相交弦中點(diǎn)所在直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題探究

馬宏酉 魏東升

(福建省廈門(mén)雙十中學(xué)漳州校區(qū),福建 廈門(mén) 363107)

魏東升(1985.4-),男,江西省瑞金人,本科,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

本文用三種方法剖析了一道橢圓中兩條相交弦中點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題,一是求出中點(diǎn)坐標(biāo),利用這兩點(diǎn)建立直線(xiàn)方程,從而求出定點(diǎn);二是設(shè)中點(diǎn)所在的直線(xiàn)方程,將兩個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)代入,相減之后得出參數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而求出定點(diǎn);三是不用聯(lián)立,直接斜率坐標(biāo)化,從而求出定點(diǎn).

1 兩相交弦的交點(diǎn)在坐標(biāo)軸上

例1已知圓A:(x+1)2+y2=16,B(1,0),M為圓A上任意一點(diǎn),線(xiàn)段BM的垂直平分線(xiàn)交AM于點(diǎn)N,點(diǎn)N的軌跡為W.

(1)求軌跡W的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)B(1,0)的直線(xiàn)l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1+k2=-1,l1交W于點(diǎn)C,D,l2交W于點(diǎn)E,F,線(xiàn)段CD與EF的中點(diǎn)分別是點(diǎn)G,H,判斷直線(xiàn)GH是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn),若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由.

(2)方法1 (直接法)由題意設(shè)直線(xiàn)l1,l2的方程分別是y=k1(x-1),y=k2(x-1).

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),

所以直線(xiàn)GH的方程為

方法2 (作差法)由題意設(shè)直線(xiàn)l1,l2的方程分別是y=k1(x-1),y=k2(x-1).

設(shè)GH所在直線(xiàn)方程為y=kx+b,則

①

②

由①-②,得-3(k1-k2)=4k(k1+k2)·(k1-k2)+4b(k1+k2)·(k1-k2).

由于k1≠k2,所以-3=4k(k1+k2)+4b(k1+k2).

③

④

即3x1-3x1·x2+4y1·y2=-4x2y1+4y1.⑤

3x2-3x1·x2+4y1·y2=-4x1y2+4y2.⑥

所以GH所在直線(xiàn)方程為

2 兩相交弦的交點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上

變式1 已知圓A:(x+1)2+y2=16,M為圓A上任意一點(diǎn),線(xiàn)段BM的垂直平分線(xiàn)交AM于點(diǎn)N,點(diǎn)N的軌跡為W.

(1)求軌跡W的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)B(1,1)的直線(xiàn)l1,l2的斜率分別為k1,k2,k1+k2=-1,l1交W于點(diǎn)C,D,l2交W于點(diǎn)E,F,線(xiàn)段CD與EF的中點(diǎn)分別是G,H,判斷直線(xiàn)GH是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn),若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由.

解法1 (作差法)由題意設(shè)直線(xiàn)l1,l2的方程分別是y=k1(x-1)+1,y=k2(x-1)+1.

設(shè)GH所在直線(xiàn)方程為y=kx+b,則

由⑦-⑧,得-3(k1-k2)=k[4(k1+k2)·(k1-k2)-4(k1-k2)]+4b(k1+k2)·(k1-k2).

又因?yàn)閗1≠k2,所以

-3=4k(k1+k2)-4k+4b(k1+k2).

因?yàn)閗1+k2=-1,所以4b=3-8k.

⑨

⑩

即4y1y2-8y2-3x1x2+3x2=-4x1y2.

同理 4y1y2-8y1-3x1x2+3x1=-4x2y1.

-8(y2-y1)+3(x2-x1)=-4(x1y2-x2y1).

所以GH所在直線(xiàn)方程為

3 兩相交弦的交點(diǎn)坐標(biāo)一般化

解法1 (作差法)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).由題意,得直線(xiàn)l1方程為y=k1x+n-k1m,

設(shè)lGH:y=kx+φ,則

所以-mb2(k1-k2)=k[ma2(k1+k2)(k1-k2)-na2(k1-k2)]+a2φ(k1+k2)(k1-k2).

因?yàn)閗1≠k2,k1+k2=t,則

因?yàn)閗1+k2=t,

即-b2x1x2+b2x1m+a2y1y2-a2y1n=ta2y1x2-tma2y1,

-b2x1x2+b2x2m+a2y1y2-a2y2n=ta2y2x1-tma2y2.

所以b2m(x1-x2)-a2n(y1-y2)=-tma2(y1-y2)+ta2(y1x2-y2x1).

所以GH所在直線(xiàn)方程為

4 性質(zhì)類(lèi)比到雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)

笛卡爾說(shuō)過(guò):“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題都將成為一個(gè)范例, 以用于解其他問(wèn)題.”為了應(yīng)對(duì)高考, 每天龐大的題量給學(xué)生的心理帶來(lái)了很大的負(fù)擔(dān)和壓力, 給學(xué)生減負(fù)于我們而言責(zé)無(wú)旁貸. 因此, 我們只有跳進(jìn)題海, 善于對(duì)同一類(lèi)問(wèn)題做深入的研究和總結(jié), 做到觸類(lèi)旁通, 才能讓學(xué)生跳出題海, 才能在解題時(shí)化難為易、化繁為簡(jiǎn). 像對(duì)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行解題教學(xué)時(shí), 不僅可以讓學(xué)生在解題中直接獲益, 更可以培養(yǎng)其分析和解決問(wèn)題的能力, 從而提升其數(shù)學(xué)的解題素養(yǎng).