多解多變 精彩呈現(xiàn)
——以2023年高考全國(guó)乙卷文科第11題為例

李 寒

(貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué),貴州 貴陽(yáng) 550081)

2023年高考乙卷文科的第11題設(shè)問表達(dá)清晰、簡(jiǎn)潔,情境熟絡(luò),給人以“似曾相識(shí)”的親和感,是一道能夠很好地體現(xiàn)“基礎(chǔ)性”和“全面性”考查要求的高考試題[1].

1 試題再現(xiàn)

題目已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是( ).

2 一題多解

分析1設(shè)x-y=μ,與已知條件中的二元二次方程聯(lián)立,消去x,運(yùn)用判別式法解答.

解法1設(shè)x-y=μ,則x=y+μ.

2y2+(2μ-6)y+μ2-4μ-4=0.

因?yàn)閥∈R,則判別式△=(2μ-6)2-4×2(μ2-4μ-4)≥0.

化簡(jiǎn),得μ2-2μ-17≤0.

故選C.

點(diǎn)評(píng)解法1運(yùn)用“判別式法”解答,是這類問題“通性通法”之一.

分析2將已知條件中的二元二次方程配方為(x-2)2+(y-1)2=9,運(yùn)用三角換元法求解.

解法2將x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

所以x-y=3cosα+2-3sinα-1

=3(cosα-sinα)+1

因?yàn)棣痢蔥0,2π],

故選C.

點(diǎn)評(píng)解法2運(yùn)用三角換元,把代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為三角問題,應(yīng)用三角恒等變換和三角函數(shù)的有界性解答,也是解這類問題的一種常用解答方法之一.

分析3將已知條件中的二元二次方程配方、整理為(x-2)2+(y-1)2=9,設(shè)x-y=μ,利用圓心到直線的距離小于等于半徑求解.

解法3由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

設(shè)x-y=μ,則圓心到直線x-y=μ的距離

故選C.

點(diǎn)評(píng)解法3運(yùn)用“幾何法”解答,簡(jiǎn)化了運(yùn)算求解過程,是最為常用的“通性通法”.

分析4將已知條件中的二元二次方程配方、整理為(x-2)2+(y-1)2=9,設(shè)x-y=μ,即y=x-μ,此時(shí)“-μ”是直線y=x+(-μ)在y軸上的截距.如圖1,平移直線y=x至與圓在右下方相切時(shí),直線y=x+(-μ)在y軸上的截距最小,μ最大,利用圓心到直線的距離等于半徑解答.

解法4由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

設(shè)x-y=μ,如圖1,平移直線y=x,當(dāng)平移至與圓相切時(shí),則圓心到直線x-y=μ的距離

故選C.

圖1 解法4示意圖

點(diǎn)評(píng)解法4通過平移直線,數(shù)形結(jié)合解答,快速簡(jiǎn)捷,可謂是一種“秒殺”該試題的一種解法!

分析5 將已知條件中的二元二次方程配方、整理為(x-2)2+(y-1)2=9,進(jìn)行雙變量換元,然后應(yīng)用重要不等式“x2+y2≥2xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取到等號(hào)”的變形“2(x2+y2)≥(x+y)2”進(jìn)行解答.

解法5由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

m2+n2=9,x-y=m-n+1.

因?yàn)?(m2+n2)≥(m+n)2,

所以(m-n)2=[m+(-n)]2

≤2[m2+(-n)2]

=2(m2+n2)=18.

當(dāng)且僅當(dāng)m=-n,即

點(diǎn)評(píng)解法5首先雙變量換元,然后運(yùn)用重要不等式的變形式解答,思維別致、頗具新意.

解法6由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

由二維柯西不等式,得

[(x-2)2+(1-y)2]·(12+12)≥[(x-2)·1+(1-y)·1]2=(x-y-1)2.

所以(x-y-1)2≤9×2=18.

點(diǎn)評(píng)解法6依據(jù)已知條件中方程左邊配方后為平方和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),配湊后應(yīng)用二維柯西不等式來解答,十分巧妙.

解法7由x2+y2-4x-2y-4=0,

配方、整理,得

(x-2)2+(y-1)2=9.

由二維權(quán)方和不等式,得

所以(x-y-1)2≤18.

點(diǎn)評(píng)解法7依據(jù)已知條件方程中左邊配方后為平方和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),在進(jìn)行配湊變換的基礎(chǔ)上,變換出二維權(quán)方和不等式左邊的形式,應(yīng)用二維權(quán)方和不等式解答.

3 一題多變

題設(shè)條件中的方程是圓的一般方程,而涉及與圓有關(guān)的最值問題主要有以下三類,常用方法是借助圖形性質(zhì),利用幾何法,數(shù)形結(jié)合求解.

(2)截距型.形如t=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.

(3)距離型.形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題.

以下從這三個(gè)方面,如果不改變已知條件中的方程,只改變結(jié)論中的目標(biāo)式,可有:

令P(x,y),A(-3,-2),點(diǎn)P在圓(x-2)2+(y-1)2=9上運(yùn)動(dòng).

設(shè)過點(diǎn)A的直線l的方程為y+2=kAP(x+3).

即kAPx-y+3kAP-2=0.

則圓心(2,1)到直線l的距離

去分母兩邊平方,得

變式2已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則3x+4y的最大值為____.

解析將已知條件中的方程配方、整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2)2+(y-1)2=9.

故3x+4y的最大值為25.

變式3已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則(x+2)2+(y-5)2的最大值為____.

解析將已知條件中的方程配方、整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2)2+(y-1)2=9,則(x+2)2+(y-5)2表示圓上一點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(-2,5)距離的平方.

由平面幾何知識(shí)可知:在定點(diǎn)與圓心連線所在的直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.

二元條件最值問題種類眾多、情形復(fù)雜.如果既改變高考題已知條件中的方程,又改變結(jié)論中的目標(biāo)式,可有:

變式4已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x2-2xy+y2=1,則x+2y的取值范圍是( ).

A.[-5,5] B.(-5,5)

解析由2x2-2xy+y2=1,得

所以由柯西不等式,得

故選C.

變式5已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy(x+2y)=16,則x+y的最小值為____.

解析令x+y=t,則由xy(x+2y)=16,得

(t-y)y(t+y)=16.

所以由三元均值不等式,得

所以f(y)的最小值為f(2)=12.

即t2的最小值為12.

變式6已知實(shí)數(shù)x,y滿足2y2-x2=4,則|x-2y|的最小值為____.

設(shè)與直線x-2y=0平行的直線x-2y+t=0與雙曲線2y2-x2=4相切,則|x-2y|的最小值即為兩平行線x-2y=0與x-2y+t=0的距離.

聯(lián)立x-2y+t=0與2y2-x2=4,得

2y2-4ty+t2+4=0.

由△=16t2-8(t2+4)=0,得t2=4.

所以|t|=2.

故|x-2y|的最小值為2.

在解題中,若對(duì)典型試題就題論題、淺嘗輒止,則是死水一潭.而重視問題的一題多解、一題多變,則能激活思維、提振士氣.唯有如此,才能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì),提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把對(duì)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處[3].