直,如圖10所示.由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有

圖10

解得A的速度為,因此選項(xiàng)C正確.

如圖11 所示,當(dāng)輕桿與水平桿垂直時(shí)B的速度最大,此時(shí)A的速度為零,由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律有,解得B的最大速度為,因此選項(xiàng)D 正確.

圖11

例4如圖12所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的豎直輕桿上端連一質(zhì)量為m的小球A,桿的下端用鉸鏈接于水平面上的O點(diǎn).小球A與置于同一水平面上的質(zhì)量為M的立方體B恰好接觸.現(xiàn)輕微擾動(dòng),使桿向右傾倒,各處摩擦均不計(jì).某時(shí)刻桿與地面夾角為θ時(shí),A、B恰好分離.求A與B的質(zhì)量比.

圖12

圖13

例5如圖14所示,三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上.現(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v0,方向與繩相垂直.小球相互碰撞時(shí)為彈性碰撞,輕繩不可伸長(zhǎng).求:

圖14

(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí),小球B的速度;

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),小球B的速度;

(3)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),繩中的拉力F的大小;

(4)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球A的最大動(dòng)能Ek和此時(shí)兩根繩的夾角.

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有

(3)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí),以小球B為參考系,小球A(C)相對(duì)于小球B的速度均為

(4)當(dāng)小球A的動(dòng)能最大時(shí),小球B的速度為零.如圖15所示,設(shè)此時(shí)小球A、C的速度大小均為μ,由機(jī)械能守恒定律有,小球A的最大動(dòng)能,結(jié)合可得,此時(shí)μ＝.設(shè)此時(shí)兩繩之間的夾角為θ,由關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可知μ與AB和BC方向相垂直,由動(dòng)量守恒定律有,結(jié)合可得,因此時(shí)兩根繩間夾角為θ＝90°.

圖15

3 結(jié)語(yǔ)

在關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)中,一般只分解合運(yùn)動(dòng),合運(yùn)動(dòng)即物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng),然后再找到運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系即可,而關(guān)聯(lián)一般表現(xiàn)在沿繩或沿桿的分速度相等.以關(guān)聯(lián)為突破口,理解了關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的意義,便可以將問(wèn)題順利解決.

(完)