圍繞“平分” 解法溯源
——對一道含角平分線試題多視角解析

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校,四川 成都 610100)

題目已知圓O：x2+y2=1,定點M(3,0),過點M的直線l與圓O交于P,Q兩點,P,Q兩點均在x軸的上方,若OP平分∠MOQ,則直線l的方程為____.

試題內(nèi)涵豐富,從知識層面看涉及直線、圓、三角形內(nèi)容,主要考查利用平面圖形的幾何性質(zhì)解直線方程;從能力層面看主要考查學(xué)生運算素養(yǎng)、思考探究、邏輯推理等方面的能力,突出考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng);試題的思維過程和運算過程體現(xiàn)了能力立意的命題思想,較好地體現(xiàn)了對平面幾何中的解三角形、幾何圖形的性質(zhì)等核心內(nèi)容和基本思想方法的考查,亦較好地檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能.

1 解法探究

解法1(利用面積法)設(shè)∠MOP=θ,則∠MOQ=2θ.

由S△MOQ=S△MOP+S△POQ,則有

即3sin2θ=4sinθ.

評注由已知條件構(gòu)造面積相等,將其轉(zhuǎn)化建立為2θ與θ的三角函數(shù)關(guān)系,然后利用單位圓的定義,求出點P的坐標(biāo),再利用兩點式寫出直線方程.本法的思維核心是運用了角平分線平分角這一已知條件[1].

即MP=3PQ.

又因為MB·MA=MP·MQ,

評注本法利用三角形內(nèi)角平分線定理求線段MP,在△MOP中再利用余弦定理求角,從而求得點P的坐標(biāo),這一探究方法將直線與圓的割線定理及三角形的角平分線性質(zhì)結(jié)合得淋漓盡致.

解法3 (利用阿波羅尼斯圓)連接PB,易得PB=PQ.

即點P到兩定點M,B的比值為定值.

由阿波羅尼斯圓可得點P的軌跡方程為

解法4(利用圓的參數(shù)方程)設(shè)P(cosθ,sinθ),Q(cos2θ,sin2θ),由Q,P,M三點共線可得

即t1t2=8,t1+t2=-6cosθ.

解法6 (三角形內(nèi)角平分線的公式)設(shè)在△ABC中,已知三邊a,b,c,如果三個角A,B和C的平分線分別是ta,tb和tc,那么,用已知邊表示三條內(nèi)角平分線的公式是:

=1

即在△OMQ中,

評注探究三角形角平分線長度與已知三角形三邊長度的關(guān)系對學(xué)生的思維要求較高,基本理念是利用角平分線性質(zhì)和余弦定理建立邊的關(guān)系,其中cos∠MPO+cos∠OPQ=0是研究這類問題的核心步驟.

設(shè)∠MOP=θ,則∠MOQ=2θ.

利用定比分點公式

兩邊平方,得

評注定比分點公式的本質(zhì)為共線向量基本定理,但它體現(xiàn)了三個不共線向量之間的一種數(shù)量關(guān)系,利用這一關(guān)系可將三條線段的長度聯(lián)系起來,這也正是結(jié)合本題已知條件運用本法的關(guān)鍵所在.

斯特瓦爾特定理設(shè)P為△ABC的邊BC上任一點(P≠B,P≠C),則有

AB2·PC+AC2·BP

=AP2·BC+BP·PC·BC,

①

證明不失一般性,不妨設(shè)∠APC<90°,則由余弦定理,有

AC2=AP2+PC2-2AP·PC·cos∠APC,

AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos(∠APB)

=AP2+BP2+2AP·BP·cos∠APC．

對上述兩式分別乘以BP,PC后相加整理,得①式或②式．

推論設(shè)AP為△ABC的內(nèi)角平分線,則AP2=AB·AC-BP·PC．

解法8 (斯特瓦爾特(Stewart)定理)

由推論,得

OP2=OQ·OM-QP·PM.

評注解法8巧妙借用了斯特瓦爾特(Stewart)定理,不僅步驟簡單,計算量也小,極大提高了解題效率,也希望同學(xué)們在平時解題中多積累相關(guān)的二級結(jié)論并加以運用.當(dāng)然涉及斯特瓦爾特(Stewart)定理的試題屢見不鮮,限于篇幅,就不一一贅述,希望讀者自行查找相關(guān)試題資料.

以上幾種解法從不同視角進(jìn)行探究,充分地體現(xiàn)了試題的開放性,給考生提供了較大的發(fā)揮空間. 通過以上解題過程啟發(fā)我們多角度思考問題,深入挖掘問題本質(zhì),進(jìn)一步尋求簡便的解題方法,并及時歸納總結(jié)規(guī)律和結(jié)論,從而提高解題效率. 從以上方法可見,尤其是解法3,6,7,8這些看似高大上的結(jié)論或所謂的“技巧”并不是無源之水、無本之木,一切盡在教材(參)中!