三線擺法與扭擺法測量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比較

王興福,葛智勇

(南京郵電大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210023)

隨著國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要的推出,高校如何進(jìn)一步優(yōu)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)體系,提高教育教學(xué)質(zhì)量,提升學(xué)生創(chuàng)新能力,是高等教育內(nèi)涵式發(fā)展必須解決的問題[1]。實(shí)驗(yàn)教學(xué)比較研究有利于幫助教師有效深度備課,充分吃透教材,準(zhǔn)確把握目標(biāo),提升教學(xué)層次,有利于幫助學(xué)生加深實(shí)驗(yàn)理解,培養(yǎng)思維訓(xùn)練,激發(fā)創(chuàng)新能力,以適應(yīng)越來越快的知識(shí)更迭和應(yīng)對愈來愈烈的競爭壓力。實(shí)驗(yàn)教學(xué)比較研究的內(nèi)容包括實(shí)驗(yàn)教學(xué)理念、實(shí)驗(yàn)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、評價(jià)考核方式以及設(shè)備和環(huán)境條件等[2,3]。本文選取大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的物理量——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對兩種測量方法的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行詳細(xì)的教學(xué)內(nèi)容比較研究。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度,其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置,而與繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)(如角速度的大小)無關(guān)。與平動(dòng)中用質(zhì)量表征物體慣性大小一樣,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義,也是科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航空航天、儀器儀表等工業(yè)領(lǐng)域一個(gè)重要參量。對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量分布均勻的物體,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可根據(jù)公式I=?Vr2dm計(jì)算得出,式中dm表示剛體的某個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量,r表示該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。對于幾何形狀不規(guī)則或質(zhì)量分布不均勻的物體,用數(shù)學(xué)方法計(jì)算是非常困難的,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常采用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行測定。實(shí)驗(yàn)上,測定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法很多,常用的有三線擺法[4-8]、扭擺法[9-12]、復(fù)擺法和落體法等。在物理專業(yè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,常常要求學(xué)生比較三線擺和扭擺法之異同,本文將從以下幾個(gè)方面作出詳細(xì)比較。

1 實(shí)驗(yàn)原理之比較

三線擺實(shí)驗(yàn)裝置包括水平固定的上圓盤和由懸線與之相連的下圓盤,一起懸掛在轉(zhuǎn)軸上。三根懸線對稱分布,且長度可調(diào)節(jié),從而使下圓盤處于水平狀態(tài),下圓盤可繞中心軸作扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下圓盤擺動(dòng)角度很小且忽略空氣阻力時(shí),其運(yùn)動(dòng)可近似看作簡諧運(yùn)動(dòng)。將待測物體放置于下圓盤,并使其質(zhì)心通過中心軸,則物體和下圓盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(1)

式中,m為下圓盤和待測物體的總質(zhì)量;r、R分別為上下懸點(diǎn)離各自圓盤中心的距離;H為平衡時(shí)上下盤間的垂直距離;T為下圓盤作簡諧運(yùn)動(dòng)的周期,g為重力加速度。

扭擺的垂直軸上裝有一根薄片狀的螺旋彈簧,用以產(chǎn)生恢復(fù)力矩。在軸上方有螺旋接口,可以安裝各種待測物體。垂直軸與支座之間裝有軸承,使摩擦力矩盡可能小?？赏ㄟ^調(diào)節(jié)底腳螺絲釘使垂直軸與水平面垂直,一般儀器上裝有水準(zhǔn)儀,用來檢測系統(tǒng)是否達(dá)到水平狀態(tài)。將物體在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)過一定角度后,在彈簧的恢復(fù)力矩作用下,物體就開始繞垂直軸作往返扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。則物體繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(2)

式中:K為彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù);T為簡諧運(yùn)動(dòng)的周期。

從公式推導(dǎo)過程可知,在兩種測量方法中,待測物體均作擺動(dòng)而非轉(zhuǎn)動(dòng),都使用了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律。在忽略摩擦力矩前提下,都是看成簡諧振動(dòng),故均需使用運(yùn)動(dòng)方程。不同點(diǎn)在于三線擺的擺角較小,一般不超過5°,這樣才能在推導(dǎo)過程中采用近似和忽略的方法。

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容之比較

三線擺中的下圓盤與扭擺中的載物盤有著相同的作用,可用來承載待測物體。相對于待測物體,他們的質(zhì)量不可忽略,且尺寸較大,故其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不能忽略的,在計(jì)算時(shí)要將其減去。三線擺的下圓盤上不能固定待測物體,僅靠其自重產(chǎn)生的摩擦力保證擺動(dòng)過程中的穩(wěn)定,故能測量的物體種類較少,擴(kuò)展性較差。扭擺的轉(zhuǎn)軸上方有螺旋接口,可以安裝多種幾何形狀的待測物體,如實(shí)驗(yàn)中常常還會(huì)測量金屬細(xì)桿和木球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,因其自帶螺旋接口,就不再需要金屬載物盤來承載。實(shí)際上,相對于待測物體而言,螺旋接口的質(zhì)量和幾何尺寸均較小,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是可以忽略的。所以,對于這兩種形狀的待測物體,僅需測量擺動(dòng)周期,應(yīng)用公式(2)即可得出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值,測量過程更加快捷。從這里也可看出,扭擺彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)也可通過測量金屬細(xì)桿得到,該方法更為簡便,只需測量細(xì)桿的擺動(dòng)周期,連同其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值一起帶入公式(2)即可。不過,在測量細(xì)桿質(zhì)量時(shí),一定要將接口支架取下,否則視為其質(zhì)量均勻分布到細(xì)桿上,造成測量結(jié)果嚴(yán)重偏大。在扭擺實(shí)驗(yàn)的待測物體中,設(shè)置了質(zhì)量相同的一個(gè)塑料圓柱和一個(gè)金屬圓筒,圓柱的直徑與圓筒外徑相等,高度也相等。這樣可以很清楚地說明,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布的關(guān)系。顯然,在質(zhì)量相同的情況下,質(zhì)量分布更遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸的圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要比圓柱的大。

3 驗(yàn)證平行軸定理之比較

若質(zhì)量為m的物體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC,當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離x時(shí),則物體對新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=IC+mx2,這就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。

兩種測量方法均采用對稱放置兩個(gè)小圓柱,因?yàn)閮闪卮笮∠嗟?方向相反,相互抵消,減小測量誤差,保證儀器擺動(dòng)的穩(wěn)定性,減少磨損,延長使用壽命。實(shí)際上,兩種測量方法放置小圓柱的方向是不同的,三線擺中小圓柱是豎向放置,而扭擺中是橫向放置的,這也可以從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值公式中可以看出區(qū)別,但對驗(yàn)證平行軸定理而言,放置方式并無本質(zhì)區(qū)別。

4 實(shí)驗(yàn)操作之比較

兩種測量方法在實(shí)驗(yàn)操作上有很多相同或相似點(diǎn)。(1)在儀器調(diào)節(jié)方面,首先要做到使轉(zhuǎn)軸位于豎直狀態(tài)。三線擺通過調(diào)節(jié)懸線擺長,一般另配有水準(zhǔn)儀,可放置于下圓盤中心。而扭擺自帶水準(zhǔn)儀,通過調(diào)節(jié)底腳螺釘,來檢測是否達(dá)到水平狀態(tài)。(2)在周期測量方面,扭擺裝置配備了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測試儀,包括光電探頭和主機(jī),光電探頭采用紅外發(fā)射管和紅外線接收管,用光電探頭來檢測擋光桿是否擋光,根據(jù)擋光次數(shù)自動(dòng)判斷是否已達(dá)到所設(shè)定的周期數(shù)。傳統(tǒng)的三線擺計(jì)時(shí)方法也同單擺類似,采用秒表由人工數(shù)數(shù)計(jì)時(shí)。隨著設(shè)備的升級(jí),一般也另配備了光電計(jì)時(shí)器,通過記錄某一根懸線的擋光情況,即可測出擺動(dòng)周期,實(shí)現(xiàn)了和扭擺相同的自動(dòng)計(jì)時(shí)。(3)質(zhì)量稱量方面,都采用了數(shù)字式電子臺(tái)秤,將待測物體放在秤盤上即可從顯示窗直接讀出該物體的質(zhì)量。(4)在尺寸測量方面,都使用了游標(biāo)卡尺測量圓環(huán)、圓柱體的直徑、高度等數(shù)據(jù),對于較長的金屬細(xì)桿選用卷尺進(jìn)行測量。

兩種測量方法在實(shí)驗(yàn)操作上存在一些不同。為保證三線擺做簡諧振動(dòng),其扭轉(zhuǎn)角度必須小于5°,操作時(shí)為減小下圓盤的晃動(dòng),一般輕輕小角度轉(zhuǎn)動(dòng)上圓盤,從而帶動(dòng)下圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)。而扭擺的金屬載物盤與轉(zhuǎn)軸是連在一起的,不存在穩(wěn)定性的問題。但由于彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K值不是固定常數(shù),它與擺動(dòng)角度略有關(guān)系,擺角在40°～90°間基本相同,實(shí)驗(yàn)時(shí)為了降低擺角變化過大帶來的系統(tǒng)誤差,在測定各種物體的擺動(dòng)周期時(shí),擺角不宜過小、變化過大,且整個(gè)實(shí)驗(yàn)中擺角基本保持在這一范圍內(nèi)。在擺放待測物體時(shí),三線擺的下圓盤上有同心圓線和交叉線,使得待測物體與下圓盤中心重合;而在驗(yàn)證平行軸定理時(shí),對稱放置的兩個(gè)小圓柱也是以此線為參照。而扭擺的金屬載物盤內(nèi)徑和待測的圓柱、圓筒外徑一致,并可用擋光桿固定。換測細(xì)桿和驗(yàn)證平行軸定理時(shí),可根據(jù)細(xì)桿上的凹槽確定支架和小圓柱的位置。

5 數(shù)據(jù)處理之比較

由于待測物體一般都選用幾何形狀規(guī)則的物體,故兩種測量方法都可將質(zhì)量和尺寸等數(shù)據(jù)代入計(jì)算公式,求出這些物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值,從而將實(shí)驗(yàn)值與之進(jìn)行比較,進(jìn)行百分差(即相對誤差)的計(jì)算,以此對測量作出評價(jià),一般都不要求計(jì)算不確定度。以下選取同一個(gè)塑料圓柱,分別在兩種儀器上進(jìn)行測量。扭擺法測量數(shù)據(jù)見表1。

表1 扭擺法測量數(shù)據(jù)表

(1.2532-0.744 32)=8.91×10-4kg·m2。

三線擺法測量數(shù)據(jù)見表2。

表2 三線擺法測量數(shù)據(jù)表

根據(jù)測量結(jié)果,計(jì)算圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的過程如下:

由于求解扭轉(zhuǎn)常數(shù)K的過程使用了圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值,這是傳統(tǒng)扭擺法通常采用的倒推法求扭轉(zhuǎn)常數(shù)K的方法,所以實(shí)驗(yàn)值必然與理論值相等。不過,也可以理解為圓柱是用來求K值的標(biāo)準(zhǔn)件,而其他物體為實(shí)驗(yàn)待測物體。實(shí)際上,實(shí)驗(yàn)過程中的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K并不是恒定值,在此不再贅述。針對倒推法的弊端,王維光[10]提出了改用“定義法”直接測量K值,從而將“幾何法”與“扭擺法”隔離,并重新設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,使實(shí)驗(yàn)條理更加清晰。以上通過這兩種方法的測量數(shù)據(jù)比較,并不能得出哪種方法更準(zhǔn)確的判斷,僅僅想由此展示求解過程的不同。

6 結(jié) 論

剛體是大學(xué)物理課程中的重要模型,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是反映其運(yùn)動(dòng)的重要物理量。本文通過從實(shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)操作和數(shù)據(jù)處理等多個(gè)方面,全面比較了三線擺和扭擺兩種測量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。這樣的教學(xué)比較有利于幫助學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中找出差異、總結(jié)共性,加深對轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量的理解,同時(shí)也對授課教師深度備課,開展教學(xué)研究,起到積極的借鑒作用。這樣的教學(xué)比較研究也可以推廣到其他實(shí)驗(yàn)中,如靜態(tài)法、動(dòng)態(tài)法測量物體的楊氏模量,惠斯通電橋測中值電阻和雙臂電橋測低電阻等。教學(xué)比較研究也可推廣到其他課程的教研實(shí)踐中,尤其是理工科院校,可根據(jù)實(shí)際情況,多開展此類教學(xué)研究活動(dòng)。