高中數(shù)學(xué)學(xué)思融通背景下的問(wèn)題導(dǎo)學(xué)應(yīng)用思考

摘 要：新課程改革提出要求，要進(jìn)一步提高教師的專業(yè)素養(yǎng)和業(yè)務(wù)能力，踐行學(xué)思融通，應(yīng)用問(wèn)題導(dǎo)學(xué)。應(yīng)用問(wèn)題導(dǎo)學(xué)的學(xué)思融通課堂有助于師生形成課堂生態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，整合學(xué)科資源，變革學(xué)習(xí)方式，呈現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課堂的全新面貌。文章研究了學(xué)思融通理論的優(yōu)勢(shì)以及問(wèn)題導(dǎo)學(xué)在高中數(shù)學(xué)學(xué)思融通課堂中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；學(xué)思融通；問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

作者簡(jiǎn)介：張敏（1985—），男，江蘇省建湖縣第二中學(xué)。

如果將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比喻成一棵小樹苗，那么促進(jìn)小樹苗成長(zhǎng)的沃土就應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)課堂。怎樣的課堂教學(xué)才能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造學(xué)思融通的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“活”起來(lái)?？鬃釉唬骸皩W(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。”落實(shí)學(xué)思融通的教學(xué)理念，就是要讓學(xué)生邊學(xué)習(xí)邊思考，以達(dá)到融會(huì)貫通的深度教學(xué)目的。這也是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生的內(nèi)在需求，促使學(xué)生不斷學(xué)習(xí)的一種方法。

在教學(xué)實(shí)踐中，部分學(xué)生會(huì)在學(xué)習(xí)時(shí)迷失方向，分不清主要和次要，遺漏重點(diǎn)和難點(diǎn)。針對(duì)此情況，數(shù)學(xué)教師要基于學(xué)思融通理論，通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生融會(huì)貫通，給學(xué)生的深度學(xué)習(xí)指明方向，讓學(xué)生積極、快樂(lè)地開展自主學(xué)習(xí)與探究［1］。

一、興趣式導(dǎo)學(xué)，提升學(xué)生的主觀能動(dòng)性

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)力的內(nèi)在源泉。興趣式導(dǎo)學(xué)在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，可以打破以往傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的沉悶氛圍，讓課堂變得活躍、高效，還能夠讓學(xué)生在學(xué)中思、思中學(xué)，做到學(xué)思融通。

（一）在具體的情境中探究特殊化的問(wèn)題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)方法緊密相關(guān)，如果學(xué)生有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，就會(huì)積極地想出學(xué)習(xí)方法，而不會(huì)消極地等待。學(xué)習(xí)興趣有助于學(xué)生主觀能動(dòng)性的發(fā)揮，有助于學(xué)生形成正確的學(xué)習(xí)態(tài)度以及學(xué)習(xí)習(xí)慣。因此，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有助于學(xué)生學(xué)習(xí)水平的全面提升。

例如，高中數(shù)學(xué)“等差數(shù)列”這一節(jié)要求學(xué)生明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)。學(xué)生在小學(xué)五年級(jí)時(shí)就接觸過(guò)“等差”這一概念，因此能夠快速地了解等差數(shù)列的定義，但部分學(xué)生不太清楚如何推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式。為了帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，筆者提出了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“大家都知道著名的數(shù)學(xué)家高斯吧？有一天，他的老師出了這樣一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+4+5+6+7+8+10+…+100=？全班同學(xué)中，高斯最先算出正確答案，等于5050。請(qǐng)問(wèn)他是怎么計(jì)算出來(lái)的？”筆者在學(xué)生思考后進(jìn)行解釋，指出高斯是利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出來(lái)的：1+100=101，2+99=101，3+98=101，4+97=101，5+96=101……本數(shù)列的求和公式是首項(xiàng)加末項(xiàng)，乘以項(xiàng)數(shù)再除以2。在高斯的求解思路中，已經(jīng)體現(xiàn)了“首項(xiàng)加末項(xiàng)”這一關(guān)鍵點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生對(duì)這個(gè)情境中的特殊化的問(wèn)題感到好奇時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

（二）在具體的情境中探究一般化的問(wèn)題

興趣需要培養(yǎng)，且需要長(zhǎng)期的過(guò)程。很少有學(xué)生從一開始就對(duì)某一門學(xué)科具有強(qiáng)烈的興趣。只有在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生的好奇心、探究欲才會(huì)被激活，學(xué)習(xí)興趣才能被逐漸地培養(yǎng)起來(lái)。學(xué)生只有學(xué)會(huì)觀察問(wèn)題、活用公式之后，才能將特殊化的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般化的問(wèn)題［2］。

例：已知an=（）n，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排列成如圖1所示的三角形，記A（m，n）表示第m行的第n個(gè)數(shù)，那么請(qǐng)問(wèn)A（10，11）為多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分布是有規(guī)律的，第一行中，這個(gè)數(shù)列只有a1這一個(gè)數(shù)；第二行中，最后一個(gè)數(shù)為a4；第三行中，最后一個(gè)數(shù)為a9……依此類推，可以看出該三角形的每一行的最后一個(gè)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為行數(shù)的平方，那么可推出第10行的最后一個(gè)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為102=100，即a100。于是可以視第10行為一個(gè)數(shù)列，它有2n-1個(gè)項(xiàng)，即它有19個(gè)項(xiàng)。得到第10行第一個(gè)項(xiàng)為100-19+1=82，所以第11項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為82+11-1=92，由數(shù)列通項(xiàng)公式an=（）n計(jì)算A（10，11）的數(shù)值，可得A（10，11）=a92=（）92。

二、提問(wèn)式導(dǎo)學(xué)，促使學(xué)生自主思考問(wèn)題

提問(wèn)式導(dǎo)學(xué)是指當(dāng)學(xué)生遇到較難的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)或較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師按照原題干對(duì)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)化，給出一系列的小問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，讓學(xué)生在學(xué)中思，在思中學(xué)。

（一）引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)課堂上，教師既不宜直接拋出數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，也不宜直接給出問(wèn)題的答案，而是要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，通過(guò)問(wèn)題串讓學(xué)生自主思考問(wèn)題，在知識(shí)生成和問(wèn)題解決的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力。學(xué)生面對(duì)的問(wèn)題是課堂導(dǎo)學(xué)的方向，學(xué)生解答問(wèn)題時(shí)的表現(xiàn)可以當(dāng)作學(xué)生學(xué)習(xí)情況的一種反饋。

例如，在高中數(shù)學(xué)“幾何概型”這一節(jié)的教學(xué)中，筆者在課堂上給出了一個(gè)典型的數(shù)學(xué)題目：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色、金色，靶心為金色，金色的靶心叫“黃心”。奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122厘米，靶心直徑為12.2厘米，運(yùn)動(dòng)員在70米外射箭。假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中“黃心”的概率有多大？

筆者創(chuàng)設(shè)情境并設(shè)計(jì)問(wèn)題串：（1）試驗(yàn)中的基本事件是什么？（2）每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的嗎？（3）符合古典概型的特點(diǎn)嗎？（4）符合幾何概型的特點(diǎn)嗎？（5）如何求解幾何概型的概率？經(jīng)過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這道題目并不是之前所學(xué)習(xí)的古典概型，而是今天學(xué)習(xí)的新的幾何概型。一般地，在幾何區(qū)域D中隨意地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（d的測(cè)度）/（D的測(cè)度）。很快，學(xué)生就算出了正中靶心的概率。

（二）引導(dǎo)學(xué)生深化數(shù)學(xué)概念

教師將具體情境中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考抽象的概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生跟著教師的思路不斷地思考?！霸趯W(xué)習(xí)中思考，在思考中學(xué)習(xí)”的模式，符合學(xué)思融通的基本內(nèi)涵。

例：點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為多少？

學(xué)生通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，設(shè)事件M為“劣弧的長(zhǎng)度小于1”，則滿足事件M的點(diǎn)B在定點(diǎn)A的兩側(cè)，與定點(diǎn)A構(gòu)成的弧長(zhǎng)小于1。弧上隨機(jī)取一點(diǎn)，那么依事件發(fā)生的概率，由幾何概型的概率公式得：P（M）＝。

三、互動(dòng)式導(dǎo)學(xué)，促使學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)

互動(dòng)式導(dǎo)學(xué)要求教師借助問(wèn)題開展師生互動(dòng)，讓學(xué)生的思維活躍起來(lái)，同時(shí)開展生生互動(dòng)，讓學(xué)生和學(xué)生之間碰撞出思維的火花。如此，讓學(xué)生在學(xué)中思，在思中學(xué)。

（一）應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題

教師在課堂上拋出具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生回答時(shí)，要認(rèn)真傾聽、仔細(xì)分析學(xué)生的回答。首先，分析學(xué)生的回答是否正確，了解學(xué)生的基本水平，必要時(shí)再追加問(wèn)題；其次，分析學(xué)生的回答是否完整，了解學(xué)生思維的嚴(yán)密度；最后，觀察學(xué)生答題的角度，了解學(xué)生思維的切入點(diǎn)。將課堂的焦點(diǎn)聚集在學(xué)生的回答上，教學(xué)互動(dòng)得以加強(qiáng)，凸顯了學(xué)生的主體地位。

例：已知3x2+2y2=6x，試求x2+y2的最大值。

解：由3x2+2y2=6x得y2=-x2+3x。因?yàn)閥2≥0，所以-x2+3x≥0，即0≤x≤2。又因?yàn)閤2+y2=x2- x2+3x=-（x-3）2+，所以當(dāng)x=2時(shí)，x2+y2有最大值，最大值為-（2-3）2+=4。

依照解題的需求，學(xué)生把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。經(jīng)筆者的提醒，學(xué)生聯(lián)想到y(tǒng)2≥0這一限制條件，從而又快又準(zhǔn)地求出了最大值。在互動(dòng)式導(dǎo)學(xué)中，學(xué)生通過(guò)互動(dòng)發(fā)現(xiàn)了隱藏條件，啟發(fā)了解題的思路。

（二）采用多種策略解決問(wèn)題

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，要根據(jù)實(shí)際情況選擇解題策略。有時(shí)候題目缺少某個(gè)解題條件，但是通過(guò)類比、推理，我們能找出其他的解題條件。類似的，取特殊值、逆向思考等方法，可以幫助學(xué)生靈活地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用多種策略，提高學(xué)生思維的變通性［3］。

例：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），滿足f（2+x）=f（2-x），試比較f（0.5）與f（π）的大小。

這一題看似解題所需的條件不完整，但是由已知條件f（2+x）=f（2-x）可知，與x=2等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又可根據(jù)f（2+x）=f（2-x）推知它的開口向上，所以能判斷該函數(shù)的大致圖象。解：由f（2+x）=f（2-x）可知f（x）是以直線x=2為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線，那么，與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。因?yàn)閨2-0.5|>|2-π|，所以f（0.5）>f（π）。

四、生活式導(dǎo)學(xué)，促使學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)

要提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，教師可以借助生活化的素材，在課堂上向?qū)W生提問(wèn)，讓學(xué)生在學(xué)中思，在思中學(xué)。這樣的導(dǎo)學(xué)方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。STEM（科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)教育）項(xiàng)目學(xué)習(xí)重視實(shí)踐活動(dòng)，重視學(xué)生的感受和體驗(yàn)，要求學(xué)生具備跨學(xué)科學(xué)習(xí)的意識(shí)，從生活實(shí)際需求出發(fā)，理解創(chuàng)新的價(jià)值和意義。從生活實(shí)際的角度出發(fā)進(jìn)行導(dǎo)學(xué)，有利于學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通。

（一）從生活的角度去分析跨學(xué)科知識(shí)

數(shù)學(xué)教師要開展跨學(xué)科教育，將科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)教育進(jìn)行融合，要求學(xué)生突破不同學(xué)科之間的隔閡，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的綜合能力。

例如，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析以下的公式：st=v0t+× at2==t，vt=x0+at。讓學(xué)生了解函數(shù)各變量的物理意義：a為加速度，v0為初速度，vt為t秒時(shí)的速度，st為t秒時(shí)的位移，等等。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，物理中的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式本質(zhì)上是函數(shù)，物理學(xué)家通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，分析函數(shù)中各變量對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，從而發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，解決物理問(wèn)題。教師還可進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)具有創(chuàng)新性的問(wèn)題，讓學(xué)生從生活的角度去分析跨學(xué)科的知識(shí)。

（二）解決生活中的STEM問(wèn)題

教師可根據(jù)學(xué)生學(xué)情設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生解決生活中的STEM問(wèn)題。在數(shù)學(xué)知識(shí)的引導(dǎo)下，學(xué)生將在解決問(wèn)題的過(guò)程中構(gòu)建跨學(xué)科的“知識(shí)地圖”。盡管學(xué)生所取得的創(chuàng)新成果可能比較微小，但其所帶來(lái)的成就感，將極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。在新時(shí)代背景下，通過(guò)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，并最大限度地發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，已成為推動(dòng)知識(shí)創(chuàng)新的重要途徑。讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，是生活式導(dǎo)學(xué)的目標(biāo)之一。教師應(yīng)基于生活化的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)新，積極開展跨學(xué)科教育，以滿足社會(huì)發(fā)展對(duì)人才的需求。

結(jié)語(yǔ)

教師除了日常的備課、教學(xué)、批改作業(yè)，還要研究教材內(nèi)容和習(xí)題之間的關(guān)系，做好導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)工作，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)和綜合能力的提升。問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的常用方法，能促進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)學(xué)思融通。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師使用興趣式導(dǎo)學(xué)法、提問(wèn)式導(dǎo)學(xué)法、互動(dòng)式導(dǎo)學(xué)法、生活式導(dǎo)學(xué)法，均可取得不錯(cuò)的教學(xué)效果。

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