核心素養(yǎng)角度解讀2023年數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué),廣東 肇慶 526000)

2023年新高考卷,考生普遍反映比去年簡(jiǎn)單,和往年高考Ⅰ卷相比,更加充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用,突出素養(yǎng)和能力考查,重視思維品質(zhì),體現(xiàn)思維過程,關(guān)注思維能力.今年試題重視基礎(chǔ)性,注重綜合性,強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性和突出創(chuàng)新性,加大了對(duì)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查力度.本文對(duì)2023年高考卷的試題進(jìn)行剖析,從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面進(jìn)行解讀.

1 數(shù)學(xué)抽象

2023年高考題,在數(shù)學(xué)抽象問題方面,設(shè)置合理的思維強(qiáng)度和抽象程度,注重打破函數(shù)和幾何聯(lián)系,把一些背景性的問題抽象成我們熟悉的數(shù)學(xué)問題,進(jìn)而進(jìn)行求解.

例1 (2023年新課標(biāo)Ⅰ卷多選題第11題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( ).

A.f(0)=0 B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù) D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

解析因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+x2f(y),

對(duì)于A,令x=y=0,得f(0)=0×f(0)+0×f(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=1,得f(1)=1×f(1)+1×f(1),則f(1)=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),則f(-1)=0,

令y=-1,得f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x).

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)為偶函數(shù),故C正確,

對(duì)于D,不妨令f(x)=0,顯然符合題設(shè)條件,此時(shí)f(x)無極值,故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

解析記AB=c,AC=b,BC=a,

由余弦定理,得

22+b2-2×2×b×cos60°=6.

由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得

故答案為2.

2 邏輯推理

2023年高考題在邏輯推理考查上突出對(duì)問題的總結(jié)與分析,注重打破函數(shù)和幾何聯(lián)系,要求考生根據(jù)題意推理討論,考查考生思維的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性.

A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值,則函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),而a≠0,因此方程ax2-bx-2c=0有兩個(gè)不等的正根x1,x2.

即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然a2bc<0,即bc<0,A錯(cuò)誤,BCD正確.

評(píng)注本題考查本質(zhì)是根據(jù)一元二次方程根的性質(zhì)判定方程系數(shù)之間的關(guān)系,由于函數(shù)既有極大值又有極小值,所以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩個(gè)正根問題,所以求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x),由已知可得f′(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

則Sn=nan+1-t·n(n+1).

有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1),n≥2.

兩式相減,得an=nan+1-(n-1)an-2tn.

即an+1-an=2t,對(duì)n=1也成立.

因此{(lán)an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件,C正確.

評(píng)注本題以等差數(shù)列為材料考查充要條件的推證,要求考生判別充分性和必要性,然后分別進(jìn)行證明,解決問題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的概念和特點(diǎn)進(jìn)行推理論證.利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義,再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.

3 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模作為核心素養(yǎng)的關(guān)鍵部分,在處理實(shí)際問題時(shí)往往可以做到事半功倍.如果能把問題進(jìn)行模型化,數(shù)據(jù)就可以可視化,圖形就可以立體化[1].

解析因?yàn)閍+b+c=0,所以a+b=-c.

即a2+b2+2a·b=c2.

即1+1+2a·b=2.

所以a·b=0.

圖1 例5解析圖

cos〈a-c,b-c〉=cos∠ACB=cos2∠ACD

=2cos2∠ACD-1

故選D.

故選C.

圖2 例6解析圖

4 數(shù)學(xué)運(yùn)算

2023年的試題要求考生理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,求得運(yùn)算結(jié)果.數(shù)學(xué)運(yùn)算需要學(xué)生充分理解題目,把握題目考查的內(nèi)容.需要學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深入思考的習(xí)慣,發(fā)展思維的全面性與深刻性[2].

例7(2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第17題)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA;

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

解析(1)因?yàn)锳+B=3C,

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

則2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC.

所以sinAcosC=3cosAsinC.

所以sinA=3cosA.

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

評(píng)注本題涉及正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、解三角形等數(shù)學(xué)內(nèi)容,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

(1)根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式,化簡(jiǎn)即可得解;

(2)利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b,根據(jù)等面積法求解即可.

A.p=2

C.以MN為直徑的圓與l相切

D.△OMN為等腰三角形

B選項(xiàng):設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0.

C選項(xiàng):如圖3,設(shè)MN的中點(diǎn)為A,M,N,點(diǎn)A到直線l的距離分別為d1,d2,d,

D選項(xiàng):由上述分析可知

所以△OMN不是等腰三角形,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選AC.

圖3 例8解析圖

評(píng)注本題設(shè)置直線與拋物線相交的情境,通過直線方程與拋物線方程的聯(lián)立考查計(jì)算能力.先求得焦點(diǎn)坐標(biāo),從而求得p,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得|MN|,根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.

5 直觀想象

直觀想象是指通過直觀幾何和想象空間形式,利用幾何圖形分析解決問題,也就是通過把題目想象成一個(gè)實(shí)物,以幾何體為依托,發(fā)現(xiàn)空間線面關(guān)系.

例9(2023年新課標(biāo)Ⅱ卷多選題第9題)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( ).

A.該圓錐的體積為π

解析依題意,∠APB=120°,PA=2,

故選AC.

圖4 例9解析圖

評(píng)注本題以多選題的形式考查圓錐的內(nèi)容,根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A,B選項(xiàng)的正確性,利用二面角的知識(shí)判斷C,D選項(xiàng)的正確性.4個(gè)選項(xiàng)設(shè)問逐次遞進(jìn),前面選項(xiàng)為后面選項(xiàng)提供條件,各選項(xiàng)分別考查圓錐的不同性質(zhì),互相聯(lián)系,重點(diǎn)突出.

例10(2023年全國(guó)甲卷理科第15題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為CD,A1B1的中點(diǎn),則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為____.

解析不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,EF中點(diǎn)為O,取AB,BB1中點(diǎn)G,M,側(cè)面BB1C1C的中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖5.

圖5 例10解析圖

同理,根據(jù)正方體的對(duì)稱性知,其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn),

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

6 數(shù)據(jù)分析

2023年的數(shù)據(jù)分析題在命制情境化試題過程中,在剪裁素材方面,注意控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度,使情境化試題能夠引導(dǎo)考生樹立理想信念,熱愛科學(xué),達(dá)到試題要求層次與考生認(rèn)知水平的契合與貼切[3].

圖6 患病者與未患病者醫(yī)學(xué)指標(biāo)頻率分布直方圖

例11(2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第19題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如圖6的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖,利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

解析(1)依題可知,左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5×0.002>0.5%,所以95

所以(c-95)×0.002=0.5%,解得c=97.5.

所以q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)c∈[95,100]時(shí),

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;

當(dāng)c∈(100,105]時(shí),

f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.

所以f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.

評(píng)注本題要求合理平衡漏診率和誤診率,制定檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),試題情境既有現(xiàn)實(shí)意義,又體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值

(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出c,再根據(jù)第二個(gè)圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出f(c)的解析式,再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

總體來說,2023年的題目嚴(yán)格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn),深化基礎(chǔ)性和綜合性,聚焦學(xué)科核心素養(yǎng),精選試題情境,加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查,促進(jìn)學(xué)生提升科學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)全面發(fā)展,助推高中育人方式改革,繼續(xù)突出反套路、反機(jī)械刷題特點(diǎn),突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握,注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力,重視思維培養(yǎng),同時(shí),合理控制試題難度,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).